高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法單元整合素材 新人教A版選修45

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1、 第二講 證明不等式的基本方法 單元整合 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專題探究 專題一　比較法 比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形；③判斷結(jié)果的符號(hào)；④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． 設(shè)a≠b，求證：a2＋3b2＞2b(a＋b)． 提示：用作差比較法證明．作差比較法的步驟是：①作差；②變形；③判斷差與0的大小關(guān)系；④下結(jié)論，其中最關(guān)鍵的步驟是②③.

2、 證明：(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 因?yàn)閍≠b，所以a－b≠0. 從而(a－b)2＞0， 于是(a2＋3b2)－2b(a＋b)＞0. 所以a2＋3b2＞2b(a＋b)． 若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 提示：作商比較法的步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④下結(jié)論．其中②③是關(guān)鍵步驟，同時(shí)要注意分子、分母的正負(fù)． 解析：∵＝＝log89＞1，且a＞0，b＞0，∴b＞a. 又∵＝＝log2532＞1，且a

3、＞0，c＞0， ∴a＞c.∴c＜a＜b. 答案：C 專題二　綜合法 綜合法證明不等式的依據(jù)：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時(shí)要注意：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取等號(hào)”的理由要理解掌握．綜合法證明不等式的思維方面是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立． 已知a，b，c為△ABC的三條邊，求證： a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 提示：應(yīng)用余弦定

4、理解決． 證明：設(shè)a，b兩邊的夾角為θ，則由余弦定理，得： cos θ＝ 因?yàn)?＜θ＜π，∴cos θ＜1， ∴＜1，即a2＋b2－c2＜2ab. 同理可證：b2＋c2－a2＜2bc， c2＋a2－b2＜2ac， 將上面三個(gè)同向不等式相加，即得： a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 專題三　分析法 分析法證明不等式的依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆求”(但絕不是逆推)，即由待證的不等式出發(fā)，逐步逆求使其成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到充分條件是已知(或已證)的不等式．當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí)，可考慮

5、用分析法去證明，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效．分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?，逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法，一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用． 設(shè)a＞0，b＞0，求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 提示：此題可以用分析法、綜合法和比較法來(lái)證明，這里我們用分析法證明． 證明：要證a5＋b5≥a3b2＋a2b3成立， 即證(a5－a3b2)＋(b5－a2b3)≥0成立， 即證a3(a2－b2)

6、＋b3(b2－a2)≥0成立， 即證(a3－b3)(a2－b2)≥0成立． 而a＞0，b＞0，當(dāng)a≥b＞0或b≥a＞0時(shí)， a3－b3與a2－b2的符號(hào)都相同， 所以(a3－b3)(a2－b2)≥0成立． 所以原不等式成立． 專題四　反證法 運(yùn)用反證法證明不等式，主要有以下兩個(gè)步驟：①作出與所證不等式相反的假設(shè)；②從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立． 反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題．涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題，也常用反證法． 用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長(zhǎng)

7、的一半． 解：已知：如圖，在△ABC中，∠CAB＞90，D是BC的中點(diǎn)． 求證：AD＜BC. 證明：假設(shè)AD≥BC. (1)若AD＝BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長(zhǎng)的一半，那么，這條邊所對(duì)的角為直角”，知∠CAB＝90，與題設(shè)矛盾． 所以AD≠BC. (2)若AD＞BC，因?yàn)锽D＝DC＝BC， 所以在△ABD中，AD＞BD， 從而∠B＞∠BAD.同理∠C＞∠CAD. 所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD， 即∠B＋∠C＞∠CAB. 因?yàn)椤螧＋∠C＝180－∠CAB， 所以180－∠CAB＞∠CAB， 則∠CAB＜90，這與題設(shè)矛盾． 由(1)

8、(2)知AD＜BC. 專題五　放縮法 在證明不等式時(shí)，有時(shí)我們要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小)以方便化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得到欲證的不等式成立，這種證明的方法稱為放縮法．它是證明不等式的特殊方法． 已知a，b，c為三角形的三邊，求證： ，，也可以構(gòu)成一個(gè)三角形． 證明：設(shè)f(x)＝，x∈(0，＋∞),0＜x1＜x2， 則f(x2)－f(x1)＝－＝ ＞0，f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)． ∵a，b，c為三角形三邊， ∴a＋b＞c， ∴＜＝＋＜＋，即＜＋， 同理可證：＜＋，＜＋， ∴以，，為邊可構(gòu)成一個(gè)三角形． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375