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1、
福建省漳州市薌城中學高中數(shù)學 3對稱問題專題訓練 新人教A版必修2
目標：能運用直線方程的知識解決與直線有關的對稱和最值問題。
一、基本對稱：
x軸
y軸
原點
直線y = x
直線y = - x
點(1 , 2)
P (x0 , y0)
直線Ax + By + C = 0
練習：2x + 3y – 6 = 0
方程：f (x , y) = 0
函數(shù)y = f (x)
規(guī)律
圖象
應用：y =
2、 x2 + 2x + 3
(x –1)2 + (y +1)2 = 4
二、點對稱（中心對稱）——圖像旋轉180后重合
1、舉出中心對稱的例子：
如：正方形、正多邊形、圓、奇函數(shù)的圖像。
2、點與點對稱：
例1：點M（4，3）關于N（5，– 3）的對稱點是 。
一般結論：點P (x0 , y0) 關于點Q (a , b) 的對稱點是 。
解題思路：中點坐標公式。
3、直線關于點對稱：
例2：直線y = 3x - 4關于點 (1 , 1) 對稱的直線方程是
3、 。
解題思路：（1）直線上任取兩點，求關于 (1 , 1) 的對稱點——確定一條直線；
（2）兩對稱直線平行，直線的方程可設為3x – y + m = 0，由點到直線的距離相等可得；
（3）設P (x0 , y0)為直線y = 3x - 4上任一點，∴ y0 = 3x0 – 4 …… ①，
又P (x0 , y0)關于 (1 , 1) 的對稱點為P (x , y)，得
代入 ① 即得。
注：本題用（2）較簡單，但（3）為一般解法，適用于所有的函數(shù)和方程。
練習：1、方程x2 + y2 = 1關于點（1，1）對稱的方程為 。
4、
2、點A (3，– 1) 關于點B（2，1）的對稱點是 。
3、直線2x – y + 1 = 0關于點 (2 , 4) 對稱的直線方程是 。
直線x + y + 1 = 0關于點 (2 , 3) 對稱的直線方程是 。
三、軸對稱（直線）——沿直線翻折后圖像重合
1、舉出軸對稱的例子：
如：正多邊形、圓、偶函數(shù)的圖像、互為反函數(shù)的圖像。
2、點關于直線對稱：
例3：點M (2 , 4) 關于直線l: 2x – y + 1 = 0的對
5、稱點是 。
解題思路：設N (x0 , y0)，則l為MN的垂直平分線，得
聯(lián)立方程組求解。
練習：1、點M (2 , 3) 關于直線x + y + 1 = 0的對稱點是 。
2、點 (4 , 0 ) 關于直線5x + 4y + 21 = 0的對稱點是 。
3、點A (4 , 5) 關于直線l的對稱點是B (- 2 , 7)，則l的方程是 。
3、直線關于直線對稱：
例4：直線l1: x – y – 2 = 0關于直線l2: 3x – y + 3 = 0對稱的直線
6、方程為 。
解題思路：（1）夾角相等——求斜率；過交點——解方程組。
（2）l1上任取一點，求關于l2的對稱點坐標，所求直線必過對稱點及交點。
（3）設P (x0 , y0) 是l1上的任一點，∴ x – y – 2 = 0 …… ①
P關于直線l2的對稱點為Q (x , y)， 得：
把x , y看成常數(shù)，求得x0 , y0，代入 ① 即得。
注：本題用（1）較簡單，但（3）為一般解法，適用于所有的函數(shù)和方程。
練習：1、求直線2x + 3y – 6 = 0關于直線x + y – 1 = 0的對稱直線方程。
2、已知直線l: x
7、+ y – 2 = 0，一束光線過點P (0 ,) 以120的傾斜角投射到l上，經(jīng)l反射后，求反射線所在直線的方程。
3、有一光線從點A (2 , 13) 射到直線l: 3x – 4y – 4 = 0以后，再反射到點
B (- 3 , 3) ，求這條光線的入射線的反射線所在直線的方程以及這條光線從A到B所經(jīng)過的路程。
4、光線沿著斜率為的直線l1射在斜率為的直線l2上反射，若l1和l2的交點為點 (- 1 , 2) ，求反射線所在的直線方程。
一般結論：求直線Ax + By + C = 0關于直線y = x + b的對稱直線的方程。
設P (x0 , y0)，則
8、Ax0 + By0 + C = 0，P關于直線y = x + b的對稱點為Q (x , y)，
則有或。
注：在解答題中，把滿足的條件（方程組）寫出后，可直接得出結論。
如：練習1，2。（檢驗）
四、最值問題
例5：已知P為x軸上一動點，A (0 , 3) , B (4 , 5) 為兩定點，求 |PA| + |PB| 的最小值。
引申：求函數(shù)的值域。
練習：1、求函數(shù)的值域。
2、求函數(shù)的值域。
例6：在直線l: x + y – 8 = 0上求一點M，使之與兩定點A (- 4 , 0) 及B (4 , 0) 的距離之和最短。
9、
五、高考題選
1（93）和直線3x – 4y + 5 = 0關于x軸對稱的直線方程是 。
2（90）如果直線y = ax + 2與直線y = 3x - b關于直線y = x對稱，那么a = ,
b = 。
3（92）已知直線l1和l2夾角的平分線為y = x，如果l1的方程是ax + by + c = 0 (ab > 0)，那么l2的方程是 。
4（91）點P (2 , 5) 關于直線x + y = 0的對稱點坐標是 。
5（92）原點關
10、于直線8x + 6y = 25的對稱點坐標為 。
6（92上海）如果直線l與直線x + y – 1 = 0關于y軸對稱，那么直線l的方程是 。
7（97）橢圓C與橢圓關于直線x + y = 0對稱，則橢圓C的方程是 。
小結歸納：
對稱問題分為點對稱及軸對稱，點對稱僅用中點坐標公式即可，軸對稱用對稱點連線的中垂線就是對稱軸，根據(jù)中點坐標公式及斜率的關系即可解決。特別是關于原點對稱、坐標軸對稱、直線x y = 0對稱都要熟練掌握。
最值問題常用的方法是目標函數(shù)法和幾何法。
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