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1、
課時(shí)分層作業(yè)(十六) 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
(建議用時(shí)：40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1．給出下列命題：
①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可以作為空間的一個(gè)基底；
②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；
③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面；
④已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [根據(jù)基底的概念
2、，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底．顯然②正確．③中由，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，知，，共面．又，，過(guò)相同點(diǎn)B，知A，B，M，N四點(diǎn)共面．所以③正確．下面證明①④正確：①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kC．∵d≠0，∴k≠0，從而c＝a＋b，∴c與a，b共面，與條件矛盾，∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．于是①②③④四個(gè)命題都正確，故選D．]
2．在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M是上底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則可表示為( )
A．a(chǎn)＋b＋c B．a(chǎn)－b＋c
3、
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
D [由于＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c，故選D．]
3．正方體ABCDA′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點(diǎn)，以{1，2，3}為基底，＝x1＋y＋z3，則x，y，z的值是( )
A．x＝y(tǒng)＝z＝1 B．x＝y(tǒng)＝z＝
C．x＝y(tǒng)＝z＝ D．x＝y(tǒng)＝z＝2
A [＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空間向量的基本定理，得x＝y(tǒng)＝z＝1.]
4．已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342150】
4、
A． B．
C． D．或
C [因?yàn)閍－b＝2，所以a，b與共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．]
5．如圖3133，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，B1E＝A1B1，則等于( )
圖3133
A．
B．
C．
D．
C [由圖知B(1,1,0)，E，所以＝.]
二、填空題
6．已知空間的一個(gè)基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＝________，y＝________.
1?。? [因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得]
7．如圖31
5、34, 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則＝________.
圖3134
－a＋b－c [＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－C．]
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如圖3135所示的空間直角坐標(biāo)系，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1，則的坐標(biāo)為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342151】
圖3135
＝ [∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴M，P(0,0,1)，C(－1,1,0)，
則N.
∴＝]
三、解答題
9．如圖3136，在平行六面體
6、ABCDA1B1C1D1中，＝－，＝，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a，b，c表示.
圖3136
[解] 連接AN，則＝＋.
由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，從而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)，
所以＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c)．
10．如圖3137，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO＝1，M是PC的中點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b，＝C．
圖3137
(1)用向量a，b，c表示.
(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo).
【
7、導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342152】
[解] (1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，
∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋C．
(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)．
∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.
[能力提升練]
1．已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使向量，，成為空間的一個(gè)基底的是( )
A．＝OA＋OB＋OC
B．＝＋
C．＝＋＋
D．＝2－
C [對(duì)于選項(xiàng)A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四點(diǎn)共面，知，，共面；對(duì)于選項(xiàng)B，D，易知，，共面，
8、故選C．]
2．已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為(2,1，－3)，則向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
B [∵a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3DD1，∴向量a在基底{，，}下的坐標(biāo)為(－1,2，－3)，故選B．]
3．在空間四邊形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則＝________.
3a－b＋3c [＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c．]
4．已知向量p在基底{a，b
9、，c}下的坐標(biāo)為(2,1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為_(kāi)_______；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342153】
(1,1,1) [由題意知p＝2a＋b－c，
則向量p在基底{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為(1,1,1)
設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc
又∵p＝2a＋b－c，
∴，
解得x＝，y＝，z＝－1；
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為.]
5．已知{e1，e2，e3}為空間的一個(gè)基底，
10、且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.
(1)判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面．
(2)能否以{，，}作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一基底表示；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解] (1)假設(shè)P，A，B，C四點(diǎn)共面，
則存在實(shí)數(shù)x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．
比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x，y，z的方程組，
解得，與x＋y＋z＝1矛盾，
故P，A，B，C四點(diǎn)不共面．
(2)若OA，，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n，使＝m
11、＋n，
同(1)可證，，，不共面，
因此{(lán)，，}可以作為空間的一個(gè)基底，令＝a，＝b，＝c，
由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，
得，
所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)16 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 新人教A版選修21
