高中數(shù)學 第二章 平面向量 階段復習課 第3課 平面向量學案 新人教A版必修4

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1、 第三課　平面向量 [核心速填] 1．向量的運算 (1)加法：①＋＝，②若四邊形OABC為平行四邊形，則＋＝. (2)減法：－＝. (3)數(shù)乘：|λa|＝|λ||a|. (4)數(shù)量積：ab＝|a||b|cos θ(a與b的夾角為θ)． 2．兩個重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 3．兩個非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y

2、1)b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量的三個性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝. [體系構(gòu)建] [題型探究] 平面向量的線性運算 　(1)平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三點，點C在直線AB上，且＝，連接DC延長至E，使||＝||，則點E的坐標為________． 圖21 (2)

3、如圖21，在正五邊形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e. 【導學號：84352275】 (1)　[(1)∵＝， ∴－＝(－)． ∴＝2－＝(3，－6)， ∴點C坐標為(3，－6)． 由||＝||，且E在DC的延長線上， ∴＝－.設E(x，y)， 則(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)， 得 解得即E. (2)a－c＋b－d－e ＝(a＋b)－(c＋d＋e) ＝(＋)－(＋＋) ＝－＝＋. 如圖，連接AC，并延長至點F，使CF＝AC，則＝，所以＝＋，即為所求作的向量a－c＋b－d－e.] [規(guī)律方法]　1.向量加法是由三角

4、形法則定義的，要點是“首尾相連”，即＋＝. 向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點，分別為鄰邊作平行四邊形，則同起點對角線的向量即為向量的和．加法滿足交換律、結(jié)合律． 2．向量減法實質(zhì)是向量加法的逆運算，是相反向量的作用． 幾何意義有兩個：一是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量．注意兩向量要移至共起點． 3．數(shù)乘運算即通過實數(shù)與向量的乘積，實現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換． [跟蹤訓練] 1．如圖22所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為________． 圖22 　[設＝λ，

5、 則＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋. ＝＋＝－＋. ∵與共線，∴(m－1)＋＝0， ∴m＝.] 平面向量數(shù)量積的運算 　(1)已知點A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ D．－ (2)如圖23，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2.若＝－3，則＝________. 【導學號：84352276】 圖23 (1)A　(2)　[(1)＝(2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||＝＝＝. (2)因為＝＝－2－＝

6、－3， 所以＝.] [規(guī)律方法]　向量數(shù)量積的求解策略 (1)利用數(shù)量積的定義、運算律求解. 在數(shù)量積運算律中，有兩個形似實數(shù)的完全平方公式在解題中的應用較為廣泛，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，上述兩公式以及(a＋b)(a－b)＝a2－b2這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應用. (2)借助零向量. 即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理地進行向量的移項以及平方等變形，求解數(shù)量積. (3)借助平行向量與垂直向量. 即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助a⊥b

7、，則ab＝0等解決問題. (4)建立坐標系，利用坐標運算求解數(shù)量積. [跟蹤訓練] 2．在邊長為1的菱形ABCD中，∠BAD＝60，E是BC的中點，則等于 (　　) A. B. C. D. D　[建立如圖平面直角坐標系，則A，C，B. ∴E點坐標為， ∴＝(，0)，＝， ∴＝＝.] 平面向量的平行與垂直問題 　(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝ (　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 (2)設A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4,1)． ①若＝，求

8、D點的坐標． ②設向量a＝，b＝，若ka－b與a＋3b平行，求實數(shù)k的值. (1)B　[(1)因為m＋n＝(2λ＋3,3)， m－n＝(－1，－1)， 且(m＋n)⊥(m－n)， 所以(m＋n)(m－n)＝－2λ－3－3＝0， 解得λ＝－3. (2)①設D(x，y)． 因為＝， 所以(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4,1)， 化為(1，－5)＝(x－4，y－1)， 所以 解得 所以D(5，－4)． ②因為a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b＝＝(4,1)－(2，－2)＝(2,3)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,3)＝(k－2，－5k

9、－3)，a＋3b＝(1，－5)＋3(2,3)＝(7,4)． 因為ka－b與a＋3b平行， 所以7(－5k－3)－4(k－2)＝0， 解得k＝－.所以k＝－.] 母題探究：1.將例3(2)②中的“”改為“”，“平行”改為“垂直”，求實數(shù)k的值． [解]　因為a＝＝(1，－5)，b＝＝(3，－2)， 所以ka－b＝(k－3，－5k＋2)， a＋3b＝(10，－11)， 因為(ka－b)⊥(a＋3b)， 所以(ka－b)(a＋3b)＝10(k－3)－11(－5k＋2) ＝65k－52＝0， 解得k＝. 2．在例3(2)中若A，B，D三點共線，且AC⊥CD，求點D的坐標． [

10、解]　設點D的坐標為(x，y)，則 ＝(1，－5)，＝(x－1，y－3)， ＝(3，－2)，＝(x－4，y－1)， 由題意得∥，⊥， 所以整理得 解得x＝2，y＝－2， 所以點D的坐標為(2，－2)． [規(guī)律方法]　1.證明共線問題常用的方法 (1)向量a，b(a≠0)共線?存在唯一實數(shù)λ，使b＝λa. (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線?x1y2－x2y1＝0. (3)向量a與b共線?|ab|＝|a||b|. (4)向量a與b共線?存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 2．證明平面向量垂直問題的常用方法 a⊥b?ab＝0?x1x2＋

11、y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 平面向量的模、夾角 　(1)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. (2)已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b與c的夾角為，bc＝－4，|a|＝2，求實數(shù)m，n的值及a與b的夾角θ. 【導學號：84352278】 (1)3　[(1)因為向量a，b夾角為45， 且|a|＝1，|2a－b|＝， 所以＝， 化為4＋|b|2－4|b|cos 45＝10，化為|b|2－2|b|－6＝0，因為|b|≥0， 解得|b|＝3. (2)∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.

12、∵a⊥c，∴ac＝0. ∵bc＝|b||c|cos＝|b|4＝－4， ∴|b|＝2.∵c＝ma＋nb，∴c2＝mac＋nbc， ∴16＝n(－4)，∴n＝－4. 在c＝ma＋nb兩邊同乘以a， 得0＝8m－4ab. ① 在c＝ma＋nb兩邊同乘以b，得mab＝12. ② 由①②，得m＝， ∴ab＝2， ∴cos θ＝＝， ∴θ＝或.] [規(guī)律方法]　1.解決向量模的問題常用的策略 (1)應用公式：|a|＝(其中a＝(x，y))． (2)應用三角形或平行四邊形法則． (3)應用向量不等式||a|－|b||≤|ab|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|ab|2＝

13、(ab)2. 2．求向量的夾角 設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，兩向量夾角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝＝. [跟蹤訓練] 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)a＝，則a與c的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 C　[ab＝－10，則(c－b)a＝ca－ba＝ca＋10＝， 所以ca＝－，設a與c的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，180]，所以θ＝120.] 平面向量在平面幾何和物理中的應用 　(1)用兩條成120角的等長的繩子懸掛一個物體，如圖24所示，已知物體的重力大小為

14、10 N，則每根繩子的拉力大小是________． 圖24 (2)如圖25所示，在正方形ABCD中，P為對角線 AC上任一點，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF. 【導學號：84352279】 圖25 (1)10 N　[因繩子等長，所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60，故每根繩子的拉力大小都是10 N．] (2)證明：法一：(基向量法)設正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0＜a＜1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴＝(＋)(＋)＝＋＋＋ ＝1acos 180＋1(1－a)cos 90＋aac

15、os 45＋a(1－a)cos 45＝－a＋a2＋a(1－a)＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. 法二：(坐標法)設正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，設P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)， 所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)， 由＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. [規(guī)律方法]　平面向量兩個方面的應用 (1)平面幾何應用 向量 幾何問題 共線向量 點共線問題、直線與直線平行 數(shù)乘向量 求線段長度之比 數(shù)量積 線段的長度、直線與直線的夾角 (2)物理應用：速度、位移、力、功． [跟蹤訓練] 4．已知點O，

16、N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，＝＝，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 C　[因為點O到△ABC的三個頂點距離相等， 所以點O是△ABC的外心． 因為＋＋＝0，所以＋＝－， 設線段AB的中點為M，則2＝－. 由此時可知N為AB邊中線的三等分點(靠近中點M) 所以N是△ABC的重心． 因為＝，所以(－)＝0， 即＝0，所以⊥. 同理由＝可證⊥，所以P是△ABC的垂心．] 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375