第21章一元二次方程全章學(xué)案

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1、第二十一章 一元二次方程 21.1.1 《 一元二次方程 （1）》 一、自主學(xué)習(xí)： （一）、根據(jù)題意列方程： （1）有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無 蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形? （2）要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，依據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個隊參賽？ （二）、探索新知： （１）、問題：上述2個方程是不是一元二次方程？有何

2、共同點？ ①　　　　　　　 ?。虎凇　　　　　　? ??；③　　　　　　　 　　　　　。 （2）一元二次方程的概念：像這樣的等號兩邊都是 ,只含有___個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的方程叫做一元二次方程。 （3）任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化為 (a,b,c為常數(shù)， ）的形式,我們把它稱為一元二次方程的一般形式。為 ，為 ，為 。 （三）、注意點： (1)一元二次方程必須滿足三個條件：①

3、 ；② ； ③ 。 (2)任何一個一元二次方程都可以化為一般形式： .二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項都要包含它前面的符號。 (3)二次項系數(shù)是一個重要條件，不能漏掉，為什么？ （四）、自我嘗試： 1、下列列方程中，哪些是關(guān)于 的一元二次方程？ （1） （2） （3） （4） （5） 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項： (1) (2) (3) 二、課堂檢測： 1、下

4、列方程中，是關(guān)于X的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2、方程的一次項是（ ） A. B. C. D. 3、將方程化成一般形式為 它的二次項系數(shù)為_____，一次項系數(shù)為_____，常數(shù)項為______。 4、當(dāng)a_______時，關(guān)于X的方程（a－1）x2+3x－5=0是一元二次方程。 21.1.2 《一元二次方程（2）》 一、自主學(xué)習(xí)： （一） 一個面積為12m2的矩形苗圃，它的長比寬多1m，苗圃的長和寬各是多少？ 設(shè)苗圃的寬為xm，則長

5、為_______m． 根據(jù)題意，得 ． 整理，得 （二）探索新知： 1．下面哪些數(shù)是上述方程的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4． 2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ，即：使一元二次方程等號左右兩邊相等的_________的值。 3、判斷下列一元二次方程后面括號里的哪些數(shù)是方程的解： (1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7) (2)

6、 4、你能用以前所學(xué)的知識求出下列方程的根嗎？ (1) (2) (3) （三）、注意點： 1、使一元二次方程成立的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 2、由實際問題列出方程并得出解后，還要考慮這些解是否是實際問題的解。 （四）、自我嘗試： 1、下列各未知數(shù)的值是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 2、根據(jù)表格確定方程= 0的解的范圍____________ x 1.0 1.1 1.2 1.3 0.5 －0.09 －0

7、.66 －1.21 3、已知方程的一個根是1，則m的值是______ 二、課堂檢測： 1、把化成一般形式是______________,二次項是___ _，一次項系數(shù)是_______，常數(shù)項是_______。 2、一元二次方程的根 ；方程x（x－1）=2的兩根為 。 3、寫出一個以為根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次項系數(shù)為1：_________ _。 4、已知m是方程的一個根，則代數(shù)式________。 5．若，則_____________。 6．如果x2－81=0

8、，那么x2－81=0的兩個根分別是x1=________，x2=__________． 7．已知方程5x2+mx－6=0的一個根是x=3，則m的值為________． 21.2.1 《用直接開平方法解一元二次方程》 一、自主學(xué)習(xí) （一）、復(fù)習(xí)引入 問題1．填空 （1）x2－8x+_____=（x－___）2；（2）9x2+12x+____=（3x+____）2；（3）x2+px+_____=（x+____）2． （二）探索新知： 1、36的平方根是 ,的平方根是____________。 2、若，則=______________；若，則=_____

9、_____。 3、請根據(jù)提示完成下面解題過程： (1) 由方程 ， 得 (2) 由方程 ， 得 =_______ (_________)=2 即 ∴ ______________=_______ =____，=_____ 即 ____________, ____________ ∴ =_______, =_____

10、 ∴ =_______, =_____ （三）、歸納概括： 1、形如或的一元二次方程可利用平方根的 定義：用開平方的方法直接求解，這種解方程的方法叫做直接開平方法。 2、如果方程能化成或的形式，那么可得， 或。 3、用直接開平方法解一元二次方程實質(zhì)上是把一個一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程。 （四）、自我嘗試 解下列方程： (1) (2) (3) (4) 二、課堂檢測： 1、方程的根是（ ） A. B. C. D.

11、 2、解下列方程： (1） (2) (3) (4) 21.2.2 《用配方法解一元二次方程》 一、自主學(xué)習(xí) （一）復(fù)習(xí)引入：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立： (1) +____ = (2) ____ = (___) (3) ____ = (____) （4）－x＋_____＝（x－____）2 由上面等式的左邊可知，常數(shù)項和一次項系數(shù)的關(guān)系是： （二）探索新知：例：解方程： 解：原方程可化為：2x2-5x+2= 0

12、 2x2-5x= -2 x2-x= -1 x2-x= -1 ∴x1= , x2= （三）、歸納總結(jié)： 1、通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。 2、配方是為了降次，把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來解。 3、用配方法解一元二次方程的一般步驟是： ①、常數(shù)項右移。 ②、二次項系數(shù)化“1”。 ③、配方。即：在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方； ④、利用直接開平方法

13、解之。 （四）、自我嘗試：解下列方程：（同桌相互查找問題，進(jìn)行糾正） (1) (2) (3) 二、課堂檢測： 1、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立： (1) (2) (3) (4) 2、將方程配方后，原方程變形為（ ） A. B. C. D. 3、解下列方程： (1) (2) (3) 21.2.3《公式法》 一、自主學(xué)習(xí)： (一)復(fù)習(xí)提問 1、用配方法解一元二次方程的步驟有哪些？ 2、你

14、能用配方法解方程嗎？請嘗試解 （二）歸納總結(jié)： 1、一元二次方程的根由方程的______ ___確定。當(dāng)__________時，它的根是 ，這個式子叫做一元二次方程的 ，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。 2、一元二次方程： 當(dāng) 時，方程有實數(shù)根 ； 當(dāng)_________時，方程有實數(shù)根______________________；當(dāng)________時，方程沒有實數(shù)根。 3、用

15、公式法解一元二次方程的方法： ①、化為一般形式。 ②、列出a、b、c的值并計算△的值，與0比較大小。 ③、套求根公式。 ④、寫出方程的根。 例題：用公式法解一元二次方程: x2-3x= x+1 解：原方程可化為：x2-4x-1= 0 ∵a=1，b=-4，c=-1 ∴△== – 41（-1）=20＞0 ∴x== ∴x1= , x2= （三）、自我嘗試： 1、一元二次方程的求根公式是____________ ___。 2、用公式法解方程： (1) (2) 3、 不解方程，判斷下列方

16、程實數(shù)根的情況： (1) (2) (3) 二、課堂檢測： 1、下列方程中，沒有實數(shù)根的是（ ） A. B. C. D. 2、若a有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是： 3、用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 21.2.4 《因式分解法》 一、 自主學(xué)習(xí) （一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 背景材料：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個物體從地面以10M/S的速度豎直上拋，那么經(jīng)過xs物體離

17、地面的高度（單位：m）為10x－4.9 x2。 設(shè)問1：你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎？（精確到0.001s） 設(shè)問2；除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程？ （二）探索新知： 對于方程10x－4.9 x2=0。它的右邊為0，左邊可以因式分解，得 =0； 于是得 或 。 所以：x1 = ，x2≈ 設(shè)問3：方程的兩根都符合問題的實際意義嗎？ 設(shè)問4：以上解方程的方法是如何使二次方程降為一元一次的？ （三）歸納總結(jié)： 1、對于一元二次方程，

18、先因式分解使方程化為 的形式， 再使______________________________，從而實現(xiàn)___________，這種解法叫做______________。 2、如果，那么或，這是因式分解法的根據(jù)。如：，則 或 ，即或 。 （四）、注意點： 1、因式分解法是解一元二次方程最簡單的方法，但只適用于左邊易因式分解而右邊是0的一元二次方程。 2、因式分解法的根據(jù)是：如果，那么或。據(jù)此把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解，達(dá)到降次的目的。 （五）、自我嘗試

19、： 1、說出下列方程的根：（1） （2） 2、解下列方程： (1) (2) (3) 二、課堂檢測： 1、方程的根是（ ） A. ， B.， C.， D. ， 2、下列方程適合用因式分解法的是（ ） A. B. C. D. 3、方程的根是________________。 4、用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) 21.2.5 《習(xí)題課》 一、自主學(xué)習(xí)： 1、解一元二

20、次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據(jù) 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 或 配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 因式分解法 兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0 一邊是0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積的一元二次方程 3、一般考慮選擇方法的順序是： 直接開平方法、 分解因式法、 配方法或公式法 二、課堂檢測 1、方程的根是（ ） A. B. C.

21、 D. 2、一元二次方程的根是__________________________. 3、當(dāng)____________時，代數(shù)式的值等于3. 4、兩個數(shù)的和為－7，積為12，這兩個數(shù)是_____________________. 5、解下列方程： (1) (2) (3) (4) 6、一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，有人統(tǒng)計一共握了66次手，這次會議到會的人數(shù)是多少？ 7、 已知是方程的一個根，求方程的另一個根及c的值。

22、 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 一、前置學(xué)習(xí) ⑴一元二次方程的一般形式： ⑵一元二次方程的解法有： ⑶一元二次方程的求根公式： 二、展示交流： 1.探究1：完成下列表格 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-5x+6=0 x2+3x-10=0 x2+px+q=0的兩根x1,x2用式

23、子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 2.探究2：完成下列表格 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 ax2+bx+c=0的兩根x1,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 . 3.利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） ax2+bx+c=0的兩根x1=,x2= (前提條件是: ) x1+x2= x1x2= 三、達(dá)標(biāo)拓展 1.不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積

24、： ⑴x2-6x-15=0 ⑵3x2+7x-9=0 ⑶5x-1=4x2 2.已知方程2x2+kx-6=0的一個根是-3，求另一根及k的值。 3.拓展應(yīng)用 ⑴已知α,β是方程x2-3x-5=0的兩根,不解方程,求下列代數(shù)式的值 （1）1/α+1/β（2）α2+β2（3）α-β ⑵已知關(guān)于x的方程3x2-5x-2=0,且關(guān)于y的方程的兩根是x方程的兩根的2倍,則關(guān)于y的方程是；關(guān)于z的方程的兩根是x方程的兩根的平方,則關(guān)于z的方程是。 四、鞏固提高 1.方程2x2-3x-1=0，則x1+x2=，x1x2= 2.若方程x2+px+2=0的一個根2，則它的另一個

25、根為p=__ 3.若0和-3是方程的x2+px+q=0兩根，則p+q= 4.在解方程x2+px+q=0時，甲同學(xué)看錯了p，解得方程根為x=1與x=-3；乙同學(xué)看錯了q，解得方程的根為x=4與x=-1，你認(rèn)為方程中的p=，q=. 5.兩根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是（） A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0 6.若方程x2+px+q=0的兩根中只有一個為0，那么（ ） Ap=q=0BP=0,q≠0Cp≠0,q=0 Dp≠0,q≠0 7.不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積： ⑴x2-5x-10=0⑵2x2+6x+1

26、=0 ⑶3x2-1=2x+5⑷x（x-1）=3x+7 8.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的兩根,則(x1+2)(x2+2)的值為 . 9.若實數(shù)a、b滿足a2 +5a+2=0和b2+5b+2=0,則式子1/a+1/b的值是 . 10.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2m+2)x+3m=0． （1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）若x1，x2是原方程的兩根，且︱x1-x2︱= 2,求m的值。 （3）當(dāng)m取何值時，原方程有兩個正的實數(shù)根且一根小于1另一根大于1？

27、21.3《實際問題與一元二次方程(1)》 一、自主學(xué)習(xí)： 1、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟: (1)“設(shè)”，即設(shè)_____________，設(shè)求知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)未知數(shù)兩種； (2)“列”，即根據(jù)題中________關(guān)系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的_________； (4)“檢驗”，即驗證是否符合題意； (5)“答”，即回答題目中要解決的問題。 （二）自主探究 問題：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？ 分析：1、設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染

28、了_______人，第一輪后共有 人患了流感：2、第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了____ ___人，第二輪后共有 人患了流感。 則：列方程 ，解得 ，即平均一個人傳染了 個人。 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？ （三）歸納總結(jié)： 1、 2、平均增長率公式： Q=a(1x)n 其中a是增長（或降低）的基礎(chǔ)量，x是平均增長（或降低）率，n是增長（或降低）的次數(shù)。 （四）、自我嘗試： 某種細(xì)菌，一個細(xì)菌經(jīng)過兩

29、輪繁殖后，共有256個細(xì)菌，每輪繁殖中平均一個細(xì)菌繁殖了多少個細(xì)菌？ 二、課堂檢測： 1．某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量，平均每年的增長率為x，第一年的產(chǎn)量為6萬kg，第二年的產(chǎn)量為 kg，第三年的產(chǎn)量為 kg，三年總產(chǎn)量為 kg． 2.某廠今年一月的總產(chǎn)量為500噸,三月的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程( ) A. 720 B. C. D. 3．我國政府為了解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品價格，某種

30、藥品在1999年漲價30%后，2001年降價70%至a元，則這種藥品在1999年漲價前價格是__________． 4、某工廠第一季度的一月份生產(chǎn)電視機(jī)是1萬臺，第一季度生產(chǎn)電視機(jī)的總臺數(shù)是3.31萬臺，求二月份、三月份生產(chǎn)電視機(jī)平均增長的百分率是多少？ 5、商店里某種商品在兩個月里降價兩次，現(xiàn)在該商品每件的價格比兩個月前下降了36％，問平均每月降價百分之幾？ 6、某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率． 21.3《實際問

31、題與一元二次方程(2)》 一、自主學(xué)習(xí): （一）復(fù)習(xí)鞏固： 1、某商店銷售一批服裝，每價成本價100元，若想獲得25%，這種服裝的售價應(yīng)為______________元。 2、某商品原價a元，因需求量大，經(jīng)營者將該商品提價10%，后因市場物價調(diào)整，又降價10%，降價后這種商品的價格是_______________。 （二）、歸納總結(jié)： 1、有關(guān)利率問題公式：利息=本金利率存期 本息和=本金+利息 2、有關(guān)商品利潤的關(guān)系式： （1）利潤=售價－進(jìn)價 （2）利潤率= （3） 售價=進(jìn)價（1+利潤率） （三）、自我嘗試： 某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，

32、一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元? 二、課堂檢測： 1．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（ ）． A．12人 B．18人 C．9人 D．10人 2．一個產(chǎn)品原價為a元，受市場經(jīng)濟(jì)影響，先提價20%后又降價15%，現(xiàn)價比原價多_______%． 3．一個容器盛滿純藥液63升，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，第二次又倒出同

33、樣多的藥液，再加水補(bǔ)滿，這時容器內(nèi)剩下的純藥液是28升，設(shè)每次倒出液體x升，則列出的方程是 ． 4．上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那么哪個商場利潤的年平均上升率較大? 5．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量，試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個，如果要使產(chǎn)量增加15.2%，那么應(yīng)多種多少棵桃樹? 6.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若每千克50元銷售，一個月能售

34、出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產(chǎn)品情況，請解答以下問題： （1）當(dāng)銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤． （2）設(shè)銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關(guān)系式． （3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價應(yīng)為多少? 21.3《實際問題與一元二次方程(3)》 一、自主學(xué)習(xí): （一）復(fù)習(xí)鞏固 1.直角三角形的面積= , 一般三角形的面積= 2.正方形的面積=

35、 , 長方形的面積= 3.梯形的面積= 4．菱形的面積= 5.平行四邊形的面積= 6．圓的面積= （二）、注意點： 利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程 （三）、自我嘗試： 另解探究3：如果設(shè)正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm，如何解決此題呢？ 21-3-1 （四）例題選講： 例題：某校為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長32米,寬

36、20米的長方形場地上修筑若干條道路,余下部分作草坪,并請全校同學(xué)參與設(shè)計,現(xiàn)在有一位學(xué)生各設(shè)計了一種方案(如圖21－3－1),求圖中道路的寬是多少時圖中的草坪面積為540平方米。 二、課堂檢測： 1．直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為（ ）． A． B．5 C． D．7 2．從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是（ ）． A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 3．長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________． 21-3-3 4．如圖21－3－3，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，求此長方形雞場的長、寬。 5.如圖22－3－4所示，在△ABC中∠B=90，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度運(yùn)動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度運(yùn)動。如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△PBQ=8cm2． 22-3-4