高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例教師用書 理

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《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例教師用書 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例教師用書 理(18頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系;5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題;6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。2016,全國卷,13,5分(向量的幾何意義)2016,全國卷,3,5分(向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算)2016,全國卷,3,5分(向量夾角問題)2016,天津卷,7,5分(向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算)2015,全

2、國卷,15,5分(向量的數(shù)量積運(yùn)算)高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以向量的長度、夾角及數(shù)量積為主,以向量數(shù)量積的運(yùn)算為載體,綜合三角函數(shù)、解析幾何等知識進(jìn)行考查,是一種新的趨勢,復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注。以客觀題為主,有時出現(xiàn)在解答題中。分值512分。微知識小題練自|主|排|查1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義:已知兩個非零向量a和b,作a,b,則AOB就是向量a與b的夾角。范圍:設(shè)是向量a與b的夾角,則0180。共線與垂直:若0,則a與b同向共線;若180,則a與b反向共線;若90,則a與b垂直。(2)平面向量的數(shù)量積定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或

3、內(nèi)積),記作ab,即ab|a|b|cos,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a0。幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積。2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1,y1),b(x2,y2),為向量a,b的夾角。數(shù)量積:ab|a|b|cosx1x2y1y2。模:|a|。夾角:cos。兩非零向量ab的充要條件:ab0x1x2y1y20。|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)|x1x2y1y2| 。3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)。(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)。(3)(ab)cacbc(分配律)。微點(diǎn)提醒1a在b方向上的

4、投影與b在a方向上的投影不是一個概念,要加以區(qū)別。2對于兩個非零向量a與b,由于當(dāng)0時,ab0,所以ab0是兩個向量a,b夾角為銳角的必要而不充分條件;ab0也不能推出a0或b0,因?yàn)閍b0時,有可能ab。3在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,bR,則|ab|a|b|;若abac(a0),則bc。但對于向量a,b卻有|ab|a|b|;若abac(a0),則bc不一定成立,原因是ab|a|b|cos,當(dāng)cos0時,b與c不一定相等。4向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線。小|題|快|練

5、一 、走進(jìn)教材1(必修4P107例6改編)已知|a|2,|b|4,ab4,則a與b的夾角_。【解析】因?yàn)閍b|a|b|cos,所以cos,又因?yàn)?180,故30。【答案】302(必修4P105例4改編)已知a(1,2),b(3,4),若akb與akb互相垂直,則實(shí)數(shù)k_?!窘馕觥坑梢阎猘(1,2),b(3,4),若互相垂直,則(akb)(akb)0,即a2k2b20,即525k20,即k2,所以k?!敬鸢浮慷?、雙基查驗(yàn)1下列四個命題中真命題的個數(shù)為()若ab0,則ab;若abbc,且b0,則ac;(ab)ca(bc);(ab)2a2b2。A4個B2個C0個D3個【解析】ab0時,ab,或a0,

6、或b0。故命題錯。abbc,b(ac)0。又b0,ac,或b(ac)。故命題錯誤。ab與bc都是實(shí)數(shù),故(ab)c是與c共線的向量,a(bc)是與a共線的向量,(ab)c不一定與a(bc)相等。故命題不正確。(ab)2(|a|b|cos)2|a|2|b|2cos2|a|2|b|2a2b2。故命題不正確。故選C。【答案】C2在ABC中,AB3,AC2,BC,則()A B C. D.【解析】在ABC中,cosBAC,|cosBAC32。故選D?!敬鸢浮緿3已知平面向量a(1,3),b(4,2),ab與a垂直,則()A1 B1 C2 D2【解析】ab(4,32)。ab與a垂直,(ab)a10100。

7、1。故選A。【答案】A4已知單位向量e1,e2的夾角為,且cos,若向量a3e12e2,則|a|_?!窘馕觥縷a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149|a|3。【答案】35(2016大連模擬)若a,b滿足|a|,a(ab)1,|b|1,則a,b的夾角為_?!窘馕觥恳?yàn)閨a|,所以a(ab)a2ab2ab1,即ab1。設(shè)a,b的夾角為,則cos。因?yàn)?,所以?!敬鸢浮康谝徽n時平面向量的數(shù)量積微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積運(yùn)算【典例1】(1)已知a(2,3),b(4,7),則a在b上的投影為()A.B.C.D.(2)(2016天津高考)已知A

8、BC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE2EF,則的值為()A B. C. D.【解析】(1)|a|cos。故選C。(2)如圖,設(shè)m,n。根據(jù)已知得,m,所以mn,mn,(mn)m2n2mn。故選B?!敬鸢浮?1)C(2)B反思?xì)w納1.當(dāng)已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab|a|b|cos。2當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則abx1x2y1y2?!咀兪接?xùn)練】(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|6,|4。若點(diǎn)M,N滿足3,2,則()A20 B15 C9 D6(2)(2016蚌埠模擬)已

9、知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)。的最大值為_?!窘馕觥?1)在平行四邊形ABCD內(nèi),易得,所以36161239。故選C。(2)如圖所示,以AB,AD所在的直線分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)E(t,0),0t1,則D(0,1),C(1,1),(t,1),(1,0),所以t1?!敬鸢浮?1)C(2)1考點(diǎn)二 平面向量的模與夾角問題【典例2】(1)(2017長沙模擬)已知向量a(1,2),ab5,|ab|2,則|b|等于()A. B2 C5 D25(2)(2016東北三校聯(lián)考)已知向量a,b的夾角為60,且|a|2,|b|1,則向量a與向量a2b的夾角等于()A150 B90C6

10、0 D30【解析】(1)由a(1,2),可得a2|a|212225。因?yàn)閨ab|2,所以a22abb220,所以525b220,所以b225,所以|b|5。故選C。(2)解法一:由于a(a2b)a22ab|a|22|a|b|cos604226,|a2b|2,所以cosa,a2b,所以a,a2b30。故選D。解法二:|a2b|2444ab88cos6012,|a2b|2,a(a2b)|a|a2b|cos22cos4cos。又a(a2b)a22ab44cos606,4cos6,cos,0,180,30。故選D?!敬鸢浮?1)C(2)D反思?xì)w納1.平面向量夾角的求法若a,b為非零向量,則由平面向量的

11、數(shù)量積公式得cos(夾角公式),所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題。2平面向量的模的解題方法(1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,求向量a的??芍苯永脇a|。(2)若向量a,b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,求向量a的模可應(yīng)用公式|a|2a2aa,或|ab|2(ab)2a22abb2,先求向量模的平方,再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解?!咀兪接?xùn)練】(1)(2016全國卷)已知向量,則ABC()A30 B45 C60 D120(2)(2016衡水中學(xué)二調(diào))已知單位向量a,b,若ab0,且|ca|c2b|,則|c2a|的取值范圍是()A1,3 B2,3C. D.【解析】(1)由兩向量的夾角公式,可得cos

12、ABC,則ABC30。故選A。(2)不妨設(shè)a(1,0),b(0,1),c(x,y),所以ca(x1,y),c2b(x,y2),所以,即(x,y)到A(1,0)和B(0,2)的距離和為,即表示點(diǎn)(1,0)和 (0,2)之間的線段,|c2a|,表示(2,0)到線段AB上點(diǎn)的距離,最小值是點(diǎn)(2,0)到直線2xy20的距離,|c2a|min,最大值為(2,0)到(1,0)的距離是3,所以|c2a|的取值范圍是。故選D?!敬鸢浮?1)A(2)D考點(diǎn)三 平面向量的垂直問題【典例3】(1)已知向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c,則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D.(2)已知向量與的

13、夾角為120,且|3,|2。若,且,則實(shí)數(shù)的值為_?!窘馕觥?1)因?yàn)?a3b(2k3,6),(2a3b)c,所以(2a3b)c2(2k3)60,解得k3。故選C。(2),由于,所以0,即()()22(1)94(1)320,?!敬鸢浮?1)C(2)【變式訓(xùn)練】ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足2a,2ab,則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)【解析】因?yàn)?2ab)2ab,所以|b|2,故A錯誤;由于2a(2ab)4|a|22ab222,所以2ab24|a|22,所以ab1,故B,C錯誤;又因?yàn)?4ab)(4ab)b4ab|b|241240,所以(4ab)

14、。故選D?!敬鸢浮緿微考場新提升1(2016全國卷)已知向量a(1,m),b(3,2),且(ab)b,則m()A8B6C6D8解析由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得ab(4,m2),由(ab)b,得(ab)b122(m2)0,解得m8,故選D。答案D2(2017衡水模擬)已知|a|1,|b|2,a與b的夾角為,那么|4ab|()A2 B6 C2 D12解析|4ab|216a2b28ab1614812cos12。|4ab|2。故選C。答案C3(2016成都模擬)ABC中,點(diǎn)M在線段AC上,點(diǎn)P在線段BM上,且滿足2,若|2,|3,BAC90,則的值為()A1 B C. D解析由題知,()222。故選B。答案B4

15、(2016合肥聯(lián)考)已知|a|1,|b|2,a與b的夾角為60,則ab在a方向上的投影為_。解析|ab|2a2b22ab142127,|ab|,cosab,a。ab在a方向上的投影為|ab|cosab,a2。答案25在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(1,0),B(0,),C(3,0),動點(diǎn)D滿足|1,則|的取值范圍是_。解析設(shè)D(x,y),則(x3)2y21,(x1,y),故|,|的最大值即為圓(x3)2y21上的點(diǎn)到點(diǎn)(1,)距離的最大值,其最大值為圓(x3)2y21的圓心到點(diǎn)(1,)的距離加上圓的半徑,即11,最小值為11,故取值范圍為1,1。答案1,1第二課時平面向量的應(yīng)用微考點(diǎn)大課堂考

16、點(diǎn)一 平面向量在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用【典例1】已知向量a,b滿足|a|2,|b|1,且對一切實(shí)數(shù)x,|axb|ab|恒成立,則a,b的夾角的大小為_。【解析】由題意得|axb|ab|a22xabx2b2a22abb2x22abx12ab0,所以4(ab)24(12ab)0(ab1)20,所以ab1,cosa,b,即a與b的夾角為?!敬鸢浮糠此?xì)w納平面向量溝通了幾何與代數(shù)、函數(shù)、不等式的相關(guān)知識如:函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、不等式的解法、不等式的證明、不等式的恒成立等問題必然會與平面向量相關(guān)聯(lián),以考查學(xué)生分析和解決問題的能力?!咀兪接?xùn)練】(1)已知單位向量a,b,滿足ab,則函數(shù)f(x)(xa2b)2

17、(xR)()A既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C是偶函數(shù)D是奇函數(shù)(2)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量,(a1)e1e2,be12e2(a0,b0),若A,B,C三點(diǎn)共線,則的最小值是()A2B4C6 D8【解析】(1)因?yàn)閱挝幌蛄縜,b,滿足ab,所以ab0,所以f(x)(xa2b)2x24xab4x24。又f(x)(x)24x24f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。故選C。(2)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以(a1)(2)1b,所以2ab2。因?yàn)閍0,b0,所以222 4(當(dāng)且僅當(dāng),即a,b1時取等號)。故選B?!敬鸢浮?1)C(2)B考點(diǎn)二 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用母

18、題發(fā)散【典例2】已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個動點(diǎn),若動點(diǎn)P滿足(),(0,),則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心 B外心C重心 D垂心【解析】由原等式,得(),即(),根據(jù)平行四邊形法則,知是ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對應(yīng)向量的2倍,所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心。故選C?!敬鸢浮緾【母題變式】在本典例中,若動點(diǎn)P滿足,(0,),則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_。【解析】由條件,得,即,而和分別表示與,同向的單位向量,故平分BAC,即平分BAC,所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的內(nèi)心。【答案】內(nèi)心反思?xì)w納解決向量與平面幾何綜合問題,可先利用基向量或坐標(biāo)系建立向量與

19、平面圖形的聯(lián)系,然后通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系?!就卣棺兪健咳鐖D,RtABC中,C90,其內(nèi)切圓切AC邊于D點(diǎn),O為圓心。若|2|2,則_?!窘馕觥恳訡A所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(分別以射線CA、CB的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向),則C(0,0),O(1,1),A(3,0)。設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓與AB邊切于點(diǎn)E,與CB邊切于點(diǎn)F,則由圓的切線長定理可得BEBF,ADAE2,設(shè)BEBFx,在RtABC中,有CB2CA2AB2,即(x1)29(x2)2,解得x3,故B(0,4)。(1,3)(3,0)3?!敬鸢浮?考點(diǎn)三 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用多維探究角度

20、一:平面向量在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用【典例3】已知函數(shù)f(x)sinx(0)的部分圖象如圖所示,A,B分別是這部分圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若0,則函數(shù)f(x1)是()A周期為4的奇函數(shù)B周期為4的偶函數(shù)C周期為2的奇函數(shù)D周期為2的偶函數(shù)【解析】由題圖可得A,B,由0得30,又0,f(x)sinx,f(x1)sincosx,它是周期為4的偶函數(shù)。故選B?!敬鸢浮緽角度二:平面向量在解三角形中的應(yīng)用【典例4】(2016山西四校聯(lián)考)已知在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,向量m(sinA,sinB),n(cosB,cosA),mnsin2C。(1)求角C的大小;(2

21、)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列,且()18,求c邊的長?!窘馕觥?1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB),對于ABC,ABC,0C0,0,|0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A,與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B,點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C,若,48,則拋物線的方程為()Ay28x By24xCy216x Dy24x【解析】如圖,F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn),AFAC,ABC30,由48得BC4,則AC4。由中位線性質(zhì)有pAC2,故拋物線的方程為y24x。故選B。【答案】B反思?xì)w納向量在解析幾何中的應(yīng)用:1載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題

22、時關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題。2工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題。特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法?!咀兪接?xùn)練】已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l:x8,P為該平面上一動點(diǎn),作PQl,垂足為Q,且0。(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若EF為圓N:x2(y1)21的任一條直徑,求的最值。【解析】(1)設(shè)P(x,y),則Q(8,y)。由0,得|2|20,即(x2)2y2(x8)20,化簡得1。所以點(diǎn)P在橢圓上,其方程為1。(2)()

23、()()()2221,P是橢圓1上的任一點(diǎn),設(shè)P(x0,y0),則有1,即x16,又N(0,1),所以2x(y01)2y2y017(y03)220。因?yàn)閥02,2,所以當(dāng)y03時,2取得最大值20,故的最大值為19;當(dāng)y02時,2取得最小值為134(此時x00),故的最小值為124?!敬鸢浮?1)1(2)最大值為19,最小值為124微考場新提升1已知向量a(1,sin),b(1,cos),則|ab|的最大值為()A1 B.C. D2解析a(1,sin),b(1,cos),ab(0,sincos),|ab|。|ab|的最大值為。故選B。答案B2設(shè)a,b是非零向量,若函數(shù)f(x)(xab)(axb

24、)的圖象是一條直線,則必有()Aab BabC|a|b| D|a|b|解析f(x)(ab)x2(a2b2)xab。依題意知f(x)的圖象是一條直線,ab0,即ab。故選A。答案A3(2016郴州質(zhì)檢)已知ABC的外心P滿足(),則cosA()A. B.C D.解析取BC的中點(diǎn)D,連接AD,PD,則(),又(),所以()。由()()0,得|。又2,所以P又是重心,所以ABC是等邊三角形,所以cosAcos60。故選A。答案A4(2017唐山模擬)過點(diǎn)A(3,1)的直線l與圓C:x2y24y10相切于點(diǎn)B,則_。解析由x2(y2)25,可知圓心C(0,2),半徑r,所以|AC|,所以|AB|,所以

25、ACB45,所以cos455。答案55在ABC中,ACB為鈍角,ACBC1,xy,且xy1。若函數(shù)f(m)|m|(mR)的最小值為,則|的最小值為_。解析由xy,且xy1,可知A,O,B三點(diǎn)共線,所以|的最小值為AB邊上的高,又ACBC1,即O為AB的中點(diǎn),且函數(shù)f(m)|m|的最小值為,即點(diǎn)A到BC邊的距離為。又AC1,所以ACB120,從而可得|的最小值為。答案6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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