概率、隨機變量及分布列(一)

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1、概率、隨機變量及分布列（一） 一.知識回顧： 1．隨機事件的概率 (1)隨機事件的概率范圍：0≤P(A)≤1；必然事件的概率為____；不可能事件的概率為___. (2)古典概型的概率：P(A)＝_________. (3)幾何概型的概率：P(A)＝__________. 2．離散型隨機變量的分布列：設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則稱表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機變量X的概率分布列，它具有的

2、性質： （1）①pi______0，i＝1,2，…，n；②pi＝_____ （2）離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的____________． 3．離散型隨機變量的數(shù)字特征： （1）E(X)＝__________________________為X的均值或數(shù)學期望(簡稱期望)． （2）D(X)＝____________________________________叫做隨機變量X的方差． 性質 : ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，②D(aX＋b)＝a2D(X)； X 1 0 P p q 4.特殊分布 （1）二點分布：如果隨機變量X的分布

3、列為 其中0

4、,2,3,4共4個數(shù)字中，任取兩個數(shù)字(允許重復)，其中一個數(shù)字是另一個數(shù)字的2倍的概率是________． (2)在區(qū)間[－3,3]上隨機取一個數(shù)x，使得函數(shù)f(x)＝＋－1有意義的概率為________． 例2. 一個袋子中裝有7個小球，其中紅球4個, 從袋子中任取4個小球 (1)求取出紅球個的分布列及數(shù)學期望； （2）若紅球的編號分別為1,2,3,4，剩下3個黃球，編號分別為2,4,6 ①求取出的小球中有相同編號的概率； ②記取出的小球的最大編號為Y，求隨機變量Y的分布列和數(shù)學期望． 課后作業(yè)： 1. 從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點M(x，y)，則點M落在陰影

5、部分的概率為________． 2．在一次教師聯(lián)歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目．若選到男教師的概率為，則參加聯(lián)歡會的教師共有________人． 3.在集合{x|x＝，n＝1,2,3，…，10}中任取一個元素，所取元素恰好滿足方程cos x＝的概率是________． ξ －1 0 1 P 1－2q q2 4. 設X是一個離散型隨機變量，其分布列為 則q的值為(　　) A．1 B．1 C．1＋ D．1－ 5.若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下： X 4 5 6 7 8 9 10 P 0

6、.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X≥7”的概率是________． 6.在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示. (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.

7、(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X). 7．某家電產品受在保修期內維修費等因素的影響,企業(yè)生產每件的利潤(單位:百元)與該產品首次出現(xiàn)故障的時間(單位:年)有關.某廠家生產甲、乙兩種品牌,保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌家電中各隨機抽取50件,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下: 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn) 故障時間x 02 02 數(shù)量 2 3 45 5 45 每件利潤 1 2 3 1.8 2.9 將頻率視為概率,解答下列問題: (1)從該廠生產的甲、乙品牌產

8、品中隨機各抽取一件,求其至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內的概率; (2)若該廠生產的家電均能售出,記生產一件甲品牌家電的利潤為X1,生產一件乙品牌家電的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列; (3)該廠預計今后這兩種品牌家電銷量相當,由于資金限制,只能生產其中一種品牌的家電.若從經濟效益的角度考慮,你認為應生產哪種品牌的家電?說明理由. 答案： 例1. （1） （2） 例2 （2）(1)設取出的小球中有相同編號的事件為A，編號相同可分成一個相同和兩個相同． P(A)＝＝. (2)隨機變量X的可能取值為3,4,6. P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝6)＝

9、＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 3 4 6 P 所以隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝3＋4＋6＝. 課后作業(yè)： 1. 2. 120 3. 5．0.88 6. 9.解(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C105=518. (2)由題意知X可取的值為:0,1,2,3,4,則 P(X=0)=C65C105=142, P(X=1)=C64C41C105=521, P(X=2)=C63C42C105=1021, P(X=3)=C62C43C105=521, P(X=4)=C61C44C10

10、5=142. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 X的數(shù)學期望是 E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4) =0+1521+21021+3521+4142=2. 7. 解(1)設“甲、乙品牌家電至少有一件首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內”為事件A,則P(A)=1-45504550=19100. (2)依題意得,X1的分布列為 X1 1 2 3 P 125 350 910 X2的分布列為 X2 1.8 2.9 P 110 910 (3)由(2)得E(X1)=1125+2350+3910=14350=2.86(百元),E(X2)=1.8110+2.9910=2.79(百元).因為E(X1)>E(X2),所以應生產甲品牌家電.