《參數(shù)方程的概念》同步練習1

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1、《參數(shù)方程的概念》同步練習 1 （時間：90分鐘滿分：120分） 、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選 項中，只有一項是符合題目要求的） x二 1 1 .參數(shù)方程《 [y= (). 1 （t為參數(shù)）所表示的曲線是 O 1 , 1 ,、 解析 將參數(shù)方程進行消參，則有t=」，把t = 1,代入y= x x . ；「t2=1中，得當 x>0 時，x2+y2=1, 可知D正確. 此時y>0;當x<0時，x2+y2=1,此時y0 0.對照選項, 答案 D 2.直線, x二 （t為參數(shù)）上與點P（—2, 3）的距離等于 亞的

2、點的坐標是 y= (). A. ( — 4, 5) B. (-3, 4) C. ( — 3, 4)或(一1 2) D. ( — 4, 5)或(0, 1) 解析可以把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成標準式，或者直接根據(jù)直線參數(shù)方程的 非標準式中參數(shù)的幾何意義可得（-V2）2+（V2）2 - iti=g2, 2[2 x= — 3, x= — 1, 可得t=Wf,將t代入原方程，得』 或』 所以所求點的坐標 2 y= 4 、y= 2, 為（一3, 4）或（―1, 2）. 答案 C 1= sin 0 , 3 .在方程 （8為參數(shù)）所表示的曲線上的一點的坐標為 （）.

3、 y= cos 2 0 1 2 A-④-77 B.^ 3/ 1 1 吟，2/ D.（1, 0） 解析 把參數(shù)方程化為普通方程時注意范圍的等價性， 普通方程是y=1-2x2 （—1&x&1）,再根據(jù)選擇項逐個代入進行檢驗即可. 答案 C 0 , （8為參數(shù)且0& *2兀）的弦的中點，則該 (). x= 1 + 5cos 弦所在的直線方程為 A. x—y—3=0 C. x + y— 1=0 7=1 + 5cos 0 解析:由《 y=5sin 0 4.若 P(2, T)為圓［5sin 0 B. x+2y= 5 D. 2x— y— 5=0 8得，(x- 1)2

4、+y2=25 ???圓心C（1, 0）, ；kcP=—1, ?.?弦所在的直線的斜率為1 ???弦所在的直線方程為y—（―1）= 1 （x —2） 即 x— y— 3— 0. 答案 A 5,下列參數(shù)方程（t為參數(shù)）與普通方程x2 —y= 0表示同一曲線的方程是（ ）. A/ x=|t| y=t x= cos t B；y= cos2 t ‘x=tan t x=tan t C/i 1 + cos 2t D.d 1 — cos 2t 1 — cos 2t 1 + cos 2t 解析 注意參數(shù)范圍，可利用排除法.普通方程x2 —y=0中的xC R, y>0.A 中 x=

5、|t|>0, B 中 x=cos t€ [-1, 1],故排除 A 和 B.而 C 中 y= 2cosqt=cot2t 2sin t = 321=!，即 x2y= 1,故排除 C. tan i x 答案 D x=2cos 0 , 6.直線3x— 4y—9 = 0與圓』 （8為參數(shù)）的位置關(guān)系是 （ ）. 、y= 2sin 0 A.相切 B.相離 C.直線過圓心 D.相交但直線不過圓心 解析 把圓的參數(shù)方程化為普通方程，得 x2+y2 = 4,得到半徑為2,圓心為 （0, 0）,再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，即可判斷直線 和圓的位置關(guān)系. 答案 D 「_

6、1 （）. D.兩條直線 7 .參數(shù)方程『二+ t （t為參數(shù)）所表示的曲線是 !y=-2 A. 一條射線 B.兩條射線 C. 一條直線 解析 根據(jù)參數(shù)中y是常數(shù)可知，方程表示的是平行于 x軸的直線，再利用 不等式知識求出x的范圍可得x0—2或x>2,可知方程表示的圖形是兩條射 線. 答案 B x=rcos 4 , 8 .設(shè)r>0,那么直線xcos 0 +ysin 0 =r與圓』 （小是參數(shù)）的位置 y=rsin 小 關(guān)系是 （ ）. A.相交 B.相切 C .相離 D .視r的大小而定 解析 根據(jù)已知圓的圓心在原點，半徑是r,則圓心（0, 0）到直線的距離為d

7、 |0+ 0-r| ^cos 0 +sin2 0 =r,恰好等于圓的半徑，所以，直線和圓相切. 答案 B x = 2 + t, 9.過點（0, 2）且與直線《 廣 丫=1+4 （t為參數(shù)）互相垂直的直線方程為 ()? A『二通 f\. y=2+t x=一小t cA 、y=2—t j= 2+1 x= 2—6t D.t y= t 解析直線 X —2 + t, 、、、 廠 廠 {— 1 廠化為普通方程為y= <3x+1-243,其斜率ki=[3, 、N= 1 + -V3t 設(shè)所求直線的斜率為k,由kki= — 1,得k=—半，故參數(shù)方程為‘ x=

8、 — V3t (t )=2+t 為參數(shù)）. 答案 B x= — 1 + 2cos 9 , [x= 2t-1, 10.若圓的方程為廣3^s, e （0為參數(shù)），直線的方程為廠6t^ （t 為參數(shù)），則直線與圓的位置關(guān)系是 A.相交過圓心 B.相交但不過圓心 C.相切 D.相離 解析 圓的標準方程為（x+ 1）2+（y—3）2=4, 直線的方程為3x —y+2=0, 圓心坐標為（一1, 3）, 易驗證圓心不在直線 3x —y+2=0上. (). 而圓心到直線的距離 1—1X3 — 3 + 21 4 ?32+ (-1) 2:肅2 ?,?直線與圓相交. 答案 B

9、 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中的 橫線上） x= 2+4cos 0 , 11.圓的參數(shù)方程為‘ 「 （00族2冗），若圓上一點P對應參數(shù)9 Z= — \3+4sin 0 4 1 一 =,冗，則P點的坐標是 . 3 …一， 4 , 斛析當仁.九時， 3 c 4 c x= 2 + 4co演冗=0,

10、 3 y=-5+ 4sin3 兀=-3小, ???點P的坐標是（0, -3回 答案（0, —33） x= 1 + 2cos 0 的距離 12 .已知直線l: x —y+4=0與圓C: i ，則C上各點到l 、y= 1 + 2sin 0 的最小值為. 解析 圓方程為（x— 1）2+ （y— 1）2= 4, ?二 d= |1 — 1+4| - ^12+ (-D 2 取 「?距離最小值為2g— 2. 答案 2 2-2 13 .已知P為橢圓4x2 + y2 = 4上的點，。為原點，則|OP|的取值范圍是 2 解析 由 4x2+ y2 = 4,得 x2 + 4=1.

11、 <=cos 4 令 ?人（小為參數(shù)）， y=2sin 小 則 |OP『 = x2 + y2=cos2（|）+4sin2（|）=1 + 3sin2（|）. 0< sin2 <|）< 1, ? - K 1 + 3sin2 <|）< 4, 1<|OP|<2. 答案[1, 2] "x=2t, 14 .點（—3, 0）到直線｛ 也（t為參數(shù)）的距離為 . （y=r x = 2t 解析???直線〈J2 iy=2 土的普通方程為x—242y =0, ???點(—3, 0)到直線的距離為d= ? -3-0| 2 =i. Vi+(-272)2 答案1 三、解答題(

12、本大題共5小題，每小題10分，共50分.解答時應寫出必要的文 字說明、證明過程或演算步驟) 15 .已知 x, y滿足(x— 1)2+(y+2)2=4,求 S= 3x-y 的最化 解 由(x— 1)2+(y+ 2)2 = 4可知曲線表示以(1, —2)為圓心，半徑等于2的 圓.令 x=1+2cos 8 , y= -2+2sin 8 , WJ S= 3x—y= 3(1 + 2cos 9 )-(-2 + 2sin 8)=5+ 6cos 0 — 2sin 8=5+ 2/10sin(0+帆其中 tan([)= —3), 所以，當sin(計@ = 1時，S有最大值5 + 2師； 當sin(時

13、@= — 1時，S有最小值為5-2710. 所以S的最大值Smax=5+2ji0； S 的最小值 Smin=5 —2，i0. 16 .如圖所示，連結(jié)原點。和拋物線y = 2x2上的動點M, 延長OM到點P,使|OM|=|MP|,求P點的軌跡. 解 因為拋物線標準方程為x2=2y, 1 x = 2t, 所以它的參數(shù)方程為《 吊(t為參數(shù))， ―17 1y — 2t 得m1,「設(shè)P(x, y),則M是OP的中點， 12t 2， x=t, 所以〈 即12 (t為參數(shù))， 1t2=0+y y=t 3 — 2， 消去參數(shù)t,得y=x2. 所以，點P的軌跡方程為y=x；它

14、是以y軸為對稱軸，焦點為10, 4；的拋物 線. 17 .已知點A為橢圓條+、=1上任意一點，點B為圓(x—1)2 + y2=1上任意一 25 9 點，求AB|的最大值和最小值. >=5cos 0 . 解 化橢圓普通方程為參數(shù)方程i (8為參數(shù))，圓心坐標為C(1, y=3sin 0 0),再根據(jù)平面內(nèi)兩點之間的距離公式可得 |AC| 二 y/ (5cos 0—1) 2+9sin2 0 = 1 16cos~8 — 10cos 8+10 =I161cos e -舒+繁， 所以，當cos 0 =16時，AC|取最小值為當45； 當cos 8 = —1時，AC|取最大值為6.

15、所以，當cos 0 =16時，AB|取最小值為345—1 ； 當cos 8 = —1時，AB|取最大值為6+1 = 7. X=3 + tcos a , 18 .設(shè)直線l的參數(shù)方程為』 . (t為參數(shù)，a為傾斜角)，圓C的參 、y= 4 + tsin a (8為參數(shù)). x= 1 + 2cos 0 , y= —1+2sin 0 (1)若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率. (2)若直線l與圓C交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍. 解(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是P(3, 4),而圓C的圓心是C(1, -1), 5 所以，當直線l經(jīng)過圓C的圓心時，直線l的斜率為k

16、=5. x= 1 +2cos 0 , ⑵由圓C的參數(shù)方程』 得圓C的圓心是C(1, —1),半徑為2, y= —1+2sin 9 x= 3+tcos a , 由直線l的參數(shù)方程為』 (t為參數(shù)，a為傾斜角), N= 4+ tsin a 得直線l的普通方程為y—4=k(x—3), 即 kx-y+4 —3k= 0, 當直線l與圓C交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑, 即%普<2,由此解得k>21. k +1 20 直線l的斜率的取值范圍為11, +00 j X A x=gt—72, x=cos 0 , 2 Y 19.已知曲線Ci：《 （8為參數(shù)），曲線

17、C2：《 「 （t為參數(shù)）. （1）指出Ci, C2各是什么曲線，并說明Ci與C2公共點的個數(shù)； （2）若把Ci, C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半， 分別得到曲線Ci, C2. 寫出Ci, C2的參數(shù)方程.C1與C2公共點的個數(shù)和Ci與C2公共點的個數(shù) 是否相同？說明你的理由. 解⑴Ci是圓，C2是直線. Ci的普通方程為x2+y2=i,圓心Ci（0, 0）,半徑r=i. C2的普通方程為x—y+也=0. 因為圓心Ci到直線x- y+，2 = 0的距離為i, 所以C2與Ci只有一個公共點. x=cos 0 , （2）壓縮后的參數(shù)方程分別為Ci: j i y=]sin 0 , i x=^2t-V2, （8為參數(shù)），C2： 《 廠 （t為參數(shù)）， 1y邛 化為普通方程為Ci: x2 + 4y2=i, C2： y=%+當， 聯(lián)立消元得2x2 + 2&x+i=0, 其判別式A= （2亞）2 —4X 2Xi = 0, 所以壓縮后的直線C2與橢圓Ci仍然只有一個公共點，和 G與C2公共點的 個數(shù)相同.