[初二數(shù)學(xué)]全等三角形復(fù)習(xí)練習(xí)題

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1、全等三角形練習(xí)、復(fù)習(xí)、過關(guān)測試 合肥大地學(xué)校：許皖 教學(xué)內(nèi)容講解 一、教學(xué)內(nèi)容： 三角形單元復(fù)習(xí) 1. 三角形三邊的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊； 2. 三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180，直角三角形兩銳角互余； 3. 三角形中的三條主要的線段：三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點，三角形的三條高所在的直線交于一點； 4. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等； 5. 三角形全等的判定：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”. 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊

2、角”或“ASA”. 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”. 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”； 6. 直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”. 二、復(fù)習(xí)指導(dǎo) 1. 應(yīng)用全等三角形性質(zhì)解決問題的前提是準(zhǔn)確地確定全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，其規(guī)律主要有以下幾點： （1）以對應(yīng)頂點為頂點的角是對應(yīng)角；（2）對應(yīng)頂點所對應(yīng)的邊是對應(yīng)邊；（3）公共邊（角）是對應(yīng)邊（角）；（4）對頂角是對應(yīng)角；（5）最大邊（角）是對應(yīng)邊（角），最小邊（角）是對應(yīng)邊（角）.

3、 全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角可以依據(jù)字母的對應(yīng)位置來確定，如若△ABC≌△DEF， 說明A與D，B與E，C與F是對應(yīng)點，則∠ABC與∠DEF是對應(yīng)角，邊AC與邊DF是對應(yīng)邊. 2. 判定兩個三角形全等的解題思路： 3. 運用三角形全等可以證明兩線段或兩角相等，在直接找不到兩個全等三角形時，可考慮添加輔助線構(gòu)造全等三角形. 三、思想方法 1. 轉(zhuǎn)化思想：應(yīng)用全等三角形的知識解決測河寬、測池塘寬、測工件內(nèi)徑等實際問題就是轉(zhuǎn)化思想的運用. 2. 運動變化思想：在研究三角形全等時，經(jīng)常會出現(xiàn)三角形按照某種特定的規(guī)律變化，需要運用運動變化的思想進(jìn)行解決. 3. 構(gòu)造圖形

4、法：在直接找不到兩個全等三角形時，常常通過平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等圖形變換的方法構(gòu)造全等三角形. 4. 分析綜合法：從已知條件出發(fā)探索解題途徑的方法叫綜合法；從結(jié)論出發(fā)不斷尋找使結(jié)論成立的條件與已知條件關(guān)系的方法叫分析法；兩頭湊的方法就是綜合運用分析綜合法去尋找證題的一種方法. 四、學(xué)習(xí)重難點： 1. 兩個能夠重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等. 2. 全等三角形的判定方法有（1）SAS；（2）ASA；（3）AAS；（4）SSS. 對直角三角形全等的判定除以上方法外，還有HL. 3. 兩個三角形的兩邊和一角對應(yīng)相等，或兩個三角形的三個角對應(yīng)相等，這兩

5、個三角形不一定全等. 【典型例題】 考查要點1、三角形三邊關(guān)系： 例1、如果三角形的兩邊長為2和9，且周長為奇數(shù)，那么滿足條件的三角形共有（ ）. A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 分析：本題主要考查三角形三邊之間的關(guān)系，三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊.即a－b

6、例2、已知等腰三角形的周長是24cm， （1）腰長是底邊長的2倍，求腰長； （2）已知其中一邊長為6cm，求其他兩邊長. 分析：1、計算（1）可以通過設(shè)未知數(shù)來進(jìn)行計算，得出方程，通過求方程的解從而求出答案，其中體現(xiàn)了方程思想。2、計算（2）要注意分兩種情況考慮，因為題目中沒有說明這條邊究竟是腰還是底邊，所以通過其中一邊長為6cm，求其他兩邊的長應(yīng)該分成兩種情況考慮：一種是6cm長的邊為腰，另一種是6cm長的邊為底，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類討論思想。并且計算結(jié)果還要注意檢查是否符合兩邊之和大于第三邊。 解：（1）設(shè)底邊長xcm，則腰長為2xcm， 根據(jù)題意，得 x+2x+2x=24

7、x=4.8 ∴腰長=2x=24.8=9.6 （cm） （2）因為長為6cm的邊可能是腰，也可能是底，所以要分兩種情況計算 當(dāng)長為6cm的邊為腰時，則底邊為 24－62=12（cm） ∵6+6=12 兩邊之和等于第三邊，所以6cm長為腰不能組成三角形，舍去。 當(dāng)長為6 cm的邊為底邊時，則腰長為（24－6）2=9（cm） ∵6cm、9cm、9cm可以組成三角形 ∴三角形其他兩邊長為9 cm. 做一做： 1、已知等腰三角形的兩條邊長分別為2和5，則它的周長為（　　） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 5 答案：B 2、現(xiàn)有

8、2cm，4cm，5cm，8cm長的四根木棒，任意選取三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數(shù)為（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 答案：B 3、甲地離學(xué)校，乙地離學(xué)校，記甲乙兩地之間的距離為，則的取值為（　　） A. B. C. 或 D. 答案：D 考查要點2、三角形內(nèi)角和 例3、如圖，已知A=27，CBE=90，C=30，求ADE的度數(shù)。 分析：1、要求一個角的度數(shù)，可以先看一下它所處的位置：如果是某個三角形的一個內(nèi)角，可以考慮用三角形內(nèi)角和定理來計算，如果是某

9、個三角形的外角，可以考慮用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和來計算。本題中的ADE只能是△BFD或者△AED的內(nèi)角，不可能是某個三角形的外角。2、本題可以通過設(shè)未知數(shù)，找相等關(guān)系，列方程來解，體現(xiàn)了幾何問題中的方程思想。 解：設(shè)ADE=X ∵CBE=90，C=30（已知） ∴DEC=180－（CBE+C）=180－（90+30）=60（三角形內(nèi)角和定理） 又∵DEC=A+ADE（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） ∴60=27+X ∴X=60－27=33 即ADE=33 練一練： 1、三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2∶3，則這個三角形的三個內(nèi)角分別為

10、（ ） A. 10，20，30 B. 30，60，90 C. 30，70，80 D. 不確定 2、下面對三角形三個角的判斷正確的有（ ） ①至少有一個角小于60； ②不可能三個角都大于60； ③可以有兩個角大于60； ④一定要有兩個角小于60； ⑤三個角都可以是60. A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 3、如圖所示，EC⊥AF于點E，∠F=40，∠C=20，求∠FBA的度數(shù). 4、∠ACD叫△ABC的外角，它與∠ACB相鄰，與另兩個角不相鄰. 猜想∠ACD與∠A，∠B的關(guān)系并利用所學(xué)的知識驗證. 考查要

11、點3、三角形的三線（角平分線，中線、高線） 例4、如圖，和的平分線交于點. （1）填空：當(dāng)時，_____；當(dāng)時，_____； （2）當(dāng)時，_____. 例5、△ABC中，BM是△ABC的中線，已知AB=5cm，BC=3cm， 求△ABM與△BCM的周長的差. 例6、如圖，中，，于. 猜想與的關(guān)系，并說明你的理由. 試一試： 1、已知：，，為的角平分線，則（　?。? A. B. C. D. 2、具備下列條件的三角形，不是直角三角形的是（　?。? A. B. C. D. 3、在中，為鈍角，畫出：（1）的平分

12、線；（2）邊上的中線；（3）邊上的高線. 4、三角形的三條高所在的直線______交于一點. （填“能”或“不能”） 5、如圖，是的角平分線，則__________________； 是的中線，則____________. 6、如圖，在中，邊上的高是______. 考查要點4、三角形全等的判定： 例7、如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB延長線交于點E. 則四邊形AECF的面積是______. 分析：本例看似是正方形的問題，其實質(zhì)是考查全等三角形的判定. 由于∠E

13、AF=∠BAD=90可得出∠EAB=∠DAF，∠ABE=∠D=90，AB=AD，△ABE≌△ADF，所以，四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于16. 解：因為∠EAF=∠BAD=90，所以∠EAB=∠DAF，→　 △ABE≌△ADF→四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于16. 例8、如圖，在△ABC與△DEF中， 給出以下六個條件：①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；⑥∠C=∠F，以其中三個條件作為已知，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（ ）. A. ①⑤② B. ①②③ C. ④⑥①

14、 D. ②③④ 分析：三角形全等的判定方法有：“邊、邊、邊”、“邊、角、邊”、“角、邊、角”或“角、角、邊”.本題可采用排除法尋找答案. “①、⑤、② （真）” 為“邊角邊”判定方法；“①、②、③（真）”為“邊邊邊”判定方法；“④、⑥、① （真）”為“角角邊”判定方法；“②、③、④（假）”，為兩邊和其中一邊的對角沒有這樣的判定方法，因此，不能判斷△ABC與△DEF全等的是D. 例9、如圖，已知：CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，你能說明△BDF和△CDE全等嗎？ 若能，請你說明理由；若不能，在不用增加輔助線的情況下，請?zhí)砑悠渲幸粋€適當(dāng)?shù)臈l件，這個條件是_______，說明這兩個三

15、角形全等，并寫出證明過程. 分析：題目要證明的兩個三角形全等已滿足兩組角對應(yīng)相等，但三角形全等至少要有一組邊對應(yīng)相等，因此，需要補充一組邊對應(yīng)相等. 解：補充的條件為：BD=CD，DE=DF或BF=CE. 若補充BD=CD.證明過程如下： CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，所以，∠F=∠CED. →△BDF≌△CDE. 例10、將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺放成如圖的形式，使點B、F、C、D在同一條直線上. （1）求證：AB⊥ED； （2）若PB=BC，請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明. 分析：充分利用

16、邊相等或角相等或互余的關(guān)系. （1）證明：由題意可知△ABC≌△DEF，因而∠A=∠D，而∠A+∠B=90， 故∠D+∠B=90，即∠BPD=90，所以，AB⊥ED. 也可以利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明∠A=∠D. （2）若PB=BC，則有△ABC≌△DBP. →△ABC≌△DBP. 注：圖中與此條件有關(guān)的全等三角形還有如下幾對：△APN≌△DCN；△DEF≌△DBP； △EPM≌△BFM. 考查要點5、三角形全等的判定的開放性問題 類型1、條件探索型 例11、（1）如圖，點B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可補充的一個條件是：

17、 （寫一個即可）。 （2）如圖，AB、CD相交于點O，AB=CD，試添加一個條件使得△AOD≌△COB，你添加的條件是 （只需寫一個）。 （3）如圖，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列條件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E. 其中能使成立的條件有（　?。? A. 個 B. 個 C. 個 D. 個 解析：兩個三角形全等的條件是SAS，ASA，AAS，SSS，結(jié)合題設(shè)中的已知，選擇恰當(dāng)?shù)娜切稳葪l件是解決此類問題的關(guān)鍵。 （1）已知∠CAB=∠DAB，隱含有AB=AB，即有一邊和一角，故選擇SAS，ASA，

18、AAS，可以填寫AC=AD，∠ABC=∠ABD和∠ACB=∠ADB中的任一個； （2）隱含有∠AOB=∠COD，利用已知AB=CD，故AO=OC或OB=OD； （3）已知∠1=∠2，AC=AD，從而∠DAE=∠CAB，即有一邊和一角，故選擇SAS，ASA，AAS，可以填寫AB=AE，∠ACB=∠ADE和∠B=∠E。 類型2、結(jié)論探索型 例12、如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。 所添條件為 ，你得到的一對全等三角形是 ≌ 。 解析：該題是結(jié)論探索題，題設(shè)已有AC

19、=AD，隱含AB=AB，故根據(jù)SSS和SAS尋找條件，即添加BC=BD，∠CAB=∠DAB，得CAB≌DAB；隱含AE=AE，故根據(jù)SSS和SAS尋找條件，即添加CE=DE，∠CAE=∠DAE，得CAE≌DAE。證明略。 類型3、猜想證明型 例13、如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE。請你以其中三個等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個真命題（要求寫出已知，求證及證明過程）。 解析：此題為探索、猜想、判斷并證明的試題，我們要認(rèn)真觀察、作出判斷再加以說明?？碱}提供了四個論斷，讓我們創(chuàng)編一道“知其三可推一”的數(shù)學(xué)

20、問題。我們的思路就是按著兩個三角形全等的條件是SAS，ASA，AAS，SSS逐一驗證。通過驗證發(fā)現(xiàn)①②④滿足“SSS”，得ABD≌ACE，有③∠1=∠2；①②③滿足“SAS” ，得ABD≌ACE，有④BD=CE。②③④和①③④滿足“SSA”得不出三角形全等。故符合要求的問題有兩個。 現(xiàn)列舉一個： 已知：如圖5，在△ABD和△ACE中AB=AC ，AD=AE，∠1=∠2，則BD=CE。 證明：在△ABD和△ACE中，由∠1=∠2，得∠BAD=∠CAE。又AB=AC ，AD=AE， 所以ABD≌ACE，所以BD=CE。 練習(xí)鞏固： 1、如圖，已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，現(xiàn)要說

21、明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”為依據(jù)，還缺條件　　　??；若要以“ASA”為依據(jù)，還缺條件　　　　；若要以“AAS”為依據(jù)，還缺條件　　　　，并說明理由. 2、已知：如圖，AB=AC，AD⊥BC，垂足是F，P是AD上任意的一點，請說明：PB=PC. 3、如圖，△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D. 請說明：AE=CD. 4、如圖，AB∥CD，AB=CD，點B，E，F(xiàn)，D在一條直線上，∠A=∠C. 請說明：AE=CF. 5、如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，請

22、問圖中有哪幾對全等三角形？并任選其中一對給予說明. 6、如圖，AB，CD相交于點O，AO＝BO，AC∥DB. 那么OC與OD相等嗎？說明你的理由 . 7、如圖，在一小水庫的兩測有A，B兩點，請設(shè)計一種方案能用皮尺測量出A，B兩點的距離（只說明設(shè)計方案，不要求數(shù)據(jù)計算，要求畫出草圖，并說明理由）. 8、已知：如圖，AE=CF，∠DAF=∠BCE，AD=CB. 問：△ADF與△CBE全等嗎？請說明理由. 考查要點6、三角形全等的應(yīng)用： 例14、某鐵路施工隊在建設(shè)鐵路的過程中，需要打通一座小山，設(shè)計時要測量隧道的長度. 小山前面恰好是一塊空地，利用這樣的有利

23、地形，測量人員是否可以利用三角形全等的知識測量出需要開挖的隧道的長度？說明道理. 點撥：A、B兩點直接測量有難度，因此，可利用山前面的空地，構(gòu)造全等的兩個三角形，使含AB的一對對應(yīng)邊相等，則測量出對應(yīng)邊的長，即得出AB的長.  解：方法：可在空地上取一個能直接到達(dá)A點、B點的點O，連結(jié)AO延長到D，使OD＝OA；連接BO延長到E，使OE＝OB。連結(jié)DE并測出它的長度，則DE的長就是A、B間的距離.  理由： ∴△AOB≌△DOE（SAS） ∴AB＝DE（全等三角形，對應(yīng)邊相等）.  例15、如圖，要測量河兩岸兩點A、B間的距離，可用什么方法？并說明這樣做的

24、合理性.  點撥：直接測量A、B間的距離有困難，而若用上題中的方法，則會出現(xiàn)這種情況： 得到的O點在河中間，很難取到；即使O點取好，而尋找的全等三角形中AB的對應(yīng)邊CD的兩點仍然在河的兩岸，與A、B的位置相同，因此此法不可取. 要尋求另一種使對應(yīng)邊在岸上的方法. 利用下面圖示5－68的方法就可以.  解：方法：在AB的垂線BE上取兩點C、D，使CD＝BC。過點D作BE的垂線DG，并在DG上取一點F，使A、C、F在一條直線上，這時測得的DF的長就是A、B間的距離. 理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE ∴∠B＝∠BDF＝90 ∴△ABC≌△FDC（ASA） ∴AB＝DF（

25、全等三角形對應(yīng)邊相等）.  注意：要注意區(qū)分這兩種情況，根據(jù)具體情況或題目的語言敘述來判斷. 最明顯的區(qū)別是第一種沒有垂直的情況，利用SAS證全等；而第二種有垂直的情況，利用ASA證明三角形全等. 當(dāng)然，若特殊情況，需具體分析.  【課堂小結(jié)】 同學(xué)們今天我們主要復(fù)習(xí)了三角形一章，本章的內(nèi)容非常重要，它是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，全等三角形在今后的學(xué)習(xí)中尤為重要，望同學(xué)們認(rèn)真復(fù)習(xí)鞏固。 【模擬試題】（答題時間：90分鐘） 一、選擇題（每題3分，共30分）。 1. 現(xiàn)有兩根木棒，它們的長度分別為20cm和30cm，若不改變木棒的長度，要釘成一個三角形木架，則應(yīng)在下列四根木棒中

26、選?。ǎ? A. 10cm的木棒 B. 20cm的木棒 C. 50cm的木棒 D. 60cm的木棒 *2. 在下圖中，正確畫出AC邊上高的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD＝PE，則△APD與△APE全等的理由是（ ）. A、SAS B、AAS C、SSS D、HL *4. 已知ΔABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足關(guān)系式∠B+∠C=3∠A，則此三角（ ） A、一定有

27、一個內(nèi)角為45 B. 一定有一個內(nèi)角為60 C. 一定是直角三角形 D. 一定是鈍角三角形 *5. 在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90－∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（ ） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個 6. 如果一個三角形的三條高所在直線的交點在三角形外部，那么這個三角形是（ ）. A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、等邊三角形 7. 如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是

28、（　?。? A、甲和乙　　　 B、乙和丙　　　 C、只有乙　　　 D、只有丙 8. 下列說法正確的是（ ） ①三角形的三條角平分線必交于一點，且交點必定在三角形的內(nèi)部。 ②全等三角形的邊，角對應(yīng)相等。 ③兩個內(nèi)角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等。 ④有兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 9. 如圖，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點O，且AO平分∠BAC，那么圖中全等三角形共有（ ）對. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

29、10. 如圖，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍（ ） A、3＜AD＜4 B、1＜AD＜7 C、AD＞3 D、＜AD＜ 二、填空題（每題2分，共20分） 11. 為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是 . 12. 一個等腰三角形的兩邊長分別是4 cm和6 cm，則它的周長是_____cm. 13. 如果一個三角形的兩個內(nèi)角是20、30，那么這個三角形是 三角形. 14. 直角三角形兩個銳角的平分線所構(gòu)成的

30、鈍角等于_____。 15. 如圖，△ABD≌△ABC，∠C＝100，∠ABD＝30，那么 ∠DAB＝ . 16. 已知ΔABC≌ΔABC，若ΔABC的周長為23，AB=8，BC=6，則AC= ，B1C1 。 *17. 如圖，在ΔABC與ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠ =∠ 或 ∥ ，就可證明ΔABC≌ΔDEF 18. △ABC中，若∠A=80，I為三條角平分線交點，則∠BIC= . *19. 若三角形的三邊長分別為x－1，x，x+1，則x

31、的取值范圍是 . 20. 我們來探究 “雪花曲線”的有關(guān)問題：下圖（3）是邊長為1的正三角形， 將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊，得到第二個圖形如下圖（4）；再將下圖（2）的每條邊三等分，并重復(fù)上述的作法，得到第三個圖形如下圖（5），如此繼續(xù)下去，得到的第五個圖形的周長應(yīng)等于 。 三、操作與解釋（21題8分；22題4分；23，24每題6分） *21. 沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個角的平分線嗎？下面是小彬與小紅的做法，他們的畫法正確嗎？請說明理由. （1）小彬的做法

32、如圖，角平分線刻度尺畫法： ①利用刻度尺在∠AOB 的兩邊上，分別取OD＝OC. ②連結(jié)CD，利用刻度尺畫出CD的中點E. ③畫射線OE. 所以射線OE為∠AOB的角平分線. （2）小紅的做法 如圖，角平分線三角板畫法： ①利用三角板在∠AOB 的兩邊上，分別取OM＝ON. ②分別過M、N畫OM、ON的垂線，交點為P. ③畫射線OE. 所以射線OP為∠AOB的角平分線. *22. 初一（

33、1）班的籃球拉拉隊同學(xué)，為了在明天的比賽中給同學(xué)加油助威，提前每人制作了一面同一規(guī)格的三角形彩旗. 小明放學(xué)回家后，發(fā)現(xiàn)自己的彩旗破損了一角，他想用彩紙重新制作一面彩旗. （1）請你幫助小明，用直尺與圓規(guī)在彩紙上作出一個與破損前完全一樣的三角形； （2）解釋你作圖的理由。 23. 如圖，AB∥CD，AB=CD，點B、E、F、D在一條直線上，∠A=∠C.求證：AE=CF. 說明：證明過程中要寫出每步的證明依據(jù). 24. 如圖，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，請問圖中有哪幾對全等三角形？并任選其中一對給予證明. 四、觀察與比較（25，26每題6分 27，28

34、每題8分） 25. 如圖AB、CD相交于點O，AO＝BO，AC∥DB。那么OC與OD相等嗎？說明你的理由。 26. 如圖，在一小水庫的兩測有A、B兩點，請設(shè)計一種方案能用皮尺測量出A、B兩點的距離（只說明設(shè)計方案，不要求數(shù)據(jù)計算、要求畫出草圖，并說明理由。）。 **27. 如圖AB=12米，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4米，點P從點B向點A運動，每分鐘走1米；點Q從點B向點D運動，每分鐘走2米；P，Q兩點同時出發(fā)，運動幾分鐘后，△CAP≌△PBQ，并說理由。 **28. 已知如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，點P在AB上，可以得出PC＝PD嗎？為什么？

35、 五、探究與思考（29題10分；30題8分） **29、（1）已知：如圖，AE＝CF，∠DAF＝∠BCE，AD＝CB。問：△ADF與△CBE全等嗎？請說明理由。 （2）如果將△BEC沿CA邊方向平行移動，可有下列３幅圖，如上面的條件不變，結(jié)論仍成立嗎？請說明理由。 **30. （1）如圖，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點B、C. △ABC中，∠A＝30，則∠ABC＋∠ACB＝ 度，∠XBC＋∠XCB＝ 度；

36、 （2）如圖，改變直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過點B、C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出∠ABX＋∠ACX的大小. 【試題答案】 1. B 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. A 9. B 10. D 11. 三角形的穩(wěn)定性 12. 14；16 13. 鈍角 14. 135 15. 50 16. 9；6 17. ∠B，∠DEF AB，DE 18. 130 19. ； 20. 21.（1）小彬的

37、做法正確?！咴凇鰿OE和△DOE中∴△COE≌△DOE，∴∠COE=∠DOE，∴OE為∠AOB的平分線.（2）小紅的做法正確?！咴赗t△POM和Rt△PON中∴Rt△POM≌Rt△PON，∴∠POM=∠PON，∴OP為∠AOB的平分線. 22.　　理由略 23. 證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠D（兩條直線平行，內(nèi)錯角相等）.又∵AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA）.∴AE=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）. 24. 解：此圖中有三對全等三角形.分別是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC.　證明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D.又∵AB=DE、AF=DC

38、，∴△ABF≌△DEC. 25. OC與OD相等；可證△AOC≌△BOD根據(jù)角邊角. 26. 解：在池塘右邊的空地上找一個能直接到達(dá)點A和點B的點C，連結(jié)AC并延長至D，使得AC=CD，連接BC并延長至E，使得BC=CE，連接DE，則DE的長度就是A、B之間的距離. 理由：在△ABC和△DEC中，∵AC=DC，∠ACB＝∠ECD BC=EC∴△ABC≌△DEC∴DE=AB 27. 當(dāng)P，Q運動4分鐘后，BP=4米，BQ=8米，則AP=12－4=8（米）=BQ，又AC=BP=4米，∠A＝∠B=90，所以△ CAP≌△ PBQ 28. 解PC＝PD. 理由：在△ABD和△ABC中∴△A

39、BD≌△ABC（ASA）AD=AC，在△APD和△APC中，∴PC＝PD. 29. 理由：（1）△ADF與△CBE全等；∵AE＝CF∴AE―EF＝CF―EF即AF=CE又∵∠DAF＝∠BCE，AD＝CB　∴△ADF≌△CBE（2）結(jié)論成立，理由類同 30.（1）150，90；（2）不變化。∠ABX+∠ACX=∠ABC－∠XBC+∠ACB－∠XCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠XBC+∠XCB）=150－90=60 第一組：基本訓(xùn)練 圖7 Q C P A B 例1．如圖7，是等邊三角形內(nèi)的一點，連結(jié)，以為邊作，且，連結(jié)． （1）觀察并猜想與之間的大小關(guān)系，并證明你

40、的結(jié)論． 2.如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAD=20,且AE=AD,則∠CDE= 。 例3.如圖在66的網(wǎng)格（小正方形的邊長為1）中有一個△ABC，則△ABC的周長是 。 例3．請作一條直線，將下面的三角形分成兩個三角形，是每個三角形都是 等腰三角形，并標(biāo)出相關(guān)的數(shù)據(jù)。 三．角平分線、線段的垂直平分 1)。角平分線性質(zhì)定理： 。 逆定理：

41、 。 2）。垂直平分線定理： 。 逆定理： 。 例1．如圖，在中，， 平分，，那么點 到直線的距離是　　　　　　cm． 例2. 如圖，在△ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分線交AB于點D， 交AC于點E, △BCE的周長等于18cm, 則AC的長等于（ ） (A) 6cm (B) 8cm

42、 (C)10cm (D) 12cm 例3. 如圖，Rt△ABC中，∠C=90, ∠CAB=30, 用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種方法把它分成兩個三角形，且其中一個是等腰三角形.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）. 例4.如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90, BD平分∠ABC, 交AC于D. (1) 若∠BAC=30, 則AD與BD之間有何數(shù)量關(guān)系，說明你的理由; (2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度數(shù). 5.如圖，△ABC中，AB與AC的垂直平分線相交于F,且分別交AB于D，交AC于E。 求證

43、：BF=FC. 1、尺規(guī)作圖舉例 A O B ′ 例1．（06長沙）如圖，已知和射線，用尺規(guī)作圖法作（要求保留作圖痕跡）． 4.如圖，已知。（1）邊的垂直平分線（2）作AC上的高（3）作的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）． A B C 例5. （05 四川）如圖，內(nèi)宜高速公路和自雅路在我市相交于點，在內(nèi)部有五寶和正紫兩個鎮(zhèn)，若要修一個大型農(nóng)貿(mào)市場，使到的距離相等，且使，用尺規(guī)作出市場的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）． A C O B D 一、全等三

44、角形 1、全等三角形的概念及其性質(zhì) 1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 。 2）.全等三角形性質(zhì)： （1）對應(yīng)邊相等 （2）對應(yīng)角相等（3）周長相等 （4）面積相等 2.全等三角形的判定方法 1）、兩邊和夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ SAS ） 例1．已知：如圖，在中，BE、CF分別是AC、AB兩條邊上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB，連接AD、AG。 求證：AG=AD. 例2.如圖,AD與BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求證： 例3.如圖，在中,AB=A

45、C,,點D為BC上任一點，DFAB于F，DEAC于E，M是BC中點，試判斷是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論. 例4.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延長CB至E，使EB=AD，連接AE。 求證：AE=AC。 例5.如圖，C為AB上一點，、是等邊三角形.直線AN、MC交于點E，直線BM、CN交于點F . (1) 求證：AN=BM。 (2) 求證：是等邊三角形 (3) 將ACM繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)90,其他條件不變，在右圖中補出符合要求的圖形 并判斷(1)、（2）兩小題結(jié)論是否仍然成立(不要求證明)

46、 例6.如圖，在中，ＡＢ＝ＡＣ，。Ｏ是ＢＣ中點. (1) 寫出點O到的三個頂點A、B、C的距離關(guān)系. (2) 如果點M、N分別在AB、AC上移動，在移動中保持AN=BM，請判斷的形狀，并證明你的結(jié)論. 例7.如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接BE、DG。 (1)觀察猜想BE與DG之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 (2)圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個三角形？如果存在，請你說明旋轉(zhuǎn)過程；如果不存在，請說明理由。 2）、兩角和夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( ASA ) 例1.如圖,AD是的平分線，M是BC中點，

47、FM//AD，交AB于E。 求證：BE=CF。 例2.如圖，梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中點，直線AE交DC的延長線于F （1） 求證：≌ （2） 若BCAB,BC=10,AB=12,求AF. 例3.如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G,DEAG于E，且DE=DC.根據(jù)以上條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論. 3）、兩角和夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( AAS ) 例1.如圖，在中,,,分別以AB、AC為邊在的外側(cè)作正三角形ABE與正三角形

48、ACD。DE與AB交于F。求證:EF=FD。 例2.如圖，在中，AB=AC，D、E分別在BC、AC邊上。且,AD=DE 求證：≌. 例3.如圖，在中，延長BC到D，延長AC到E，AD與BE交于F，∠ABC=45?，試將下列假設(shè)中的兩個作為題設(shè)，另一個作為結(jié)論組成一個正確的命題,并加以證明。 （1）AD⊥BD, （2）AE⊥BF （3）AC=BF. 4）、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 ( SSS ) 例1.如圖，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求證：PD=

49、PE. 例2．如圖，在中,，D、E分別為AC、AB上的點，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求證：DE⊥AB。 例4. 如圖，在中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。 求證：MB=MC 5）、一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 ( H L ) 例1、如圖在中,，沿過點B一條直線BE折疊，使點C恰好落在AB變的中處則∠A的度數(shù)等于多少？

50、 1題 2題 3題 例2.如圖，，M是BC中點，DM平分。求證：AM平分 例3.如圖，AD為的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且BF=AC,FD=CD. 求證：BE⊥AC 例4.如圖，在中,∠ACB=90?,D是AC上一點，AE⊥BD，交

51、BD的延長線于點E，又AE=BD，求證：BD是∠ABC的平分線。 第二組：綜合訓(xùn)練 一、選擇題 1．如圖，給出下列四組條件： ①；②； ③；④． 其中，能使的條件共有（ ） A．1組 B．2組 C．3組 D．4組 2.如圖，分別為的，邊的中點，將此三角形沿折疊，使點落在邊上的點處．若，則等于（ ） 3.如圖（四），點是上任意一點，，還應(yīng)補充一個條件，才能推出．從下列條件中補充一個條件，不一定能推出的是（ ） A． B． C． D． C A D P B 圖（四） A． B． C ．

52、 D． 4.如圖，在△ABC與△DEF中，已有條件AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如圖，△ABC中，∠C = 90，AC = BC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E， 若AC = 10cm，則△DBE的周長等于( ) A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm ④ ① ② ③ 6． 如圖所示，表示三條

53、相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（ ） Ａ．1處 Ｂ．2處 Ｃ．3處 Ｄ．4處 7．某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那 么最省事的方法是（ ） A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①②③去 8．如圖，在中， ，是的垂直平分線，交于點，交 于點．已知，則的度數(shù)為（ ） A． B． C． D． 9．如圖，，=30，則的度數(shù)為（ ） A．20 B．30 C

54、．35 D．40 10．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有（ ） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C A B C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A D C E B 11．尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、，再分別以點、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線由作法得的根據(jù)是（ ） A．SAS B．ASA C．AAS　　D．SSS 12.如圖, ∠C=90,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3c

55、m, 則點D到AB的距離為( ) A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能確定 13．如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（ ） A． B．平分 C． D．垂直平分 14.如圖，已知那么添加下列一個條件后， A B C D 仍無法判定的是（ ） A．　　　　　　　 B． C． D． O B A P O D P C A B 15.觀察下列圖形，則第個圖形中三角形的個數(shù)是（ ） …… 第1個 第2個 第3個 A．

56、 B． C． D． 二、填空題 1.如圖，已知，，要使 ≌，可補充的條件是 （寫出一個即可）． 2.如圖,在△ABC中,∠C=90,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,則△DEB的周長為 ________ 3.如圖，，請你添加一個條件： ，使（只添一個即可）． 4.如圖，在ΔABC中，∠C=90∠ABC的平分線BD交AC于點D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，則點D到直線AB的距離是__________厘米。 D O C B AB A C E B D

57、 5.觀察圖中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個大三角形中白色三角形 有 個 ． 6.已知：如圖，△OAD≌△OBC，且∠O＝70，∠C＝25，則∠AEB＝________度. 7如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ.以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60. 恒成立的結(jié)論有_____________________

58、__（把你認(rèn)為正確的序號都填上）。 8.如圖所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC ≌ △ADE，則需要添加的條件是________. O A B C D E A B D E C 三、解答題 1.如圖，已知AB=AC，AD=AE，求證：BD=CE. 2.如圖，在中，，分別以為邊作兩個等腰直角三角形和，使． （1）求的度數(shù)；（2）求證：． 3.如圖，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, B

59、C、DE交于點O. 求證：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE . E D C B A 4.如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由． 5.如圖，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC與DB交于點M． B C A D M N （1）求證：△ABC≌△DCB ；（2）過點C作CN∥BD，過點B作BN∥AC，CN與BN交于點N，

60、試判斷線段BN與CN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 6.（如圖，四邊形的對角線與相交于點，，． 求證：（1）；D C B A O 1 2 3 4 （2）． 7．如圖，在和中，現(xiàn)給出如下三個論斷：①；②； ③．請選擇其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結(jié)論，構(gòu)造一個命題． 2 1 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ （1）寫出所有的真命題（寫成“”形式，用序號表示）： ． （2）請選擇一個真命題加以證明． 　 你選擇的真命題是：． 證明： 8.已知：如圖，B、E、F、C

61、四點在同一條直線上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C． 求證：OA＝OD． 9．如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F． 求證：BD=2CE． B D C F A　郜 E 10.如圖，，請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明． 11．（7分）已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點， （1）求證：△AED≌△EBC． （2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形．（直接寫出結(jié)果，不要求證明）： 12．如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M． （1）求證：MB=MD，ME=MF （2）當(dāng)E、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．