高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹證明 2.1.1 合情推理學(xué)案 新人教A版選修12

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1、 2.1.1　合情推理 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解合情推理的含義．(易混點)2.理解歸納推理和類比推理的含義，并能利用歸納和類比推理進(jìn)行簡單的推理．(重點、難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．歸納推理與類比推理 歸納推理 類比推理 定義 由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納) 由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比) 特征 歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理 類比推理是由特殊到特殊的推理

2、 思考：歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？ [提示]歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠． 2．合情推理 [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)利用合情推理得出的結(jié)論都是正確的． (　　) (2)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用． (　　) (3)由個別到一般的推理為歸納推理． (　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”

3、開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形狀上也應(yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．該過程體現(xiàn)了(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：48662046】 A．歸納推理　　　 B．類比推理 C．沒有推理 D．以上說法都不對 B　[推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．] 3．等差數(shù)列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，類比以上結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中類似的結(jié)論是________． b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)　[類比等差數(shù)列，可以類比出結(jié)論b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)] 4．如圖

4、211所示，由若干個點組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個端點)有n(n>1，n∈N*)個點，每個圖形總的點數(shù)記為an，則a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)． 圖211 15　3n－3　[依據(jù)圖形特點，可知第5個圖形中三角形各邊上各有6個點，因此a6＝36－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的圖形特點歸納得an＝3n－3(n>1，n∈N*)．] [合 作 探 究攻 重 難] 數(shù)、式中的歸納推理 　(1)觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個等式

5、可為________． (2)已知：f(x)＝，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，則f3(x)的表達(dá)式為________，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為________． (3)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝3，滿足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)． ①求a2，a3，a4的值； ②猜想an的表達(dá)式. 【導(dǎo)學(xué)號：48662047】 [解析]　(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， … 12－22＋32－42＋…＋(－1)

6、n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n) ＝(－1)n＋1. (2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，根據(jù)前幾項可以猜想fn(x)＝. [答案]　(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1　(2)f3(x)＝　fn(x)＝ (3)①因為a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝， 又S2＝6－2a3

7、＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋， 解得a4＝. ②由①知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*)． [規(guī)律方法]　進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律 1．已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法 (1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律； (2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征； (3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點； (4)運用歸納推理得出一般結(jié)論． 2．?dāng)?shù)列中的歸納推理 在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項和公式． (1)通過已

8、知條件求出數(shù)列的前幾項或前n項和； (2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前n項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解； (3)運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式． [跟蹤訓(xùn)練] 1．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于________． 65　[因為4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜測x＝64＋1＝65.] 2．觀察下列等式： ＋＝12； ＋＋＋＝23； ＋＋＋…＋＝34； ＋＋＋…＋＝45； …… 照此規(guī)律， ＋＋＋…＋＝________. n(n＋1)　[通過觀察已給出等式的特點，可知等式右邊的是個固定數(shù)，后面第一個數(shù)是等式左邊最后一個數(shù)括號

9、內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半，后面第二個數(shù)是第一個數(shù)的下一個自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為n(n＋1)，即n(n＋1)．] 幾何圖形中的歸納推理 　(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖212的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是________． 圖212 (2)根據(jù)圖213中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為________. 【導(dǎo)學(xué)號：48662048】 圖213 [解析]　(1)觀察圖案知，從第一個圖案起，每個圖案中黑色地面磚的個數(shù)組成首項為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個圖案中黑色地面磚的個數(shù)為6＋(n－1)5＝5n＋1. (

10、2)圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因為1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為29－3＝509. [答案]　(1)5n＋1　(2)509 [規(guī)律方法]　歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略 通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理．解答該類問題的一般策略是： [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖214所示，由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個圖形中由n個正方形組成： 圖214 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個圖形中，火柴棒有________根；第n個圖形中，火

11、柴棒有________根． 16　3n＋1　[數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為：4,7,10,13，…，可見后一個圖形比前一個圖形多3根火柴，它們構(gòu)成等差數(shù)列，故第五個圖形中有火柴棒16根，第n個圖形中有火柴棒(3n＋1)根．] 4．根據(jù)如圖215的5個圖形及相應(yīng)的圓圈個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個圖形有多少個圓圈． (1)　　(2)　 　(3)　　　(4)　 (5) 圖215 [解]　法一：圖(1)中的圓圈數(shù)為12－0，圖(2)中的圓圈數(shù)為22－1，圖(3)中的圓圈數(shù)為32－2，圖(4)中的圓圈數(shù)為42－3，圖(5)中的圓圈數(shù)為52－4，…， 故猜測第n個圖形中的圓圈數(shù)為n2

12、－(n－1)＝n2－n＋1. 法二：第2個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向兩個方向，共有2(2－1)＋1個圓圈； 第3個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向三個方向，每個方向有兩個圓圈，共有3(3－1)＋1個圓圈；第4個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向四個方向，每個方向有三個圓圈，共有4(4－1)＋1個圓圈；第5個圖形，中間有一個圓圈，另外的圓圈指向五個方向，每個方向有四個圓圈，共有5(5－1)＋1個圓圈；…… 由上述的變化規(guī)律，可猜測第n個圖形中間有一個圓圈，另外的圓圈指向n個方向，每個方向有(n－1)個圓圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)個圓圈． 類比推理及

13、其應(yīng)用 三角形與四面體有下列相似性質(zhì)： (1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形． (2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點與這條線段的兩個端點的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點與這個三角形三個頂點的連線所圍成的圖形． 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，完成下列探究點： [探究問題] 1．在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個面的面積之間有什么關(guān)系？ 提示：四面體中的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積． 2．三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體

14、中，如何表示四面體的體積？ 提示：四面體的體積等于底面積與高的乘積的. (1)在等差數(shù)列{an}中，對任意的正整數(shù)n，有＝an.類比這一性質(zhì)，在正項等比數(shù)列{bn}中，有________． (2)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC上的射影，則AB2＝BDBC.拓展到空間，在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC，點O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，寫出對△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系，并給予必要證明． 思路探究　(1)類比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)求解． (2)將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四

15、棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得S＝S△OBCS△DBC. [解]　(1)由a1＋a2＋…＋a2n－1類比成b1b2b3…b2n－1，除以2n－1，即商類比成開2n－1次方，即在正項等比數(shù)列{bn}中，有＝bn. (2)△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為S＝S△OBCS△DBC. 證明如下：如圖，設(shè)直線OD與BC相交于點E， ∵AD⊥平面ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC. ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC

16、⊥AE，BC⊥DE. ∴S△ABC＝BCAE， S△BOC＝BCOE, S△BCD＝BCDE. 在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OEDE，∴S＝S△BOCS△BCD. 母題探究：1.(變條件)把本例(2)中的射影定理的表示換為“a＝bcos C＋ccosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊”．類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想． [解]　如圖所示，在四面體PABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大?。? 我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其

17、表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. 2．(變條件)把本例(2)條件換為“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D，有＝＋成立”．那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由． [解]　猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則＝＋＋. 下面證明上述猜想成立 如圖所示，連接BE，并延長交CD于點F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD, AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥B

18、F，∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確． [規(guī)律方法]　類比推理的一般步驟 [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可知扇形面積公式為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：48662049】 A．　　　　　　 B． C． D．無法確定 C　[扇形的弧長對應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S＝.] 2．觀察如圖216所示圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為(　　) 圖216 A.　　　B.　　　C.　　　D. A　[觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓

19、、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果．] 3．等差數(shù)列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個不等關(guān)系________． b4＋b8>b5＋b7　[將乘積與和對應(yīng)，再注意下標(biāo)的對應(yīng)，有b4＋b8>b5＋b7.] 4．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為________. 【導(dǎo)學(xué)號：48662050】 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋

20、2＋3＋4＋5)2　[由前三個式子可得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個數(shù)依次加1，等號的右邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)和的完全平方，個數(shù)也依次加1，因此，第四個等式為13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.] 5．在Rt△ABC中，若∠C＝90，則cos2A＋cos2B＝1，在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想． [解]　如圖，在Rt△ABC中， cos2A＋cos2B＝＋＝＝1. 于是把結(jié)論類比到四面體PA′B′C′中，我們猜想，三棱錐PA′B′C′中，若三個側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375