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1、章末綜合測評(三)空間向量與立體幾何(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1與向量a(1，3,2)平行的一個向量的坐標是()AB(1，3,2)C DCa(1，3,2)2.2在正方體ABCDA1B1C1D1中，xy()，則()Ax1，yBx1，yCx，y1Dx1，yA()，x1，y.應(yīng)選A3已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，則ab為()A(5，9,2)B(5,9，2)C(5,9，2)D(5，9，2)Ba(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9
2、，2)4已知點A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，則|的值是() 【導學號：46342190】A BCDC設(shè)P(x，y，z)，則(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即P.由兩點間距離公式可得|.5在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論不正確的是()A B0C0 D0D如圖，故A，B，C選項均正確6設(shè)ABCD的對角線AC和BD交于E，P為空間任意一點，如圖1所示，若x，則x()圖1A2B3C4D5CE為AC，BD的中點，由中點公式得()，()4.從而x4.7已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向
3、量共面，則實數(shù)等于()A B C DDa，b，c三向量共面，則存在不全為零的實數(shù)x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.8若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a與b的夾角的余弦值為，則x()A3B3C11D3或11A因為ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a與b的夾角的余弦值為，所以，解得x3或11(舍去)，故選A9若直線l的方向向量為(2,1，m)，平面的法向量為，且l，則m()A2 B3 C4 D5Cl，直線l的方向向量平行于平面的法向量.m4.10直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，A
4、BACAA1，則異面直線BA1與AC1所成角為()A30 B45 C60 D90C建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即異面直線BA1與AC1所成角為60.11已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()【導學號：46342191】A B C DA以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，則(0,1,0)，(1,1,0)
5、，(0,1,2)設(shè)平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一個法向量為n(2，2,1)設(shè)CD與平面BDC1所成的角為，則sin |cosn，|.12在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小為()A30 B45 C60 D75A如圖所示，建立空間直角坐標系，則，(3,4,0)設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的一個法向量，則得即令x1，則n.又n1為平面ABCD的一個法向量，cosn1，n，所求二面角為30.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13已知正方體ABCDABCD，則下列
6、三個式子中：；.其中正確的有_，正確；顯然正確；()()0，錯誤14若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都與一個二面角的棱垂直，則m，n分別與兩個半平面平行，則該二面角的余弦值為_或cosm，n.二面角的余弦值為或.15如圖2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為_. 【導學號：46342192】圖2建立坐標系如圖，則B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一個法向量又，BO與平面ABC1D1所成角的正弦值為|cos，|.16設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上，記，當
7、APC為鈍角時，的取值范圍是_建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，設(shè)P(x，y，z)，則(x，y，z1)，(1,1，1)，由，得(x，y，z1)(1,1，1)，即P(，1)，(1，1)，(，1，1)，由0得2(1)(1)20，解得1.由題意知與所成的角不可能為，故0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因為cos，所以，45，即DP與CC所成的角為45.(2)平面AADD的一個法向量是(0,1,0)，因為cos，所以，60，可得DP與平面AADD所成的角為30.20(本小題滿分12分)如圖6，AB是圓
8、的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點圖6(1)求證：平面PBC平面PAC；(2)若AB2，AC1，PA1，求二面角CPBA的余弦值解(1)證明：由AB是圓的直徑，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC因為BC平面PBC所以平面PBC平面PAC(2)過C作CMAP，則CM平面ABC如圖，以點C為坐標原點，分別以直線CB，CA，CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系在RtABC中，因為AB2，AC1，所以BC.又因為PA1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)設(shè)
9、平面BCP的法向量為n1(x1，y1，z1)，則所以不妨令y11，則n1(0,1，1)因為(0,0,1)，(，1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2(x2，y2，z2)，則所以不妨令x21，則n2(1, ，0)于是cosn1，n2.由圖知二面角CPBA為銳角，故二面角CPBA的余弦值為.21(本小題滿分12分)如圖7，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DPBQ(02)圖7(1)當1時，證明：直線BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存
10、在，求出的值；若不存在，說明理由. 【導學號：46342194】解以D為原點，射線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標系由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(xiàn)(1,0,0)，P(0,0，)，(2，0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)證明：當1時，(1,0,1)，因為(2,0,2)所以2，可知BC1FP，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直線BC1平面EFPQ.(2)設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面PQMN的一個法向量為m(2,2，1)，若存在，使得平面EFPQ與平面PQM
11、N所在的二面角為直二面角，則mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1，故存在1，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角22(本小題滿分12分)如圖8，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.圖8(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，并求的值解(1)因為AA1C1C為正方形，所以AA1AC因為平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線AC，所以AA1平面ABC(2)由(1)知AA1AC，AA1AB由題意知A
12、B3，BC5，AC4，所以ABAC如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)設(shè)平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則即令z3，則x0，y4，所以平面A1BC1的一個法向量為n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一個法向量為m(3,4,0)所以cosn，m.由題意知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)證明：假設(shè)D(x1，y1，z1)是線段BC1上一點，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因為0,1，所以在線段BC1上存在點D，使得ADA1B此時.我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。
高中數(shù)學 章末綜合測評3 空間向量與立體幾何 新人教A版選修21
