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1、
歷屆真題專題
【2011年高考試題】
一、選擇題:
1.(2011年高考安徽卷理科9)已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C.
2.(2011年高考遼寧卷理科4)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asin AsinB+bcos2A=則（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： D
解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）
2、=sinA，
故sinB=sinA，所以；
3.(2011年高考遼寧卷理科7)設(shè)sin，則（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案： A
解析：
4.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，則
（A） （B） （C） （D）
【答案】 C
【解析】：
故選C
5. (2011年高考全國新課標(biāo)卷理科5)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與橫軸的正半軸重合，終邊在直線上，則，（ ）
A B C D
9. (2011年高
3、考天津卷理科6)如圖，在△中，是邊上的點(diǎn)，且，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè),則由題意可得: ,在中,由余弦定理得：
=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故選D.
10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函數(shù)，若，則的取值范圍為
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由，即，解得，
即，所以選B.
11．(2011年高考陜西卷理科6)函數(shù)在內(nèi)
（A）沒有零點(diǎn) （B）有且僅有一個零點(diǎn)
（C）有且僅有兩一個零點(diǎn)（D）
4、有無窮個零點(diǎn)
【答案】B
【解析】：令，，則它們的圖像如圖故選B
12.(2011年高考重慶卷理科6)若的內(nèi)角所對的邊滿足，且，則的值為
（A） (B)
(C)1 (D)
解析：選A。 由得，由得，解得
13. (2011年高考四川卷理科6)在ABC中．.則A的取值范圍是( )
(A)(0，] (B)[ ，) (c)(0，] (D) [ ，)
15．(2011年高考福建卷理科3)若tan=3，則的值等于
A．2 B．3
5、 C．4 D．6
【答案】D
16．(2011年高考福建卷理科10)已知函數(shù)f（x）=e+x，對于曲線y=f（x）上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點(diǎn)A,B,C，給出以下判斷：
①△ABC一定是鈍角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中，正確的判斷是
A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④
【答案】B
二、填空題:
1.(2011年高考遼寧卷理科16)已知函數(shù)f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分圖像如下圖，則f（）=____________.
6、
答案：
解析：函數(shù)f(x)的周期是，故，由得.所以，故.
2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一個內(nèi)角為120o，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_______________
【答案】
【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的概念，考查余弦定理的應(yīng)用，考查利用公式求三角形面積.
【解析】設(shè)三角形的三邊長分別為，最大角為，由余弦定理得，則，所以三邊長為6,10,14.△ABC的面積為.
3. (2011年高考全國新課標(biāo)卷理科16)在中，，則的最大值為 。
4.(2011年高考重慶卷理科14)已知，且，則的值為
解析：。 由題設(shè)條
7、件易得：，故，，所以
5.(2011年高考全國卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，則tan2α=
【答案】
【解析】 a∈(，)，sinα=
則tanα= 故tan2α=
6.(2011年高考安徽卷江蘇7)已知 則的值為__________
【答案】
【解析】因?yàn)?而=-cot2x,所以,
又因?yàn)?所以解得,所以的值為.
.
8．(2011年高考北京卷理科9)在中。若b=5，，tanA=2，則sinA=____________；a=_______________。
11．(2011年高考上海卷理科8)函數(shù)的最大值為 。
【答案】
8、
【解析】將原函數(shù)解析式展開得=,故最大值為
=.
三、解答題:
1. (2011年高考山東卷理科17)（本小題滿分12分）
在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
（I） 求的值；
（II） 若cosB=，,求的面積.
2.(2011年高考浙江卷理科18)（本題滿分14分）在中，角所對的邊分別為a,b,c已知且.（Ⅰ）當(dāng)時，求的值；(Ⅱ)若角為銳角，求p的取值范圍；
3. (2011年高考天津卷理科15)（本小題滿分13分）
已知函數(shù)，
（Ⅰ）求的定義域與最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)，若求的大小．
4. (2011年高考江西卷理科17)（本小題滿分12分）
9、
在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin
（1）求sinC的值
（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求邊c的值
解析：由，即，
因?yàn)?，所以，兩邊平方得?
（2）由得，所以，所以，
由得，由余弦定理得，
又，即，所以，
所以，所以．
本題考查三角形、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式及余弦定理．
5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，且滿足.
求角的大?。?
求的最大值，并求取得最大值時角的大小.
評析：本大題主要考查解三角形中的正弦
10、定理或余弦定理的運(yùn)用，以及運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換的能力以及三角函數(shù)的最值、求角問題.
6. (2011年高考廣東卷理科16)（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）求的值；
（2）設(shè)求的值.
【解析】解：（1）
；
（2）
故
7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小題滿分10分）
設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為，已知.
(Ⅰ) 求△ABC的周長；
(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式和解斜三角形的基礎(chǔ)知識，同時考查基本運(yùn)算能力.
解析：
（Ⅰ）的周長為
（Ⅱ）
故A為銳角.
..
11、
8．(2011年高考陜西卷理科18)（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理
【解析】：余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的兩倍積。或，，
證法一 ，如圖
即
9.(2011年高考重慶卷理科16)（本小題滿分13分）
設(shè)滿足，求函數(shù) 在上的最大值和最小值
解析：
由得，解得：
因此
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
所以在上的最大值為
又因?yàn)椋?
所以在上的最小值為
10. (2011年高考四川卷理科17)（本小題共12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知，，求證：.
，
12、
，
所以，結(jié)論成立.
11.(2011年高考全國卷理科17) (本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無效)
△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知A—C=90，a+c=b，求C.
【解析】：由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C
即
12.(2011年高考安徽卷江蘇15)在△ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊為
（1）若 求A的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）因?yàn)?
所以解得,即A的值為.
（2）因?yàn)樗运栽凇鰽BC中，由正弦定理得:,因?yàn)?所以
,所以==
13、,解得
又因?yàn)?所以,解得的值為.
13．(2011年高考北京卷理科15)（本小題共13分）
已知函數(shù)。
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）因?yàn)?
所以的最小正周期為
（Ⅱ）因?yàn)?
于是，當(dāng)時，取得最大值2；
當(dāng)取得最小值—1.
14．(2011年高考福建卷理科16)（本小題滿分13分）
已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=。
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若函數(shù)在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式。
解：（I）由
【2010年高考試題】
（2
14、010浙江理數(shù)）（9）設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點(diǎn)的是
（A） （B） （C） （D）
可知答案選B，本題主要考察了必要條件、充分條件與充要條件的意義，以及轉(zhuǎn)化思想和處理不等關(guān)系的能力，屬中檔題
（2010全國卷2理數(shù)）（7）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像
（A）向左平移個長度單位 （B）向右平移個長度單位
（C）向左平移個長度單位 （D）向右平移個長度單位
【答案】B
【命題意圖】本試題主要考查三角函數(shù)圖像的平移.
【解析】=，=，所以將的圖像向右平移個長度單位得到的圖像，故
15、選B.
（2010遼寧理數(shù)）（5）設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，則的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
【答案】C
【命題立意】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換與三角函數(shù)的周期性，考查了同學(xué)們對知識靈活掌握的程度。
【解析】將y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后為，所以有=2k,即，又因?yàn)?，所以k≥1,故≥，所以選C
（2010江西理數(shù)）7.E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考查
16、三角函數(shù)的計(jì)算、解析化應(yīng)用意識。
解法1：約定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，
解得
解法2：坐標(biāo)化。約定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夾角公式得
，解得。
（2010重慶理數(shù)）
（6）已知函數(shù)的部分圖象如題（6）圖所示，則
A. =1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -
21
解析： 由五點(diǎn)作圖法知，= -
（2010
17、四川理數(shù)）（6）將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是
（A） （B）
（C） （D）
解析：將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向右平行移動個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin(x－)
再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像的函數(shù)解析式是.
【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。
（2010全國卷1理數(shù)）(2)記,那么
A. B. - C. D. -
（20
18、10湖南理數(shù)）6、在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a,b,c，若∠C=120，,則
A、a>b B、a
19、基礎(chǔ)知識，屬保分題。
（2010浙江理數(shù)）（11）函數(shù)的最小正周期是__________________ .
（2010北京理數(shù)）（10）在△ABC中，若b = 1，c =，，則a = 。
答案 1
（2010廣東理數(shù)）11.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .
11．1．解：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60．由正弦定理知，，即．由知，，則，
，
（2010全國卷1理數(shù)）(14)已知為第三象限的角，,則 .
（
20、2010山東理數(shù)）
1. （2010福建理數(shù)）14．已知函數(shù)和的圖象的對稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 。
【答案】
【解析】由題意知，，因?yàn)?，所以，由三角函?shù)圖象知：
的最小值為，最大值為，所以的取值范圍是。
2.（2010江蘇卷）10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1，直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長為_______▲_____。
[解析] 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長即為sinx的值，
且其中的x滿足6cosx=5tanx，解得si
21、nx=。線段P1P2的長為
3.（2010江蘇卷）13、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。
（方法一）考慮已知條件和所求結(jié)論對于角A、B和邊a、b具有輪換性。
當(dāng)A=B或a=b時滿足題意，此時有：，，，
，= 4。
（方法二），
（2010浙江理數(shù)）（18）(本題滿分l4分)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時，求b及c的長．
解析：本題主要考
22、察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同事考查運(yùn)算求解能力。
（Ⅰ）解：因?yàn)閏os2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π
所以sinC=.
（Ⅱ）解：當(dāng)a=2，2sinA=sinC時，由正弦定理，得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得
cosC=
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2b-12=0
解得 b=或2
所以 b= b=
c=4 或 c=4
（2010全國卷2理數(shù)）（17）（本小題滿分10分）
中，為邊上的一點(diǎn)，，，，求．
【命題意圖】本試題主要
23、考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況.
（2010遼寧理數(shù)）（17）（本小題滿分12分）
在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對邊，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
解：
（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ，A=120 ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故當(dāng)B=30時，sinB+sinC取得最大值1。
24、 ……12分
（2010江西理數(shù)）17.（本小題滿分12高☆考♂資♀源*網(wǎng)分）
已知函數(shù)。
(1) 當(dāng)m=0時，求在區(qū)間上的取值范圍；
(2) 當(dāng)時，，求m的值。
【解析】考查三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求值問題。依托三角函數(shù)化簡，考查函數(shù)值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換，屬于中等題.
解：（1）當(dāng)m=0時，
，由已知，得
從而得：的值域?yàn)?
（2）
化簡得：
當(dāng)，得：，，
代入上式，m=-2.
（2010北京理數(shù)）（15）（本小題共13分）
已知函數(shù)。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和
25、最小值。
解：（I）
（II）
=
=,
因?yàn)椋?
所以，當(dāng)時，取最大值6；當(dāng)時，取最小值
（2010四川理數(shù)）（19）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明兩角和的余弦公式；
由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面積，且，求cosC.
本小題主要考察兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識及運(yùn)算能力。
解：(1)①如圖，在執(zhí)教坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O，并作出角α、β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于P2；角β的始邊為OP2
26、，終邊交⊙O于P3；角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于P4.
則P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展開并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β
27、)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
（2010天津理數(shù)）（17）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若，求的值。
（Ⅱ）解：由（1）可知
又因?yàn)椋?
由，得
從而
所以
（2010廣東理數(shù)）16、（本小題滿分14分）
已知函數(shù)在時取得最大值4．
(1)求的最小正周期；
(2)求的解析式；
(3)若(α
28、+)=,求sinα。
，，，，．
（2010山東理數(shù)）
（2010湖南理數(shù)）16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；
（II）求函數(shù)的零點(diǎn)的集合。
（2010湖北理數(shù)） 16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)=
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
（2010福建理數(shù)）19．（本小題滿分13分）
。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時的航行速
29、度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。
（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由。
此時，在中，，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：
航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。
（2010安徽理數(shù)）16、（本小題滿分12分）
設(shè)是銳角三角形，分別是內(nèi)角所對邊長，并且
。
(Ⅰ)求角的值；
(Ⅱ)若，求（其中）。
（2010江蘇卷）17、（本小題滿分14分）
某
30、興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；
(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時，-最大？
[解析] 本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的電視塔的高度H是124m。
（2）由題設(shè)知，得，
，（當(dāng)且僅當(dāng)時
31、，取等號）
故當(dāng)時，最大。
因?yàn)?，則，所以當(dāng)時，-最大。
故所求的是m。
（2010江蘇卷）23.（本小題滿分10分）
已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。
（1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
[解析] 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。
（方法一）（1）證明：設(shè)三邊長分別為，，∵是有理數(shù)，
是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，
∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。
（2）①當(dāng)時，顯然cosA是有理數(shù)；
當(dāng)時，∵，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， ∴
32、也是有理數(shù)；
②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。
當(dāng)時，，
，
，
解得：
∵cosA，，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，
∴是有理數(shù)。
即當(dāng)時，結(jié)論成立。
綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知
是有理數(shù)。
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。
①當(dāng)時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。
②假設(shè)當(dāng)時，和都是有理數(shù)。
當(dāng)時，由，
，
及①和歸納假設(shè)，知和都是有理數(shù)。
即當(dāng)時，結(jié)論成立。
綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。
【2009年高考試題】
33、
1．(2009山東文理3)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ).
A. B. C. D.
答案:A
解析：將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選A.
2．(2009浙江文理8)已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是( )
答案：D
解析：對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．
3．(2009天津理7)已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù)的圖象，只要將的圖象
A 向左平移個單位
34、長度 B 向右平移個單位長度
C 向左平移個單位長度 D 向右平移個單位長度
答案：A
解析：由于，則，，又
，故，向左平移個單位長度
4．(2009江蘇4)函數(shù)為常數(shù)，
在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則 .
解析：考查三角函數(shù)的周期知識。
，，所以，
6．(2009海南理14)已知函數(shù)(>0, )的圖像如圖所示，則 =________________
解析：由圖可知，
答案：
5．(2009安徽文理16)在△ABC中，sin(C-A)=1,sinB=.
(Ⅰ)求sinA的值；
(Ⅱ)設(shè)AC=，
35、求△ABC的面積.
本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運(yùn)算求解能力。本小題滿分12分
6.（2009寧夏海南理15）（本小題滿分12分）
為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。
第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理 .
方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：
A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角，；A，B的距離 d
36、 （如圖所示）.
②第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理?。?
第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理?。?
第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理
7．(2009山東理17)設(shè)函數(shù)。
(Ⅰ)求函數(shù)的最大值和最小正周期；
(Ⅱ)設(shè)A，B，C為的三個內(nèi)角，若，且C為銳角，求。
解：(1)∵與互相垂直，則，即，代入得，又，∴.
(2)∵，，∴，則，∴
9．(2009江蘇15)
設(shè)向量
(1)若與垂直，求的值；
(2)求的最大值;
(3)若，求證：∥.
[解析] 本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角
37、和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿分14分。
10．(2009浙江理18)在ABC中，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足=,
=3.
(Ⅰ)求的面積；
(Ⅱ)若b+c=6,求a的值。
解析：(I)因?yàn)?，，又由，得?
(II)對于，又，或，由余弦定理得，
11．(2009天津理17)在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值：
(II) 求sin的值
本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力。滿分12
38、分。
(Ⅰ)解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，
于是AB=
(Ⅱ)解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA=
于是 sinA=
從而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=
12.（2009福建理）（本小題滿分13分）
如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動
賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為
S(3，2)；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽
運(yùn)動員
39、的安全，限定MNP=120
（I）求A , 的值和M，P兩點(diǎn)間的距離；
（II）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道MNP最長？
本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，
解法一
（Ⅰ）依題意，有，，又，。
當(dāng) 是，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120，MP=5，
設(shè)∠PMN=，則0<<60
由正弦定理得
,
故
0<<60，當(dāng)=30時，折線段賽道MNP最長
亦即，將∠PMN設(shè)計(jì)為30時，折線段道MNP最長
解法二：
40、（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故
從而，即
當(dāng)且僅當(dāng)時，折線段道MNP最長
注：本題第（Ⅱ）問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一，除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計(jì)方式，還可以設(shè)計(jì)為：①；②；③點(diǎn)N在線段MP的垂直平分線上等
13.（2009遼寧理14）（本小題滿分12分）
如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算
41、結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）
解:
在△ABC中，∠DAC=30, ∠ADC=60－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180－60－60=60，
故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA， ……5分
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距離約為0.33km。 ……12分
【2008年高考試題】
1．(2008山東卷)函數(shù)的圖象是
答案：A
解析：本題考查復(fù)合函數(shù)的圖象。
是偶函數(shù)，可排除B,D; 由排除C,選A。
2．(2008山東卷)已知，則的值
42、是
(A)- (B) (C)- (D)
答案：C
解析：本題考查三角函數(shù)變換與求值。
，
3．(2008山東理科卷)已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量m＝()，n＝(cosA,sinA).若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，則角B＝.
答案：
解析：本題考查解三角形
，，
，。
4．(2008江蘇卷)的最小正周期為，其中，則 。
解析：本小題考查三角函數(shù)的周期公式。。
答案：10
＝( )
y
x
1
1
O
A．1 B．2
43、 C． D．
答案：B
解析：由圖象知函數(shù)的周期，所以
7．(2008海南、寧夏理科卷)( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：，選C。
8．(2008山東卷)已知函數(shù)f(x)＝為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
(Ⅰ)求f()的值；
(Ⅱ)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
故 f(x)=2cos2x.
因?yàn)?
(Ⅱ)將f(x)的圖象向右平移個個單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原
44、來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象.
所以
當(dāng) (k∈Z),
即4kπ＋≤≤x≤4kπ+ (k∈Z)時，g(x)單調(diào)遞減.
因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (k∈Z)
9．(2008廣東卷)已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求的解析式；
（1） 求的值； (2) 求的值。
【解析】本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式。由條件得， 為銳角，
故。同理可得，
因此。
(1)。
(2)，
，從而。
11．(2009廣東文16)已知向量互相垂直，其中．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【2007年高考試題】
45、
1．(2007山東理5)函數(shù)的最小正周期和最大值分別為( )
A．， B．， C．， D．，
答案：A
解析：化成的形式進(jìn)行判斷即。
2．(2007廣東理3)若函數(shù)，則是( )
A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)
C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)
答案：D
3．(2007海南、寧夏理3)
已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，，．
(1)若，求的值；
(2)若是鈍角，求的取值范圍．
解析： (1)，，若c=5， 則，∴，∴sin∠A＝；
2)若∠A為鈍角，則解得，∴c的取值范圍是；
6．(2007海南寧夏理17)
46、如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)與．現(xiàn)測得，并在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高?
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
7．(2007山東理20)如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？
北
乙
甲
解法一：如圖，連結(jié)，由已知，
，
北
甲
乙
，
又，
是等邊三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．
因此，乙船的速度的大小為(海里/小時)．
答：乙船每小時航行海里．
．
．
由正弦定理
第57頁
【備戰(zhàn)】高考數(shù)學(xué) 歷屆真題專題05 三角函數(shù) 理
