陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化拓展資料素材 北師大版必修

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1、疊加、 疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式的方法大約分為兩類：一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出a的表達式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比）的方法求通項第一類方法要求學(xué)生有一定的觀察能力以及足夠的結(jié)構(gòu)經(jīng)驗，才能順利完成，對學(xué)生要求高第二類方法有一定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順利求解在教學(xué)中，我針對一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項公式的解題方法一、疊加相消類型一：形如aa+ f (n)， 其中f (n) 為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或可裂項成差的分式形式可移項后疊加相消例1：已知

2、數(shù)列a,a0,nN，aa（2n1），求通項公式a 解：a=a（2n1）a=a（2n1） aa =1 、aa=3 、 aa=2n3 a= a(aa)(aa)(aa)=0135(2n3)=1(2n3)( n1)=( n1)2 nN練習(xí)1：.已知數(shù)列a,a=1, nN，a=a3 n ， 求通項公式a .已知數(shù)列a滿足a3，nN，求a二、疊乘相約類型二：形如.其中f (n) = （p0，m0,b c = km,kZ）或 =kn（k0）或= km( k 0, 0m且m 1) 例2：已知數(shù)列a, a=1，a0,( n1) a2 n a2aa=0，求a 解：( n1) a2 n a2aa=0 (n1) an

3、a(aa)= 0 1 / 12 a0 aa 0 (n1) ana=0 練習(xí)2：已知數(shù)列a滿足S= a( nN), S是 a的前n項和,a=1,求a.已知數(shù)列a滿足a= 3 na( nN)，且a=1，求a三、逐層迭代遞推類型三：形如a= f (a)，其中f (a)是關(guān)于a的函數(shù).需逐層迭代、細心尋找其中規(guī)律例3：已知數(shù)列a，a=1, nN，a= 2a3 n ,求通項公式a解： a= 2 a3 n a=2 a3 n-1 =2(2 a3 n-2)3 n-1 = 22(2 a3 n-3)23 n-23 n-1=2 n-2(2 a3 )2 n-33 22 n-43 32 n-53 4223 n-323

4、n-23 n-1=2 n-12 n-23 2 n-33 22 n-43 3223 n-323 n-23 n-1 練習(xí)3:.若數(shù)列a中，a=3，且a=a（nN），求通項a.已知數(shù)列a的前n項和S滿足S=2a+，nN,求通項a四、運用代數(shù)方法變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解類型四：形如= ，（pq 0）且的數(shù)列，可通過倒數(shù)變形為基本數(shù)列問題當(dāng)p = q時，則有： 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列；當(dāng)p q時，則有：同類型五轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例4：若數(shù)列a中，a=1，a= nN，求通項a解： 又 ， 數(shù)列 a是首項為1，公差為的等差數(shù)列=1 a= nN練習(xí)4：已知f (n) = ，數(shù)列 a滿足 a=1，a=f (a)，求a類型五

5、：形如apa+ q ,pq0 ，p、q為常數(shù)當(dāng)p 1時，為等差數(shù)列；當(dāng)p 1時，可在兩邊同時加上同一個數(shù)x，即a+ x = pa+ q + x a+ x = p(a+ )， 令x = x = 時，有a+ x = p(a+ x )， 從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 a+ 求解例5：已知數(shù)列a中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、，求通項a解： a= a+ 1 a2 =(a 2) 又a2 = -10 數(shù)列 a2首項為-1，公比為的等比數(shù)列 a2 = -1 即 a= 2 2 nN練習(xí)5：.已知 a=1，a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4) ，求數(shù)列a的通項 . 已知數(shù)列a滿足a= ，a=，求a類型

6、六：形如apa+ f (n)，p0且 p為常數(shù)，f (n)為關(guān)于n的函數(shù)當(dāng)p 1時，則 aa+ f (n) 即類型一當(dāng)p 1時，f (n)為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或指數(shù)和多項式的混合形式若f (n)為關(guān)于n的多項式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c為常數(shù)），可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例6：已知數(shù)列 a滿足a=1，a= 2an，nN求a解：令a+ xa(n+1)+ b(n+1) + c = 2(a+ an+ bn + c) 即 a= 2 a+ (2aax)n+ (2b -2ax bx)n +2c ax bx cx 比較系數(shù)得： 令x = 1，得： a+ (

7、n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) a+1+21+3 = 7令b= a+ n+2n + 3 則 b= 2b b= 7 數(shù)列 b為首項為7，公比為2德等比數(shù)列 b= 7 2 即 a+ n+2n + 3 = 7 2 a= 7 2( n+2n + 3 ) nN若f (n)為關(guān)于n的指數(shù)形式（a）當(dāng)p不等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列；當(dāng)p等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列例7：（同例3）若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4) ，求數(shù)列a的通項a解: a= 2 a+ 3 令a+ x3= 2(a+x3) 得 a= 2 ax3 令-x3= 3 x = -1 a3= 2

8、(a3) 又 a3 = - 2 數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列=-22 即a= 3-2 nN例8：數(shù)列 a中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4) 試求通項a解： a=3a+ 3-1 a 3 是公差為1的等差數(shù)列=+() = +() = n +a= ( nN若f (n)為關(guān)于n的多項式和指數(shù)形式（a）的混合式，則先轉(zhuǎn)換多項式形式在轉(zhuǎn)換指數(shù)形式例如上面的例8練習(xí)6:.已知數(shù)列a中a= 1,a= 3 a+ n ,; 求a的通項 設(shè)a為常數(shù)，且a= 32 a (nN且n 2 )證明：對任意n 1，a= 3+ (-1)2 +(-1)2a類型七：形如a= p a+ q a( pq 0

9、， p、q為常數(shù)且p+ 4q 0 )，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例9: 已知數(shù)列a中a= 1, a= 2且 ,; 求a的通項解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+x)( a+ a)令x = x+ x 2 = 0 x = 1或 -2當(dāng)x = 1時,a+ a=2(a+ a) 從而a+ a= 1 + 2 = 3數(shù)列 a+ a是首項為3且公比為2的等比數(shù)列. a+ a= 3 當(dāng)x = - 2時, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0 a- 2a= 0 由、得:a= 2 , 練習(xí)7：已知: a= 2, a= , ,(n = 1、2、3、),求數(shù)列 a的通

10、項 已知數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、，根據(jù)規(guī)律求出該數(shù)列的通項五、數(shù)列的簡單應(yīng)用.例10:設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點移向另外三個頂點時等可能的.現(xiàn)拋擲骰子,根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動,若投出的點數(shù)是奇數(shù),則棋子不動；若投出的點數(shù)是偶數(shù),棋子移動到另外一個頂點.若棋子初始位置在頂點A，則: 投了三次骰子,棋子恰巧在頂點B的概率是多少? 投了四次骰子,棋子都不在頂點B的概率是多少? 投了四次骰子,棋子才到達頂點B的概率是多少？ 分析：考慮最后一次投骰子分為兩種情況 最后一次棋子動；最后一次棋子不動 解： 事件投一次骰子棋子不動的概率為；事件投一次骰子棋子動且到達頂點B的概率為

11、 =投了三次骰子,棋子恰巧在頂點B分為兩種情況.最后一次棋子不動，即前一次棋子恰在頂點B；.最后一次棋子動，且棋子移動到B點設(shè)投了i次骰子，棋子恰好在頂點B的概率為p，則棋子不在頂點B的概率為(1- p)所以，投了i+1次骰子，棋子恰好在頂點B的概率：p= p+ (1- p) i = 1、2、3、4、 p= + p p= = p= p= 投了四次骰子,棋子都不在頂點B，說明前幾次棋子都不在B點，應(yīng)分為兩種情況最后一次棋子不動；最后一次棋子動，且不到B點設(shè)投了i次骰子，棋子都不在頂點B的概率為,則投了i+1次骰子，棋子都不在頂點B的概率為：= + (1) i = 1、2、3、4、 即：= 又=

12、+(1) = = ()投了四次骰子,棋子才到達頂點B；說明前三次棋子都不在B點，最后一次棋子動且到達頂點B設(shè)其概率為P則： P = = ()= 答：（略）例11：用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊；第二層用去了剩下的一半多一塊，依次類推，每層都用去了上層剩下的一半多一塊.如果第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚？分析：本題圍繞兩個量即每層的磚塊數(shù)a和剩下的磚塊數(shù)b，關(guān)鍵是找出a和b的關(guān)系式，通過方程(組)求解解：設(shè)第i層所用的磚塊數(shù)為a，剩下的磚塊數(shù)為b(i = 1、2、3、4、 )則b= 0，且設(shè)b為全部的磚塊數(shù)，依題意，得a=b+ 1，a=b+ 1， a=b+ 1 又

13、b= a+ b 聯(lián)立得 b-b=b+ 1 即b=b- 1 b+ 2 =(b+ 2) b+2 = ()(b+ 2 ) b+2 = 22 b= 1022 練習(xí)8：十級臺階，可以一步上一級，也可以一步上兩級；問上完十級臺階有多少種不同走法？. 三角形內(nèi)有n個點，由這n個點和三角形的三個頂點，這n + 3個點可以組成多少個不重疊(任意兩個三角形無重疊部分)的三角形？甲、乙、丙、丁四人傳球，球從一人手中傳向另外三個人是等可能的.若開始時球在甲的手中若傳了n次球，球在甲手中的概率為a；球在乙手中的概率為b.(n = 1、2、3、4、 ).問傳了五次球，球恰巧傳到甲手中的概率a和乙手中的概率b分別是多少？若

14、傳了n次球，試比較球在甲手中的概率a與球在乙手中的概率b的大小.傳球次數(shù)無限多時，球在誰手中的概率大？參考答案練習(xí)1：. a=(3 n-1) . a= 練習(xí)2：. a= n -1 . a= 練習(xí)3：. a= 3 (提示：可兩邊取對數(shù)) . a= 2+ (-1)練習(xí)4：a= 練習(xí)5： a= 2-3 a=練習(xí)6：可得a+(n+1)+= 3(a+n +) 從而a=3-(n +) (略)練習(xí)7：a= 3 - ， 由已知得a= a+ a a=()-()練習(xí)8：a= a+ a， a= 1，a= 2，a= 89 a= a+ 2 ，a= 3 a= 2n+1a=(1 - a) b= (1 - b) a= 0 b= a= ； b= . 可解得a= - b= + 當(dāng)n為奇數(shù)時， ab當(dāng)n 時，a，b 故球在各人手中的概率一樣大 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！