3、
答案 A
解析 如圖S＝t2t－x2dx＋x2dx－(1－t)t2，
得S＝f(t)＝t3－t2＋.
∵f′(t)＝4t2－2t，
令4t2－2t＝0.得t＝(t＝0(舍))．
可知當(dāng)t＝時，S最小．最小值為S＝，選A.
7.
如圖，陰影部分的面積是( )
A．2 B．－2
C. D.
答案 C
8．由直線x＝，x＝2，曲線y＝及x軸所圍圖形的面積為( )
A. B.
C.ln2 D．2ln2
答案 D
9．在下面所給圖形的面積S及相應(yīng)表達(dá)式中，正確的有( )
S＝[g(x)－f(x)]dx S＝(2x－2x
4、＋8)dx
① ?、?
S＝f(x)dx－f(x)dx S＝[g(x)－f(x)]dx＋
[f(x)－g(x)]dx
③ ?、?
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
答案 D
解析 ①應(yīng)是S＝[f(x)－g(x)]dx，
②應(yīng)是S＝2dx－(2x－8)dx，
③和④正確．故選D.
二、填空題
10．若x(a－x)dx＝2，則實數(shù)a＝________.
答案
11．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)＝x＋2f(t)dt，則f(x)＝________.
答案 x－2
12
5、．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，(0≤x0≤1)，則x0的值為________．
答案
三、解答題
13.(|2－x|＋|sinx)|dx.
解析 原式＝(|x－2|)dx＋(|sinx|)dx
＝＋2＋sinxdx＋(－sinx)dx
＝＋2＋2＋cos5＋1＝＋cos5.
14．已知f(x)是一個一次函數(shù)，其圖像過(3,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．
解析 設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，其圖像過點(3,4)，
∴4＝3k＋b.
1＝(kx＋b)dx＝(kx2＋bx)|＝k＋b.
從而有解得
∴f(x)＝x＋.
6、
?重點班選做題
15．求c的值，使(x2＋cx＋c)2dx最?。?
解析 令y＝(x2＋cx＋c)2dx
＝(x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx
＝(x5＋cx4＋c2x3＋cx3＋c2x2＋c2x)
＝＋c＋c2，令y′＝c＋＝0，
得c＝－，所以當(dāng)c＝－時，y最小．
1．從空中自由下落的物體，在第一秒時刻恰經(jīng)過電視塔頂，在第2秒時刻物體落地，已知自由落體的運動速度為v＝gt(g為常數(shù))，則電視塔高為________．
答案 g
2．在曲線y＝x2(x≥0)上某一點A處作一切線與曲線及坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為，試求：
(1)過點A的坐標(biāo)；
7、
(2)過切點A的切線方程．
解析 如圖所示，設(shè)切點A(x0，y0)．
由y′＝2x知過A點切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)且y0＝x，
即y＝2x0x－x.
令y＝0，得C(，0)．
設(shè)由曲線與過A點的切線及x軸圍成的面積為S，則S＝S曲線OAB－S△ABC＝.
∵S曲邊AOB＝x2dx＝x3＝x，
S△ABC＝BCAB＝(x0－)x＝x，
∴＝x－x＝.
解得x0＝1，從而A(1,1)切線方程為y＝2x－1.
3．(2013廣州質(zhì)檢)A，B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達(dá)途中C點，這一段速度為1.2t(m/s)，到達(dá)
8、C的速度達(dá)24 m/s，從C點到B點前的D點勻速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(24－1.2t)m/s，在B處恰好停車，試求：
(1)A，C間的距離；
(2)B，D間的距離；
(3)從A到B的時間．
解析 (1)設(shè)A到C點經(jīng)過t1s，
由1.2t1＝24，得t1＝20(s)．
∴AC＝1.2tdt＝0.6t2＝240 (m)．
(2)設(shè)從D→B經(jīng)過t2s，
由24－1.2t2＝0，得t2＝20(s)．
∴DB＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
從C到D的時間t3＝＝280(s)，
所求A到B的時間為20＋280＋20＝320(s)．
9、
1．(2012福建)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 利用積分求出陰影部分的面積，應(yīng)用幾何概型的概率計算公式求解．
∵S陰影＝(－x)dx＝(x－x2)＝－＝，又S正方形OABC＝1，∴由幾何概型知，P恰好取自陰影部分的概率為＝.
2．(2011湖南)曲線y＝－在點M(，0)處的切線的斜率為( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 B
解析 y′＝
＝，故y′x＝＝，
∴曲線在點M(，0)處的切線的斜率為.
3．(2011江西
10、)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f′(x)>0的解集為( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
答案 C
解析 由題意知x>0，且f′(x)＝2x－2－，
即f′(x)＝>0，∴x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2.又∵x>0，∴x>2.
4．(2011新課標(biāo)全國)由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為( )
A. B．4
C. D．6
答案 C
解析 由得其交點坐標(biāo)為(4,2)．
因此y＝與y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為
[－(x－2)]dx＝(－x＋2)d
11、x
＝(x－x2＋2x)＝8－16＋24＝.
5．(2011山東)函數(shù)y＝－2sinx的圖像大致是( )
答案 C
解析 因為y＝－2sinx是奇函數(shù)，所以其圖像關(guān)于原點對稱，因此可排除A.為求解本題，應(yīng)先研究＝2sinx，即sinx＝x，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1＝sinx與y2＝x的圖像，如下圖，可知，當(dāng)x>0時，y1＝sinx與y2＝x只有一個交點，設(shè)其交點坐標(biāo)為(x0，y0)，則當(dāng)x∈(0，x0)時，sinx>x，即2sinx>x，此時，y＝x－2sinx<0.又f′(x)＝－2cosx，因此當(dāng)x>0時，可以有f′(x)>0，也可以有f′(x)<0，即函數(shù)有增有減，有多個極值
12、點，且極值點呈周期性，因此可排除B、D，故選C.
6．(2010山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( )
A．13萬件 B．11萬件
C．9萬件 D．7萬件
答案 C
解析 ∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234，
∴y′＝－x2＋81.
令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．
當(dāng)00，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x>9時，y′<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．
故當(dāng)x＝9時，y取最大值．
7．(2010遼寧)已知點P在曲線y＝
13、上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
答案 D
解析 ∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，則ex＝t－1且t>1.
∴y′＝＝－.
再令＝m，則0
14、＋1＋x＝3lnx＋4.
∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝4.
∴所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
9．(2012山東)設(shè)a>0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________.
答案
解析 利用定積分的幾何意義求解．
S＝dx＝x＝a＝a2，∴a＝.
10．(2011廣東)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．
答案 2
解析 由f(x)＝x3－3x2＋1，可得f′(x)＝3x2－6x＝
3x(x－2)．
當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，f
15、′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝2時，函數(shù)f(x)取得極小值．
11．(2011北京)已知函數(shù)f(x)＝(x－k)2e.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范圍．
解析 (1)f′(x)＝(x2－k2)e.
令f′(x)＝0，得x＝k.
當(dāng)k>0時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：
x
(－∞，－k)
－k
(－k，k)
k
(k，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
4k2e－1
↘
0
所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－k)和(k，＋∞)；單調(diào)遞
16、減區(qū)間是(－k，k)．
當(dāng)k<0時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：
x
(－∞，k)
k
(k，－k)
－k
(－k，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
0
4k2e－1
↘
所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，k)和(－k，＋∞)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k，－k)．
(2)當(dāng)k>0時，因為f(k＋1)＝e>，所以不會有
?x∈(0，＋∞)，f(x)≤.
當(dāng)k<0時，由①知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是
f(－k)＝.
所以?x∈(0，＋∞)，f(x)≤等價于f(－k)＝≤.解得－≤k<0.
故當(dāng)?x∈
17、(0，＋∞)，f(x)≤時，k的取值范圍是[－，0)．
1．(2012遼寧)設(shè)f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點相切．
(1)求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)00時，2
18、x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，則當(dāng)00時，
20時，f(x)
2014-2015學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué) 課時作業(yè)18 （新人教A版選修2-2）
