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1、
第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入
滾動訓(xùn)練四(3.1～3.2)
一、選擇題
1．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，它的模為3，實(shí)部是－，則是( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
考點(diǎn)
題點(diǎn)
答案 B
解析 設(shè)復(fù)數(shù)z的虛部為b，則z＝－＋bi，b>0，
∵3＝，∴b＝2(舍負(fù))，∴z＝－＋2i，
則z的共軛復(fù)數(shù)是－－2i，故選B.
2．若|z－1|＝|z＋1|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在( )
A．實(shí)軸上 B．虛軸上
C．第一象限 D．第二象限
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的幾何意義
題點(diǎn) 復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系
答案 B
解析 ∵|z－1|＝|z＋
2、1|，∴點(diǎn)Z到(1,0)和(－1,0)的距離相等，即點(diǎn)Z在以(1,0)和(－1,0)為端點(diǎn)的線段的中垂線上．
3．已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則
題點(diǎn) 利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)
答案 A
解析 當(dāng)“a＝b＝1”時，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分條件；
當(dāng)“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”時，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故
3、“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要條件；
綜上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件．
4．設(shè)復(fù)數(shù)z＝，則z等于( )
A．1 B.
C．2 D．4
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算
答案 C
解析 ∵z＝＝
＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
5．若復(fù)數(shù)z滿足z(i＋1)＝，則復(fù)數(shù)z的虛部為( )
A．－1 B．0
C．i D．1
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則
題點(diǎn) 利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)
答案 B
解析 ∵z(i＋1)＝，
∴z＝＝＝－1，
∴z
4、的虛部為0.
6．已知復(fù)數(shù)z＝1＋ai(a∈R)(i是虛數(shù)單位)，＝－＋i，則a等于( )
A．2 B．－2
C．2 D．－
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則
題點(diǎn) 利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)
答案 B
解析 由題意可得＝－＋i，
即＝＝＋i＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2，故選B.
7．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是( )
A．若|z1－z2|＝0，則1＝2
B．若z1＝2，則1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，則z11＝z22
D．若|z1|＝|z2|，則z＝z
考點(diǎn) 共軛復(fù)數(shù)的定義及應(yīng)用
題點(diǎn) 與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的綜合問題
答案 D
解
5、析 對于A，若|z1－z2|＝0，則z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2為真；
對于B，若z1＝2，則z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，
所以1＝z2為真；
對于C，設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，若|z1|＝|z2|，
則＝，z11＝a＋b，z22＝a＋b，
所以z11＝z22為真；
對于D，若z1＝1，z2＝i，則|z1|＝|z2|為真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z為假．故選D.
二、填空題
8．已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z＝________.
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則
題點(diǎn) 利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)
答案?。?i
解析 設(shè)z＝bi(b∈R，b≠0)，
6、則＝＝＝＝＋i是實(shí)數(shù)，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
9．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝5＋10i，則|z|＝________.
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用
題點(diǎn) 利用定義求復(fù)數(shù)的模
答案
解析 由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i||z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
10．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第________象限．
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 與混合運(yùn)算有關(guān)的幾何意義
答案 一
解析 z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
則z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)
7、的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．
11.已知復(fù)數(shù)z＝(2a＋i)(1－bi)的實(shí)部為2，i是虛數(shù)單位，其中a，b為正實(shí)數(shù)，則4a＋1－b的最小值為________．
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則
題點(diǎn) 利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù)
答案 2
解析 復(fù)數(shù)z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的實(shí)部為2，其中a，b為正實(shí)數(shù)，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
則4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時取等號．
三、解答題
12．計(jì)算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的綜合運(yùn)算
題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算
8、解 (1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
13．已知復(fù)數(shù)z＝1＋mi(i是虛數(shù)單位，m∈R)，且(3＋i)為純虛數(shù)(是z的共軛復(fù)數(shù))．
(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1＝，求|z1|；
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z2＝，且復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則
題點(diǎn) 運(yùn)算結(jié)果與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系
解 ∵z＝1＋mi，∴＝1－mi.
(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i，
又∵(3＋i)為純虛數(shù)，
∴解得m＝－3.
∴z＝1－3i.
(1)z1＝＝－－i，
9、∴|z1|＝＝.
(2)∵z＝1－3i，
z2＝＝＝，
又∵復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
∴解得
∴－3
10、＝－.
15．復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 利用幾何意義解決距離、角、面積
解 方法一 |z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，
|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，
∴|z|的最大值為3，最小值為.
方法二 |z＋3－i|＝表示以－3＋i對應(yīng)的點(diǎn)P為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，
則|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入滾動訓(xùn)練四 新人教A版選修22
