安徽省長豐縣高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程小結與復習教案 新人教A版選修11

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1、 圓錐曲線與方程小結與復習 項目 內(nèi)容 課題 圓錐曲線與方程小結與復習 （共 3 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 知識與能力：通過小結與復習，使同學們完整準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系 過程與方法：通過本節(jié)教學使學生較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方法――坐標法；并在教學中進一步培養(yǎng)他們形與數(shù)結合的思想、化歸的數(shù)學思想以及“應用數(shù)學”的意識 情感、態(tài)度與價值觀：結合教學內(nèi)容對學生進行運動變化和對立統(tǒng)一的觀點的教育 教學重、 難點 重點：三種曲線的標準方程和圖形、性質 難點：做好思路分析，引導學生找到解

2、題的落足點 教學 準備 多媒體課件 教學過程 （一）基礎知識回顧： 1．橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間的距離）的動點的軌跡 2．橢圓的標準方程：， （） 3．橢圓的性質：由橢圓方程() (1)范圍: ,，橢圓落在組成的矩形中． (2)對稱性:圖象關于軸對稱．圖象關于軸對稱．圖象關于原點對稱原點叫橢圓的對稱中心，簡稱中心．軸、軸叫橢圓的對稱軸．從橢圓的方程中直接可以看出它的范圍，對稱的截距 （3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點 橢圓共有四個頂點： ，兩焦點共有六個特殊點叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸．長分別為 分別為

3、橢圓的長半軸長和短半軸長橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點 (4)離心率: 橢圓焦距與長軸長之比 橢圓形狀與的關系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為圓為橢圓在時的特例 4．雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距 在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線）兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線）雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關 5．雙曲線的標準方

4、程及特點： （1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種： 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)； 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,) (2)有關系式成立，且 其中a與b的大小關系:可以為 6焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上 7．雙曲線的幾何性質： （1）范圍、對稱性 由標準方程，從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的

5、方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心 （2）頂點 頂點：，特殊點： 實軸：長為2a, a叫做半實軸長虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率范圍： 雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊 8．等軸雙曲線 定義：實

6、軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率 9．共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成 10 拋物線定義： 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點F叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線 11．拋物線的準線方程： (1), 焦點:，準線： (2), 焦點:，準線： (3), 焦點:，準線： (4) , 焦點:，準線： 相同點：(1)拋物線都過原點；(2)對稱軸為坐標軸；(3)準線都與對稱軸垂直，垂

7、足與焦點在對稱軸上關于原點對稱 它們到原點的距離都等于一次項系數(shù)絕對值的，即 不同點：(1)圖形關于X軸對稱時，X為一次項，Y為二次項，方程右端為、左端為；圖形關于Y軸對稱時，X為二次項，Y為一次項，方程右端為，左端為 （2）開口方向在X軸（或Y軸）正向時，焦點在X軸（或Y軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在X軸（或Y軸）負向時，焦點在X軸（或Y軸）負半軸時，方程右端取負號 12．拋物線的幾何性質 （1）范圍 因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延

8、伸． （2）對稱性 以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸． （3）頂點 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點． （4）離心率 拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1． 13拋物線的焦半徑公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， 14．直線與拋物線： （1）位置關系： 相交（兩個公共點或一個公共點）；相離（無公共點）；相切（一個公共點） 將代入，消去y，得到 關于x的二次方程

9、 （*） 若，相交；，相切；，相離 綜上，得： 聯(lián)立，得關于x的方程 當（二次項系數(shù)為零），唯一一個公共點（交點） 當，則 若，兩個公共點（交點） ，一個公共點（切點） ，無公共點 （相離） （2）相交弦長： 弦長公式：， （3）焦點弦公式： 拋物線， 拋物線， 拋物線， 拋物線， （4）通徑： 定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦 通徑： （5）若已知過焦點的直線傾斜角 則 （6）常用結論： 和 和 （二）、講解范例： 例1 根據(jù)下列條件，寫出橢圓方程 ⑴ 中心在原點、以對稱軸為坐標軸、離心率為1

10、/2、長軸長為8； ⑵ 和橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點，且經(jīng)過點(2，－3)； ⑶ 中心在原點，焦點在x軸上，從一個焦點看短軸兩端的視角為直角，焦點到長軸上較近頂點的距離是 分析： 求橢圓的標準方程，首先要根據(jù)焦點位置確定方程形式，其次是根據(jù)a2=b2+c2及已知條件確定a2、b2的值進而寫出標準方程 解 ⑴ 焦點位置可在x軸上，也可在y軸上， 因此有兩解： ⑵ 焦點位置確定，且為（0，），設原方程為,(a>b>0)，由已知條件有 ,故方程為 ⑶ 設橢圓方程為,(a>b>0) 由題設條件有 及a2=b2+c2，解得b=, 故所求橢圓的方程是 例2 從橢圓,

11、(a>b>0)上一點M向x軸所作垂線恰好通過橢圓的左焦點F1，A、B分別是橢圓長、短軸的端點，AB∥OM設Q是橢圓上任意一點，當QF2⊥AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若⊿F2PQ的面積為20，求此時橢圓的方程 解 可用待定系數(shù)法求解 ∵b=c,a=c，可設橢圓方程為 ∵PQ⊥AB,∴kPQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)， 代入橢圓方程整理得5x2-8cx+2c2=0， 根據(jù)弦長公式，得, 又點F1到PQ的距離d=c ∴ ,由 故所求橢圓方程為 例3 已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長 解：a=3,b=1,c=2; 則F（-

12、2，0） 由題意知：與聯(lián)立消去y得： 設A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理， ，又因為A、B、F都是直線上的點， 所以|AB|= 點評：也可讓學生利用“焦半徑”公式計算 例4 中心在原點，一個焦點為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程 分析：根據(jù)題意，可設橢圓的標準方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由F1（0，）知，c=，，最后解關于a、b的方程組即可 解：設橢圓的標準方程為， 由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得： 設弦的兩個端點為，則由根與系數(shù)的關系得： ， 又AB的

13、中點橫坐標為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為： 例5 直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解： 把代入 整理得：……（1） 當時， 由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點 若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或 故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上 例6 已知雙曲線的中心在原點，過右焦點F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于M、N 兩點，且=4，求雙曲線方程 解：設所求雙曲線方程為，由右焦點為（2，0）知C=2，b2=4-a2 則雙曲線方程為，

14、設直線MN的方程為：，代入雙曲線方程整理得：(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 設M（x1,y1）,N(x2,y2),則， 解得：， 故所求雙曲線方程為： 點評：利用待定系數(shù)法求曲線方程，運用一元二次方程得根與系數(shù)關系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學的整體思想，也簡化了計算，要求學生熟練掌握 例7 已知雙曲線，過點 A（2，1）的直線與已知雙曲線交于P、Q兩點（1）求PQ中點的軌跡方程；（2）過B（1，1）能否作直線，使與所給雙曲線交于兩點M、N，且B為MN的中點，若存在，求出的方程，不存在說明理由 解：（1）設P（x1,y1）、Q(x2,

15、y2),其中點為（x，y）,PQ的斜率為k, 若PQ的斜率不存在顯然（2，0）點是曲線上的點 若PQ的斜率存在，由題設知： …（1） …（2） （2）-（1）得： ，即…（3） 又代入（3）整理得： （2）顯然過B點垂直X抽的直線不符合題意只考慮有斜率的情況設的方程為y-1=k(x-1) 代入雙曲線方程，整理得： …※ 設M（x1,y1）、N(x2,y2)則有解得：=2 又直線與雙曲線必須有兩不同交點， 所以※式的 把K=2代入得<0， 故不存在滿足題意的直線 例8 已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值． 解：設與拋

16、物線交于 由距離公式 |AB|== 則有 由 從而由于p>0，解得 例9 如圖，線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線 （1）求拋物線方程； （2）若的取值范圍 解：（1）當AB不垂直x軸時，設AB方程為 由| ， 故所求拋物線方程為 （2）設 ①， 平方后化簡得 又由①知 的取值范圍為 軸時， 符合條件， 故符合條件的m取值范圍為 （三）、課堂練習： 1．直線與曲線，相交于A、B兩點，求直線的傾斜角的范圍答案： 2．直線

17、與雙曲線的左支僅有一個公共點，求K的取值范圍 答案：或 3．已知雙曲線與點P（1，2），過P點作直線L與雙曲線交于A、B兩點，若P為AB的中點（1）求直線AB的方程（2）若Q為（-1，-1），證明不存在以Q為中點的弦 答案 AB：x-y+1=0 4．雙曲線，一條長為8的弦AB的兩端在曲線上運動，其中點為M，求距Y軸最近的點M的坐標答案： 5．頂點在原點，焦點在軸上的拋物線，截直線所得的弦長為，求拋物線的方程答案：或 6．過拋物線焦點的直線與拋物線交于、兩點，若、在拋物線準線上的射影分別為、，則等于 （ B ） A． B C D 7若拋

18、物線被過焦點，且傾斜角為的直線所截，求截得的線段的中點坐標 答案： 8過點的直線與拋物線交于、兩點，求直線的斜率K的取值范圍答案： 9．過點作傾斜角為的直線交拋物線于點、，若，求實數(shù)的值答案： （四）課時小結 ： 1、直線與曲線的位置關系有相離、相切、相交三種 2、判斷其位置關系看直線是否過定點，在根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關系確定其位置關系 3、可通過解直線方程與曲線方程解的個數(shù)來確定他們的位置關系但有一解不一定是相切，要根據(jù)斜率作進一不的判定 板書設計 圓錐曲線小結與復習 1.橢圓的標準方程：， （） 例1

19、 2.橢圓的幾何性質： 3.雙曲線的標準方程：；(,) 4.雙曲線的幾何性質： 5.拋物線的標準方程： (1), 焦點:，準線： 例2 (2), 焦點:，準線： (3), 焦點:，準線： (4) , 焦點:，準線： 6.拋物線的幾何性質： 教學反思 圓錐曲線與直線、圓比較，增加了不少難度，學生在分析解題思路和運算中都有不少困難，需要在鞏固知識的基礎上，增加訓練。同時引導學生要善于總結。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375