非負(fù)矩陣在一類代數(shù)方程中的應(yīng)用畢業(yè)論文

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1、 非負(fù)矩陣在一類代數(shù)方程中的應(yīng)用 摘 要：　本文運(yùn)用非負(fù)矩陣?yán)碚撝械腜erron- Frobenius定理,討論了在計算數(shù)學(xué)中大量出現(xiàn)的一類代數(shù)方程的根分布情況. 關(guān)鍵詞：　Perron -Frobenius定理；代數(shù)方程；根分布定理 引 言 形如 , , j = 1, 2, …, n, ( 1) 的代數(shù)方程作為許多差分方程的特征方程,在計算數(shù)學(xué)中大量出現(xiàn)，因而,對(1)的根分布情況,特別是其最大模的根進(jìn)行討論是很有意義的.本文利用非負(fù)矩陣?yán)碚撝兄腜erron -Frobenius定理,得出了(1)的根分布定理.該定理較全面地反映了其根的分布情況,

2、它將關(guān)于(1)的結(jié)果統(tǒng)一在一起,并且有所推廣,此外,本文還給出了(1)的最大模正根的二個估計式最后還運(yùn)用本文的結(jié)果,討論了常微分方程數(shù)值解法中的一類含參數(shù)的線性多步法的零穩(wěn)定性 . 1 預(yù)備知識 定義1 定義n階矩陣： （2） 其中,, j = 1, 2, …, n,,則稱為方程(1)的友陣,顯然這里的是非負(fù)矩陣. 引理1 由(2)所定義的n階矩陣A的特征方程是(1) . 證明 通過行列式計算，整理后結(jié)果顯然是：即為(1) . 定義2　 設(shè)為n階不可約非負(fù)矩陣,又令h為

3、的特征值的模等于譜半徑 指導(dǎo)教師：楊 芳 作者簡介：李小鵬(1985—)，男，陜西隴縣人. 的特征值的個數(shù),若h=1,則稱為本原陣;若h > 1,則稱為具有指標(biāo)h的循 環(huán)陣. 我們不加證明地敘述如下的Perron-Frobenius定理(證明見[2]或[3]) 定理1　設(shè)為n階不可約非負(fù)矩陣,則 1）的譜半徑是的特征值, 2）對應(yīng)于的特征向量x > 0, 3）是的簡單特征值, 4）當(dāng)?shù)娜我辉卦黾訒r,也增加. 定理 2 若為具有指標(biāo)h( h > 1)的n階不可約非負(fù)矩陣,則的模為的h個不同特征值是:， （3）

4、 其中,j=0,1, … ,h-1.也就是說，它們均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓周上（證明從略）. 定理3 設(shè)++…+,這里，，…，不為0，1 <…<=n ,為不可約非負(fù)矩陣的特征多項(xiàng)式，設(shè)A的循環(huán)指標(biāo)為h,則h是，，…，的最大公因子，即. 2 主要結(jié)果 定理4 對方程(1),設(shè)其n個根分別為記最大根的模為p ,即p = m ax,則 p是(1)唯一的正單根,所有其它根的模均不超過. 若在（1）中，只有不為0，1<…<=n，即（1）化為： ++…+=0, （4） 記h=gcd，則當(dāng)h=1時，p是（

5、1）唯一的正根且所有其它根的模均小于p. 沿用的記號，當(dāng)h>1時，p仍是（1）唯一的正單根，但此時（1）有h個模等于p的根：，j=0,1, …,h-1. （5） 其余n-h個根的模均小于h. 方程(1)的系數(shù)增加時,則其最大正單根p也增加. 證明 　首先證明(1)的友陣是不可約非負(fù)矩陣. 當(dāng)…時，的直接圖顯然是強(qiáng)連接的，故為不可約非負(fù)矩陣.若在中有些不為0，則在A的直接圖中增加了連通路徑，這顯然不消弱直接圖的強(qiáng)連接性，所以是不可約非負(fù)矩陣. 下面證明定理中的各個結(jié)論: 由引理1知，方程（1）的n個根等于（2）所定義的非負(fù)矩陣的n個特

6、征值，所以.于是，由定理1中的4）可得出，又由定理1中的1）可知p是（1）的簡單正根，p的唯一性證明如下：將（1）式中的n次多項(xiàng)式除以定義為上的函數(shù)，即 : （6） 則在R上，與的零點(diǎn)相同，又因 ， （7） 所以，在單調(diào)增，故是唯一使=0，亦即使（1）式成立的正實(shí)數(shù)，于是得證，而和則可由定理2，定理3直接得出，其中所涉及到的p的唯一性可同上推證. 定理5 對于方程（1）的最大正單根，有如下估計式: ， （8）

7、 和 . （9） 證明 對于不可約非負(fù)矩陣，易證 ， （10） ， 將此結(jié)果應(yīng)用與（1）的友陣A便可得證. 推論1在（1）中，當(dāng)時，有p=1. 3 一個應(yīng)用 在常微分方程的數(shù)值解法中, 有一類含參數(shù)的線性多步法： （11） 其中sR是一個可調(diào)整的實(shí)參數(shù) [6]中曾斷言：“此類方法的絕對穩(wěn)定域可以任意的增大，且不會破壞零穩(wěn)定”，本文指出:在零穩(wěn)定性條件的限制下，方法(11) 的

8、絕對穩(wěn)定區(qū)域有時不可能無限增大(例如,當(dāng)k = 4時) . 定理6　 含實(shí)參數(shù)s的線性多步法(11)為零穩(wěn)定的,其充分必要條件是s滿足： （12） 證明 （11）的第一特征多項(xiàng)式是： （13） 則（11）為零穩(wěn)定的充分必要條件是它滿足根條件，亦即的所有根均在單位圓內(nèi)或圓上，而在單位圓上的根只能是單根，仍記p= ,下面按照s的值進(jìn)行討論： 1）若s>1,則有>1,知p>1. 2）若0s1,則 （i）當(dāng)s=0，，根為0（k-1重根）和1（單重根）；

9、 （ii）當(dāng) s = 1,,根為，這里,j=0,1, …k-1,均為單根； （iii）當(dāng)0

10、 ， （17） 所以在上單調(diào)增，又由于在時，,故存在使,又因,故由的單調(diào)性和Rolle定理知 (a) 當(dāng)時，, ； (b) 當(dāng)時，，（由（14）知，為的二重根）； (c) 當(dāng)時，,. 綜上所述，使（11）為零穩(wěn)定的充分條件是（12）成立，定理證畢. 例1： 當(dāng)k=4時，線性多步法（11）為： ， （18） 其中的可有待定系數(shù)法確定： ； 由定理6，使（18）為零穩(wěn)定的充分必要條件是：

11、 （19） 當(dāng)時，由根軌跡法可確定出（18）的絕對穩(wěn)定區(qū)域是 ， （20） 顯然，在s滿足（19）的前提下，無論怎樣變動參數(shù)s的值，都不會無限增大. 作者對雷剛老師的指導(dǎo)表示衷心的感謝！ 參考文獻(xiàn)： [1] 蔡大用.數(shù)值代數(shù).北京：北京清華大學(xué)出版社[M]，1987. [2] VargaRS.Matrix Iterative Analysis Englewood C liffs[M], New Jersey:Prentice 2 all,1962. [3]

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13、 Abstract： By using of the Perron-Frobenius theorem in nonnegative matrix theory,the distributing of the roots of a class of algebraic equation …, which often exisits in computational matihematics, is discussed in this paper. Key words：Perron-Frobenius theorem,Algebraic,Distribution of roots.