112基本不等式

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1、襄 陽(yáng) 二 中 舒 軍 這 是 2002年 在 北 京 召 開 的 第 24屆 國(guó) 際 數(shù)學(xué) 家 大 會(huì) 會(huì) 標(biāo) 會(huì) 標(biāo) 根 據(jù) 中 國(guó) 古 代 數(shù) 學(xué) 家 趙 爽的 弦 圖 設(shè) 計(jì) 的 ， 顏 色 的 明 暗 使 它 看 上 去 象 一 個(gè)風(fēng) 車 ， 代 表 中 國(guó) 人 民 熱 情 好 客 。 思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？ a b22 ba 22 ba 1、 正 方 形 ABCD的 面 積 S= 、 四 個(gè) 直 角 三 角 形 的 面 積 和 S = ab2 、 S與 S有 什 么 樣 的 不 等 關(guān) 系 ？ 探 究 ：S_S問(wèn) ：

2、那 么 它 們 有 相 等 的 情 況 嗎 ？ A D B CEFGHb a 2 2a b重 要 不 等 式 ： 一 般 地 ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù) a、 b， 我 們 有當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 。 2 2 2a b ab A B CDE(FGH)a b 思 考 ： 你 能 給 出 不 等 式 的 證 明 嗎 ？abba 222 0)( 2 ba 0)( 2 ba 2( ) 0a b所 以 2 2 2 .a b ab所 以 時(shí)當(dāng) ba 時(shí)當(dāng) ba 2 2 2a b ab 證 明 ： （ 作 差 法 ） 2)( ba 結(jié) 論 ： 一 般 地 ， 對(duì) 于 任 意 實(shí) 數(shù)

3、a、 b， 總 有 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ， 等 號(hào) 成 立2 2 2a b ab 文 字 敘 述 為 : 兩 數(shù) 的 平 方 和 不 小 于 它 們 積 的 2倍 . 適 用 范 圍 ： a,b R0, 0, , , ,a b a b a b 如 果 我 們 用 分 別 代 替 可 得 到 什 么 結(jié) 論 ？ 0, 0, , , ,a b a b a b 如 果 我 們 用 分 別 代 替可 得 到 什 么 結(jié) 論 ？2 2( ) ( ) 2a b a b 2a b ab 替 換 后 得 到 ： 即 ： )0,0( ba2a b ab 即 ：你 能 用 不 等 式 的 性 質(zhì) 直 接 推

4、 導(dǎo) 這 個(gè) 不 等 式 嗎 ？ 2a b ab 證 明 ： 要 證 只 要 證 _a b 要 證 ， 只 要 證 _ 0a b 要 證 ， 只 要 證 2(_ _) 0 顯 然 , 是 成 立 的 .當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) , 中 的 等 號(hào) 成 立 . 分析法2 2( 0, 0, ( ) , ( ) )a b a a b b 2a b ab )0,0( ba證 明 不 等 式 ： 2 ab2 abba 特 別 地 ， 若 a0， b0， 則 _2a b ab通 常 我 們 把 上 式 寫 作 ： ( 0, 0)2a bab a b 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) 取 等 號(hào) ， 這 個(gè) 不 等

5、 式 就 叫 做 基 本 不 等 式 .基 本 不 等 式在 數(shù) 學(xué) 中 ， 我 們 把 叫 做 正 數(shù) a， b的 算 術(shù) 平 均 數(shù) ， 叫 做 正 數(shù) a， b的 幾 何 平 均 數(shù) ；2a bab文 字 敘 述 為 ：兩 個(gè) 正 數(shù) 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 不 小 于 它 們 的 幾 何 平 均 數(shù) .適 用 范 圍 ： a0,b0 你 能 用 這 個(gè) 圖 得 出 基 本 不 等 式 的 幾 何 解 釋 嗎 ?Rt ACD Rt DCB， BCDC 所 以 DCAC2DC BC AC ab 所 以 A BCDEa bO如 圖 , AB是 圓 的 直 徑 , O 為 圓 心 ，點(diǎn) C是

6、AB上 一 點(diǎn) , AC=a, BC=b. 過(guò) 點(diǎn) C作 垂 直 于 AB的 弦 DE,連 接AD、 BD、 O D. 如 何 用 a, b表 示 CD? CD=_ 如 何 用 a, b表 示 O D? O D=_2a bab 你 能 用 這 個(gè) 圖 得 出 基 本 不 等 式 的 幾 何 解 釋 嗎 ? 如 何 用 a, b表 示 CD? CD=_ 如 何 用 a, b表 示 O D? O D=_2a bab O D與 CD的 大 小 關(guān) 系 怎 樣 ? O D_CD如 圖 , AB是 圓 的 直 徑 , O 為 圓 心 ，點(diǎn) C是 AB上 一 點(diǎn) , AC=a, BC=b. 過(guò) 點(diǎn) C作

7、垂 直 于 AB的 弦 DE,連 接AD、 BD、 O D. 2a b ab 幾 何 意 義 ： 半 徑 不 小 于 弦 長(zhǎng) 的 一 半A D BEO Ca b 適 用 范 圍文 字 敘 述“=”成 立 條 件 2 2 2a b ab 2a b ab a=b a=b兩 個(gè) 正 數(shù) 的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 不小 于 它 們 的 幾 何 平 均 數(shù)兩 數(shù) 的 平 方 和 不小 于 它 們 積 的 2倍 a,b R a0,b0填 表 比 較 ：注 意 從 不 同 角 度 認(rèn) 識(shí) 基 本 不 等 式 例 1： (1)如 圖 ,用 籬 笆 圍 成 一 個(gè) 面 積 為 100m2的 矩 形 菜園 ,問(wèn) 這

8、 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 各 為 多 少 時(shí) ， 所 用 籬 笆 最 短 ， 最短 的 籬 笆 是 多 少 ？解 ： 如 圖 設(shè) BC=x ， CD=y ， 則 xy=100， 籬 笆 的 長(zhǎng) 為 2(x+y)m. 2x y xy 2 100 20,x y 2( ) 40 x y 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立因 此 ， 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 都 為 10m時(shí) ， 所 用 的 籬 笆最 短 ， 最 短 的 籬 笆 是 40m. x y此 時(shí) x=y=10. x=y AB DC 100 1010 xy xx y y 解 ， 可 得若 x、 y皆 為 正 數(shù) ，則 當(dāng) xy的

9、 值 是 常 數(shù) P時(shí) ，當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y時(shí) ，x+y有 最 小 值 _.2 P2 2x y xy P 例 1： (2)如 圖 ， 用 一 段 長(zhǎng) 為 36m的 籬 笆 圍 成 一 個(gè) 矩 形菜 園 ， 問(wèn) 這 個(gè) 矩 形 菜 園 的 長(zhǎng) 和 寬 各 為 多 少 時(shí) ， 菜 園 的 面積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？解 ： 如 圖 ， 設(shè) BC=x ， CD=y ， 則 2(x + y)= 36 , x + y =18矩 形 菜 園 的 面 積 為 xy m22x yxy 得 xy 81當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 因 此 ， 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬

10、 都 為 9m時(shí) ， 菜 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 81m 218 92 即 x=y=9 x y AB DC若 x、 y皆 為 正 數(shù) ，則 當(dāng) x+y的 值 是 常 數(shù) S時(shí) ，當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y時(shí) ，xy有 最 大 值 _； 214 S 2142 2 x y Sxy xy S 各 項(xiàng) 皆 為 正 數(shù) ； 和 或 積 為 定 值 ； 注 意 等 號(hào) 成 立 的 條 件 . 一 “ 正 ”二 “ 定 ”三 “ 相 等 ”利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 時(shí) ， 要 注 意已 知 x, y 都 是 正 數(shù) , P, S 是 常 數(shù) .(1) xy=P x+y 2 P(

11、當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y 時(shí) , 取 “ =”號(hào) ).(2) x+y=S xy S2(當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y 時(shí) , 取 “ =”號(hào) ).14 變 式 ： 如 圖 ， 用 一 段 長(zhǎng) 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個(gè) 一 邊靠 墻 的 矩 形 花 園 ， 問(wèn) 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 各 為 多 少 時(shí) ，花 園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？解 ： 如 圖 ， 設(shè) BC=x ， CD=y ， 則 籬 笆 的 長(zhǎng) 為矩 形 花 園 的 面 積 為 xy m2 x yAB DC22x y 得 144 2xy 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立因 此 ， 這 個(gè)

12、矩 形 的 長(zhǎng) 為 12m、 寬 為 6m時(shí) ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 72m 2即 xy 72 即 x=12， y=6x +2y= 24 x=2y 24 22 xy 2xy2 24 122 6x y xx y y 解 ， 可 得 變 式 ： 如 圖 ， 用 一 段 長(zhǎng) 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個(gè) 一 邊靠 墻 的 矩 形 花 園 ， 問(wèn) 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 各 為 多 少 時(shí) ，花 園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？解 ： 如 圖 ， 設(shè) BC=x ， CD=y ， 則 籬 笆 的 長(zhǎng) 為矩 形 花 園 的 面 積 為 xy

13、 m22x yxy x yAB DCx + y不 是 定 值 .2 =24為 22 2x yx y 得 2xy 144當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立因 此 ， 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 為 12m、 寬 為 6m時(shí) ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 72m2 24 122即 xy 72 即 x=12， y=6x +2y= 24 x=2y2 24 122 6x y xx y y 解 ， 可 得 變 式 ： 如 圖 ， 用 一 段 長(zhǎng) 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個(gè) 一 邊靠 墻 的 矩 形 花 園 ， 問(wèn) 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 各 為 多 少 時(shí) ，花 園 的

14、 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？分 析 ： 設(shè) AB=x ， BC=24 2x ， x 24 2xAB DC 變 式 ： 如 圖 ， 用 一 段 長(zhǎng) 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個(gè) 一 邊靠 墻 的 矩 形 花 園 ， 問(wèn) 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 各 為 多 少 時(shí) ，花 園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？解 ： 設(shè) AB=x ， BC=24 2x ， 矩 形 花 園 的 面 積 為 x(24 2x) m21(24 2 ) 2 (24 2 )2x x x x 21 2 24 2( ) 722 2x x 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 2x=24 2x,即

15、 x=6時(shí) ， 等 號(hào) 成 立因 此 ， 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 為 12m、 寬 為 6m時(shí) ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 72m2(其 中 2x+(24-2x)=24 是 定 值 ) 變 式 ： 如 圖 ， 用 一 段 長(zhǎng) 為 24m 的 籬 笆 圍 一 個(gè) 一 邊靠 墻 的 矩 形 花 園 ， 問(wèn) 這 個(gè) 矩 形 的 長(zhǎng) 、 寬 各 為 多 少 時(shí) ，花 園 的 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 多 少 ？解 ： 設(shè) AB=x ， BC=24 2x ， 矩 形 花 園 的 面 積 為 x(24 2x) m2(24 2 )y x x 令因 此 ， 這 個(gè) 矩 形

16、的 長(zhǎng) 為 12m、 寬 為 6m時(shí) ，花 園 面 積 最 大 ， 最 大 面 積 是 72m 2當(dāng) x=6時(shí) ， 函 數(shù) y取 得 最 小 值 為 722 224 2 2( 6) 72y x x x 則 (0 12)x 2 21 R, 2 ( ) , ,a b a b ab a b那 么 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ,等 號(hào) 成 立(2) ( 0, 0)2a bab a b a b ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立 。小 結(jié) ：求 最 值 時(shí) 注 意 把 握 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ”已 知 x, y 都 是 正 數(shù) , P, S 是 常 數(shù) .(1) xy=P x+y 2

17、 P(當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y 時(shí) , 取 “ =”號(hào) ).(2) x+y=S xy S2(當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y 時(shí) , 取 “ =”號(hào) ).142. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值1. 兩 個(gè) 重 要 的 不 等 式 作 業(yè)課 本 P100習(xí) 題 3.4 A組 第 2、 3題 思 考 題1. 求 函 數(shù) f(x)=x + (x -1) 的 最 小 值 .1x+1 2. 若 0 x0.1. 求 函 數(shù) f(x)=x + (x -1) 的 最 小 值 .1x+1 配 湊 系 數(shù)分 析 : x+(1-2x) 不 是 常 數(shù) .2 =1為 解 : 0 x0.12 y=x(1-2x)= 2x(1-2x) 12 22x+(1-2x) 212 18= . 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) , 取 “ =”號(hào) .2x=(1-2x), 即 x= 14 當(dāng) x = 時(shí) , 函 數(shù) y=x(1-2x) 的 最 大 值 是 .14 18 2. 若 0 x , 求 函 數(shù) y=x(1-2x) 的 最 大 值 .12