高中數(shù)學 課時分層作業(yè)18 平面向量基本定理 新人教A版必修4

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1、 課時分層作業(yè)(十八)　平面向量基本定理 (建議用時：40分鐘) [學業(yè)達標練] 一、選擇題 1．若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1　　　　　 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 D　[e1＋e2與e1－e2不共線，可以作為平面向量的基底，另外三組向量都共線，不能作為基底．] 2．已知向量a與b的夾角為，則向量2a與－3b的夾角為(　　) 【導學號：84352214】 A. B. C.π D.π C　[向量2a與－3b的夾角與向量

2、a與b的夾角互補，其大小為π－＝.] 3．如圖238，向量a－b等于(　　) 圖238 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 C　[不妨令a＝，b＝， 則a－b＝－＝， 由平行四邊形法則可知 ＝e1－3e2.] 4．銳角三角形ABC中，關于向量夾角的說法正確的是(　　) 【導學號：84352215】 A.與的夾角是銳角 B.與的夾角是銳角 C.與的夾角是鈍角 D.與的夾角是銳角 B　[因為△ABC是銳角三角形，所以∠A，∠B，∠C都是銳角．由兩個向量夾角的定義知：與的夾角等于180－∠B，是鈍角；與的夾角是∠A，

3、是銳角；與的夾角等于∠C，是銳角；與的夾角等于180－∠C，是鈍角，所以選項B說法正確．] 5．在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，又＝t，則t的值為(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. A　[因為＝t，所以－＝t(－)， ＝(1－t)＋t. 又＝＋且與不共線， 所以t＝.] 二、填空題 6．如圖239，在平行四邊形ABCD中，點O為AC的中點，點N為OB的中點，設＝a，＝b，若用a，b表示向量，則＝________. 圖239 a＋b　[以＝a，＝b作為以A點為公共起點的一組基底，則＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b.] 7．若

4、向量a＝4e1＋2e2與b＝ke1＋e2共線，其中e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則k的值為________. 【導學號：84352216】 2　[∵向量a與b共線， ∴存在實數(shù)λ，使得b＝λa， 即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2. ∵e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量， ∴∴k＝2.] 8．設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 　[如圖，由題意知，D為AB的中點， ＝， 所以＝＋ ＝＋ ＝＋(－)＝－＋， 所以λ1＝－，λ

5、2＝， 所以λ1＋λ2＝－＋＝.] 三、解答題 9．如圖2310，平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點，BF＝BC，以a，b為基底表示向量與. 【導學號：84352217】 圖2310 [解]　在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點，BF＝BC， ∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a， ＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b. 10．如圖2311，在矩形OACB中，E和F分別是邊AC和BC上的點，滿足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值． 圖2311 [解]　在矩形OACB中，＝＋， 又＝λ＋μ

6、＝λ(＋)＋μ(＋) ＝λ＋μ ＝＋， 所以＝1，＝1， 所以λ＝μ＝. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．如圖2312所示，兩射線OA與OB交于O，則下列選項中哪些向量的終點落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)(　　) 圖2312 ①＋2；②＋； ③＋；④＋. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ A　[①向量＋2的終點顯然在陰影區(qū)域內(nèi)； ②如圖所示＝， ＝， 四邊形OCMD為平行四邊形， ＋＝， 由三角形相似易得DE＝OB＜DM＝， 故M在陰影區(qū)域內(nèi)． 同理分析③④中向量的終點不在陰影區(qū)域內(nèi)．] 2．已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點

7、P滿足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的 (　　) A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 B　[為上的單位向量， 為上的單位向量，則＋的方向為∠BAC的角平分線的方向．又λ∈[0，＋∞)， ∴λ的方向與＋的方向相同． 而＝＋λ， ∴點P在上移動， ∴點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心．] 3．設e1，e2是平面內(nèi)一組基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基底a，b的線性組合，即e1＋e2＝________. 【導學號：84352218】 a－b　[因為a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②， 顯然a與

8、b不共線，①＋②得a＋b＝3e2， 所以e2＝代入②得 e1＝e2－b＝－b＝a－b， 故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.] 4．如圖2313，在平面內(nèi)有三個向量，，，||＝||＝1，與的夾角為120，與的夾角為30，||＝5，設＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________. 圖2313 15　[作以OC為一條對角線的平行四邊形OPCQ，如圖， 則∠COQ＝∠OCP＝90，在Rt△QOC中，2OQ＝QC，||＝5. 則||＝5，||＝10，所以||＝10，又||＝||＝1，所以＝10，＝5，所以＝＋＝10＋5，所以m＋n＝10＋5＝15.] 5．設e1，e2是

9、不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底； (2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值. 【導學號：84352219】 [解]　(1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線，得?所以λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底． (2)設c＝ma＋nb(m，n∈R)， 則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2， 所以? 所以c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2， 所以? 故所求λ，μ的值分別為3和1. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375