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1、
選修2-2 3章末綜合訓練
一、選擇題
1．復數(shù)i3(1＋i)2＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
[答案] A
[解析] 考查復數(shù)代數(shù)形式的運算．
i3(1＋i)2＝－i(2i)＝2.
2．對于下列四個命題：
①任何復數(shù)的絕對值都是非負數(shù)．
②如果復數(shù)z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么這些復數(shù)的對應點共圓．
③|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值為0.
④x軸是復平面的實軸，y軸是虛軸．
其中正確的有( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．3個
[答案] D
[
2、解析] ①正確．因為若z∈R，則|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，則|z|＝>0.②正確．因為|z1|＝，|z2|＝＝，|z3|＝，|z4|＝，這些復數(shù)的對應點均在以原點為圓心，為半徑的圓上．③錯誤．因為|cosθ＋isinθ|＝＝1為定值，最大、最小值相等都阿是1.④正確．故應選D.
3．(2010陜西理，2)復數(shù)z＝在復平面上對應的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] z＝＝＋i，對應點在第一象限．
4．設復數(shù)z＝(a＋i)2在復平面上的對應點在虛軸負半軸上，則實數(shù)a的值是( )
A．－1
3、 B．1
C. D．－
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，據(jù)條件有
，∴a＝－1.
5．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為( )
A．1 B．1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] 解法1：由x2－1＝0得，x＝1，當x＝－1時，x2＋3x＋2＝0，不合題意，當x＝1時，滿足，故選A.
解法2：檢驗法：x＝1時，原復數(shù)為6i滿足，排除C、D；
x＝－1時，原復數(shù)為0不滿足，排除B，故選A.
二、填空題
6．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在復平面上與z1，z2對應的點分別為
4、Z1，Z2，則Z1，Z2的距離為________．
[答案] 2
[解析] 由z1＝1－i，z2＝3－5i知
2 / 4
Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由兩點間的距離公式得：d＝＝2.
7．已知復數(shù)z滿足z＋(1＋2i)＝10－3i，則z＝______________.
[答案] 9－5i
[解析] ∵z＋(1＋2i)＝10－3i
∴z＝10－3i－(1＋2i)＝(10－1)＋(－3－2)i
＝9－5i.
8．已知復數(shù)z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，則z1z2的實部最大值為________，虛部最大值為________．
[答案]
[解析] z1z
5、2＝(cosθ－i)(sinθ＋i)
＝(cosθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)
實部cosθsinθ＋1＝1＋sin2θ≤，最大值為，
虛部cosθ－sinθ＝cos≤，最大值為.
三、解答題
9．設存在復數(shù)z同時滿足下列條件：
(1)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點位于第二象限；
(2)z＋2iz＝8＋ai (a∈R)，試求a的取值范圍．
[解析] 設z＝x＋yi (x、y∈R)，
由(1)得x<0，y>0.
由(2)得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai.
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由復數(shù)相等得，
解得－6≤a＜0.
10．設z是虛數(shù)，ω＝z＋
6、是實數(shù)，且－1<ω<2.
(1)求z的實部的取值范圍；
(2)設u＝，求證：u是純虛數(shù)．
(3)求ω－u2的最小值．
[分析] 本題涉及復數(shù)的概念、復數(shù)與不等式的綜合應用，考查學生解綜合題的能力．
[解析] (1)設z＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，
則ω＝z＋＝a＋bi＋
＝＋i.
∵ω∈R，∴b－＝0.
∵b≠0，∴a2＋b2＝1.
此時ω＝2a，又－1<ω<2，
∴－1<2a<2?－0.
∴2－3
≥22－3＝1.
當且僅當a＋1＝，即a＝0時取“＝”號，
故ω－u2的最小值為1.
[點評] 本題表面上是考查復數(shù)的有關概念，但實質(zhì)上是借復數(shù)的知識考查學生的化歸能力，考查均值不等式的應用，綜合考查學生運用所學知識解決問題的能力是高考改革的方向．
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高二數(shù)學：第三章 章末綜合訓練 （人教A版選修2-2）【含解析】
