高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第1章 歸納推理知識歸納及應(yīng)用

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1、 歸納推理知識歸納及應(yīng)用 1. 歸納推理定義: 由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）．簡而言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理．例如由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電歸納出“一切金屬都能導(dǎo)電”，由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是1800，歸納出“所有三角形的內(nèi)角和都是1800”等等，這些都是歸納推理．在統(tǒng)計學(xué)中，我們總是從所研究的全體對象中抽取一部分進行觀測或試驗以取得信息，從而對整體作出推斷，這也是歸納. 應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新的事實，獲得新的結(jié)論．

2、說明：歸納推理的思維過程大致如下： 實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論。 2．歸納推理的一般模式： 具有P， 具有P， …… 具有P（，，…，是A類事物的對象）， 所以，A類事物具有P。 3.歸納推理的特點: （1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍． (2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具． (3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題． 4.歸納推理的一般步

3、驟： 第一步：通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）； 第二步：把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想）； - 1 - / 5 第三步：對所得出的一般性命題進行檢驗。 由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的。觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一。物理學(xué)中的波義耳—馬略特定律、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、天文學(xué)中開普勒行星運動定律等，也都是在實驗和觀察的基礎(chǔ)上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的．在一般情況下，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般

4、性結(jié)論也就越可靠；需要特別注意的是，由歸納推理所獲得的結(jié)論僅僅是一種猜測，并不一定可靠，其可靠性需要通過證明． 一、數(shù)列問題中的歸納推理 例1 已知，根據(jù)的值，可推測出 . 分析：求出的值，發(fā)現(xiàn)它們都是分數(shù)，可通過分析分子、分母的特點，推測. 解：∵， ∴，，. 根據(jù)分式特點把化為，可推測出. 評注：對于分式型的數(shù)列歸納通項公式問題，歸納時可從兩個角度出發(fā)：一是分別看分子、分母的變化規(guī)律，一是看分子、分母的聯(lián)系，有時還需對其中的分式作適當(dāng)變形.數(shù)列中的歸納推理最為常見，一般有歸納數(shù)列的通項公式、前項和（積）公式等. 二、函數(shù)問題中的歸納推理 例2 已知

5、，則 . 分析：正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較特別，求導(dǎo)后會改變函數(shù)名稱，而且就在正余弦函數(shù)之間跳動取值，故我們猜想和呈周期性變化，可歸納前若干項，看是否具有周期性，若有，問題就會迎刃而解. 解：依題意， ，由此可歸納出，從開始，函數(shù)每隔四個按循環(huán)出現(xiàn)一次，且每一個循環(huán)體中四個函數(shù)的和都等于0，所以 . 評注：對于項數(shù)比較多的問題，我們首先考慮的就是周期性，因為只有周期性才能較好地處理此類問題.而周期性的探求方法就是歸納法. 三、不等式問題中的歸納推理 例3 由，可歸納出：若，則 . 分析：觀察各不等式中的分式特點，可發(fā)現(xiàn)左邊分式都是右邊分式的分子、分母都加上同一個正數(shù)得到的，據(jù)此不難歸納出一般式. 解：由，可歸納出若，則. 評注：本題歸納出的是真分數(shù)的一個重要性質(zhì)：若一個真分數(shù)的分子、分母都加上同一個正數(shù)，分式的值增大.若把上面的分式取倒數(shù)，則可得假分數(shù)的一個相應(yīng)性質(zhì)：若一個假分數(shù)的分子、分母都加上同一個正數(shù)，分式的值減小.這個現(xiàn)象可稱為“真大假小”. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！