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1、1.3函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.1單調(diào)性與最大單調(diào)性與最大(小小)值值 1.觀察函數(shù)yx2的圖象可見(jiàn)，當(dāng)x0時(shí)，圖象是上升的，稱此函數(shù)在0，)上為增函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，圖象是下降的，稱此函數(shù)在(，0上為函數(shù)2.一般地，設(shè)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù),如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間D上為減函數(shù)減f(x1)f(x2)如果函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上具
2、有區(qū)間D叫做函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(1)如圖，已知函數(shù)yf(x)，yg(x)的圖象(包括端點(diǎn))，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)單調(diào)性解析函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間有2，1，1，0，0,1，1,2,在區(qū)間2，1，0,1上是減函數(shù)在區(qū)間1,0，1,2上是增函數(shù)函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間有3，1.5，1.5，1.5，1.5,3在區(qū)間3，1.5，1.5,3上是減函數(shù)，在區(qū)間1.5,1.5上是增函數(shù)(2)我們已知反比例函數(shù)y 的圖象如圖，它在區(qū)間(，0)和(0，)都是減函數(shù)，能否說(shuō)它在定義域上是減函數(shù)？為什么？解析不能顯然x11，x21時(shí)，滿足x1y2不成立3用單調(diào)性定義
3、證明：(1)f(x)2x1在R上為增函數(shù)(2)f(x) 在(，0)上為減函數(shù)并概括用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)設(shè)x1、x2R，且x1x2，則f(x1)f(x2)(2x11)(2x21)2(x1x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在R上為增函數(shù)本節(jié)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念及證明本節(jié)難點(diǎn)：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要在開(kāi)區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以，寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般寫成閉區(qū)間但必須注意，對(duì)于在某些點(diǎn)上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點(diǎn)2若f(x)的定義域?yàn)镈，
4、AD，BD，f(x)在A和B上都單調(diào)遞減，未必有f(x)在AB上單調(diào)遞減例1據(jù)下列函數(shù)圖象，指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間解析由圖象(1)知此函數(shù)的增區(qū)間為(，2，4，)，減區(qū)間為2,4由圖象(2)知，此函數(shù)的增區(qū)間為(，1、1，)，減區(qū)間為1,0)、(0,1.例2求證函數(shù)f(x)x31在(，)上是減函數(shù)分析通過(guò)對(duì)f(x1)f(x2)符號(hào)的判定而得結(jié)論例3已知yf(x)與yg(x)在區(qū)間A上均為增函數(shù)，判斷下列函數(shù)在區(qū)間A上的增減性(1)y2f(x)(2)yf(x)g(x)分析利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷解析(1)對(duì)任意x1，x2A，設(shè)x1x2，f(x)為增函數(shù)，f(x1)f(x2)02f(x2
5、)2f(x1)2f(x1)2f(x2)2f(x1)f(x2)02f(x2)2f(x1)，y2f(x)是減函數(shù)(2)在區(qū)間A內(nèi)任取兩個(gè)值x1、x2，設(shè)x1x2，yf(x)，yg(x)為增函數(shù)f(x2)f(x1)0g(x2)g(x1)0f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)f(x2)f(x1)g(x2)g(x1)0f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)yf(x)g(x)是增函數(shù)分析由定義作差f(x1)f(x2)，通過(guò)a的不同取值對(duì)差的符號(hào)的影響進(jìn)行討論已知函數(shù)f(x)x2(3a1)x12a在區(qū)間(，4上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)小于0，其圖象開(kāi)口向下，因而只要區(qū)間(，
6、4在對(duì)稱軸的左側(cè)，即可滿足題設(shè)要求點(diǎn)評(píng)解決此類問(wèn)題，首先搞清二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，確定開(kāi)口方向，然后，考慮單調(diào)區(qū)間應(yīng)在對(duì)稱軸左側(cè)還是右側(cè)*例5畫出函數(shù)yx22|x|3的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析函數(shù)解析式中含有絕對(duì)值號(hào)，因而需先去掉絕對(duì)值號(hào)寫成分段函數(shù)形式，然后，逐段畫圖根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間解析yx22|x|3 函數(shù)圖象如圖所示函數(shù)在(，1，0,1上是增函數(shù)；函數(shù)在1,0，1，)上是減函數(shù)所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(，1和0,1，單調(diào)減區(qū)間是1,0和1，)畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們的單調(diào)區(qū)間：(1)y|x|1；(2)y|x21|.解析(1)如圖(1)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(，0，單調(diào)增區(qū)間是0，
7、)函數(shù)的圖象如圖(2)所示函數(shù)y|x21|在(，1，0,1上都是減函數(shù)，在1,0，1，)上都是增函數(shù)例6若函數(shù)f(x)x22(a1)x2的單調(diào)遞減區(qū)間是(，4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_錯(cuò)解函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x1a，由于函數(shù)在區(qū)間(，4上單調(diào)遞減，因此1a4，即a3.辨析函數(shù)f(x)在區(qū)間A上單調(diào)減和函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是A不同正解因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，4，所以有1a4，即a3.答案B解析f(x)(3a1)xb為增函數(shù)，應(yīng)滿足3a10，即a ，故選B.2已知函數(shù)f(x)82xx2，那么下列結(jié)論正確的是()Af(x)在(，1上是減函數(shù)Bf(x)在(，1上是增函數(shù)Cf(x)在1，)上是減函數(shù)Df(x)在1，)上是增函數(shù)答案B解析由二次函數(shù)f(x)82xx2(x1)29的圖象知B對(duì)，故選B.3函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上是增函數(shù)，則yf(x5)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A(3,8) B(7，2)C(2，3) D(0,5)答案B解析由2x53得7x2，選B.點(diǎn)評(píng)yf(x5)可看作函數(shù)yf(x)的圖象向左平移5個(gè)單位得到的故選B.4函數(shù)f(x)|xa|在(，2上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()Aa2 Ba1Ca2 Da1答案A解析f(x)|xa|的圖象是以(a,0)為折點(diǎn)的折線，由圖知a2.6若函數(shù)y2x2mx3在1，)上為減函數(shù)，則m的取值范圍是_答案m4
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