初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第10講 拋物線

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1、 第十講 拋物線 一般地說來，我們稱函數(shù) (、、為常數(shù)，)為的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線，與拋物線相關(guān)的知識(shí)有： 1．、、的符號(hào)決定拋物線的大致位置； 2．拋物線關(guān)于對(duì)稱，拋物線開口方向、開口大小僅與相關(guān)，拋物線在頂點(diǎn)(，)處取得最值； 3．拋物線的解析式有下列三種形式： ①一般式：； ②頂點(diǎn)式：； ③交點(diǎn)式：，這里、是方程的兩個(gè)實(shí)根． 確定拋物線的解析式一般要兩個(gè)或三個(gè)獨(dú)立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線的解析式是解與拋物線相關(guān)問題的關(guān)鍵． 注：對(duì)稱是一種數(shù)學(xué)美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對(duì)稱圖

2、形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對(duì)稱關(guān)系，以便從整體上把握問題，由拋物線捕捉對(duì)稱信息的方式有： (1)從拋物線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等獲得對(duì)稱信息； (2)從拋物線的對(duì)稱軸方程與拋物線被軸所截得的弦長獲得對(duì)稱信息． 【例題求解】 【例1】 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的取值范圍是 ． 思路點(diǎn)撥 由圖象知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，一4)，可求出，值，先求出時(shí)，對(duì)應(yīng)的值． 【例2】 已知拋物線(<0)經(jīng)過點(diǎn)(一1，0)，且滿足．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中

3、正確的個(gè)數(shù)有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 思路點(diǎn)撥 由條件大致確定拋物線的位置，進(jìn)而判定、、的符號(hào)；由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)得等式或不等式；運(yùn)用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系． 1 / 11 【例3】 如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN＝4分米，拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米?

4、 思路點(diǎn)撥 恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，易得出M、N及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線的解析式，設(shè)A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內(nèi)． 注： 把一個(gè)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學(xué)問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實(shí)際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解． 【例4】 二次函數(shù)的圖象與軸交于A、兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與軸交于C點(diǎn)，且∠ACB＝90． (1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； (2)設(shè)計(jì)兩種方案：作一條與軸不重合，與△A

5、BC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的，寫出所截得的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)(注：設(shè)計(jì)的方案不必證明)． 思路點(diǎn)撥 (1)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過特殊點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計(jì)方案． 注： 解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 【例5】 已知函數(shù)，其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求何值時(shí)，函數(shù)值最?。?

6、 思路點(diǎn)撥 將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對(duì)稱軸為，因，，故函數(shù)的最小值只可能在取，，時(shí)達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．如圖，若拋物線與四條直線、、、所圍成的正方形有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ． 2．拋物線與軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，且線段AB的長為1，△ABC的面積為1，則的值為 ． 3．如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解

7、析式為 ；(2)若點(diǎn)P為此拋物線上位于軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為 ． 4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有、、三個(gè)字母的式子①，②，③，④，>0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 (把你認(rèn)為正確的都填上)． 5．已知，點(diǎn)(，)，(，)，(，)都在函數(shù)的圖象上，則( ) A． B． C． D． 6．把拋物線的圖象向右平移3個(gè)單位，

8、再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則有( ) A．， B．， C．，c＝3 D．， 7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)(，)所在的直角坐標(biāo)系是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．周長是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(m)的函數(shù)圖象大致是( ) 9．閱讀下面的文字后，回答問題： “已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0，)，B(

9、1，-2) ，求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線． 題目中的橫線部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字． (1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫出求解過程；若不能，說明理由． (2)請你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整． 10．如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米． (1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式； (2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.

10、8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少? 11．如圖，拋物線和直線 ()與軸、y軸都相交于A、B兩點(diǎn)，已知拋物線的對(duì)稱軸與軸相交于C點(diǎn)，且∠ABC＝90，求拋物線的解析式． 12．拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直角三角形，則 ． 13．如圖，已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB的面積等于 ． 14．已知二次函數(shù)，一次函數(shù)．若它們的圖

11、象對(duì)于任意的實(shí)數(shù)是都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為 ． 15．如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是( ) A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．a(chǎn)c＝一1 D．a(chǎn)+c＝0 16．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1，0)…求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱． 根據(jù)現(xiàn)有信息，題

12、中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是( ) A．過點(diǎn)(3，0) B．頂點(diǎn)是(2，一2) C．在軸上截得的線段長為2 D．與軸的交點(diǎn)是(0，3) 17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數(shù) ()的圖象上兩 時(shí)，二次函數(shù)的值是( ) A． B． C． 2002 D．5 18．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000噸，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：

13、噸)與費(fèi)用(單位：萬元)之間函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷售量(單位：噸)與銷售單價(jià)(單位：萬元／噸)之間函數(shù)的圖象是線段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，問年產(chǎn)量是多少噸時(shí)，所獲毛利潤最大?(毛利潤＝銷售額一費(fèi)用)． 19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與軸交于點(diǎn)C，直線：x＝m(m>1)與軸交于點(diǎn)D． (1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)在直線x＝m (m>1)上有一點(diǎn)P (點(diǎn)P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)坐

14、標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)； (3)在(2)成立的條件下，試問：拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點(diǎn)Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由． 20．已知二次函數(shù)及實(shí)數(shù)，求 (1)函數(shù)在一2

15、點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由． 22．某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上． (1)請你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)所在直線的解析式； (2)問題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎?并說明理由； (3)在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般——特殊—一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請說明理由． 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！