高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第1章 教材解讀：反證法

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1、 《反證法》教材解讀 一、重點(diǎn)知識梳理 反證法（間接證明）是不同于綜合法與分析法（直接證明）的又一種證明方法，它不是從原命題的條件逐步推得命題成立。反證法就是一種常用的間接證明方法。反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定（即肯定原命題）的過程。用反證法證明“若p則q”的過程可以用以下框圖表示： 肯定條件p 否定結(jié)論q 導(dǎo) 致 邏輯矛盾 “若p則q” 為 真 “p且┐q” 為 假 這個過程包括下面三個步驟： （1）反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不

2、成立，即假定原結(jié)論的反面為真； （2）歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； （3）存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立。 說明：1、反證法的原理：否定之否定等于肯定 2、反證法的實(shí)質(zhì)：原命題和它的逆否命題是等價命題 二、疑、難點(diǎn)解析 利用反證法證明不等式，如何依據(jù)題設(shè)條件和不等式的結(jié)論制造矛盾是本節(jié)內(nèi)容的一個難點(diǎn)。 例1、若、，且，求證：與至少有一個小于 證明：假設(shè)與均不小于，即，且 ∵ 、，∴且 ∴ ，∴ 這與已知相矛盾 - 1 - / 5 ∴假設(shè)不成立，故原命題正確 點(diǎn)評：證明的結(jié)論中若

3、有“至多”“至少”等字詞時，常可以考慮用反證法解決。 注意：（1）利用反證法證明時，第一步“假設(shè)”不要寫成“設(shè)”。 （2）應(yīng)用反證法證題要充分理解兩個否定：第一個否定是指“否定結(jié)論”；第二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”。 例2、已知函數(shù) 試用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 證法1 假設(shè)存在滿足，則 ∵ ∴，即與假設(shè)矛盾， 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 證法2 假設(shè)存在滿足， ①若，則， ∴，這與矛盾；

4、 ②若，則， ∴，這與矛盾。 故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。 點(diǎn)評： 命題中含有否定詞時，常用反證法。 注意：（1）由以上證明過程可以看出，用反證法證明問題時，推出矛盾的途徑多種多樣。一定要明確矛盾的所在，不可稀里糊涂。 總之無論是在日常生活中還是在數(shù)學(xué)中，都經(jīng)常應(yīng)用反證法.而且對于處理正面復(fù)雜性問題、至多至少性問題、否定性問題、唯一性問題、存在性問題以及無理性問題等，反證法都具有特殊的優(yōu)越性。 反證法的證題過程其實(shí)是證明原命題“若p則q”的否定“若p則 q”是錯誤的 我們在學(xué)習(xí)反證法時會出現(xiàn)兩方面的困難： １

5、“否定結(jié)論”部分，把握不清結(jié)論的“反”是什么。 使用反證法證明問題時，準(zhǔn)確地做出反設(shè)（即否定結(jié)論）是正確運(yùn)用反證法的前提，常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下： 詞 語 等于 大于 小于 都是 一定是 至少有一個 至 少 n 個 至多一個 至 多 n 個 只有一個 P或q P且q 對所 有x 成立 詞 語的否定 不等于 小于等于 大于等于 不都是 一定不是 一個也沒有 至 多n-1個 至少兩個 至 少n+1個 沒有或至少有兩個 P且 q P或q 存在 某個x不 成立 2、“導(dǎo)出矛盾”部分，有時與已知條件相矛盾；有時與假設(shè)相矛盾；而有時又是與某個定義、公理、定理或事實(shí)相矛盾，還有的是自相矛盾．因此我們有時弄不明白究竟是與什么矛盾． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！