2019年高考試題匯編理科數(shù)學(xué)--圓錐曲線

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1、(2019全國(guó)1)10.已知橢圓的焦點(diǎn)為,,過的直線與交于,兩點(diǎn).若,,則的方程為( ) A. B. C. D. 答案: B 解答: 由橢圓的焦點(diǎn)為,可知,又,,可設(shè),則,,根據(jù)橢圓的定義可知,得,所以,,可知,根據(jù)相似可得代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,得,,橢圓的方程為. (2019全國(guó)1)16.已知雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線與的 兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).若,則的離心率為 . 答案: 解答: 由知是的中點(diǎn),,又是的中點(diǎn),所以為中位線且,所以,因此,又根據(jù)兩漸近線對(duì)稱,,所以,. (2019全國(guó)1

2、) 19.已知拋物線的焦點(diǎn)為,斜率為的直線與的交點(diǎn)為,,與軸的交點(diǎn)為. (1) 若,求的方程; (2) 若,求. 答案: (1); (2). 解答: (1)設(shè)直線的方程為,設(shè),, 聯(lián)立直線與拋物線的方程:消去化簡(jiǎn)整理得,,,,依題意可知,即,故,得,滿足,故直線的方程為,即. (2)聯(lián)立方程組消去化簡(jiǎn)整理得,,,,,,可知,則,得,,故可知滿足, . (2019全國(guó)2)8. 若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案:D 解答: 拋物線的焦點(diǎn)是,橢圓的焦點(diǎn)是, ∴,∴. (2019全國(guó)2)11. 設(shè)為

3、雙曲線的右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與圓交于 兩點(diǎn),若 ,則的離心率為( ) A. B. C. D. 答案:A 解答: ∵,∴, 又,∴ 解得,即. (2019全國(guó)2)21. 已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足直線和的斜率之積為,記的軌跡為曲線. (1)求的方程,并說明什么曲線; (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,軸,垂足為,連結(jié) 并延長(zhǎng)交于點(diǎn). ①證明:是直角三角形; ②求的面積的最大值. 答案: 見解析 解答: (1)由題意得:,化簡(jiǎn)得: ,表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓(不含與軸的交點(diǎn)). (2) ①依題意設(shè),直線的斜率為 ,則 ,

4、 ∴, 又, ∴, ∴,即是直角三角形. ②直線的方程為,聯(lián)立 ,得 , 則直線, 聯(lián)立直線和橢圓,可得, 則,∴ , 令,則, ∴, ∵, ∴. (2019全國(guó)3)10.雙曲線:的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為的一條漸近線的點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若則的面積為( ) A: B: C: D: 答案: A 解析: 由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為;在中過點(diǎn)做垂直因?yàn)榈玫?所以;故選A; (2019全國(guó)3)15.設(shè) 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為上一點(diǎn)且在第一象限,若為等腰三角形,則的坐標(biāo)為________. 答案: 解析: 已知橢圓可知,,,由為上一點(diǎn)

5、且在第一象限,故等腰三角形中,,,,代入可得.故的坐標(biāo)為. (2019全國(guó)3)21.已知曲線,為直線上的動(dòng)點(diǎn).過作的兩條切線,切點(diǎn)分別是,, (1)證明:直線過定點(diǎn); (2)若以為圓心的圓與直線相切,且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求四邊形的面積. 答案: 見解析; 解答: (1)當(dāng)點(diǎn)在時(shí),設(shè)過的直線方程為,與曲線聯(lián)立化簡(jiǎn)得 ,由于直線與曲線相切,則有,解得, 并求得坐標(biāo)分別為,所以直線的方程為; 當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)不為時(shí),設(shè)直線的方程為(),由已知可得直線 不過坐標(biāo)原點(diǎn)即,聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得,, 消并化簡(jiǎn)得,∵有兩個(gè)交點(diǎn)∴, 設(shè),,根據(jù)韋達(dá)定理有, ,, 由已知可得曲線為

6、拋物線等價(jià)于函數(shù)的圖像, 則有,則拋物線在上的切線方程為①, 同理,拋物線在上的切線方程為②, 聯(lián)立①,②并消去可得, 由已知可得兩條切線的交點(diǎn)在直線上,則有 , 化簡(jiǎn)得,,∵,∴, 即,即為,解得,經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件, 所以直線的方程為過定點(diǎn), 綜上所述,直線過定點(diǎn)得證. (2)由(1)得直線的方程為, 當(dāng)時(shí),即直線方程為,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 以為圓心的圓與直線相切于恰為中點(diǎn), 此時(shí); 當(dāng)時(shí),直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡(jiǎn)得, ,,, 則中點(diǎn)坐標(biāo)為, 由已知可得,即, 解得,, 由對(duì)稱性不妨取,則直線方程為, 求得的坐標(biāo)為,, 到直線距離,到直線距離,

7、則, 綜上所述,四邊形的面積為或. (2019北京)4.已知橢圓(a>b>0)的離心率為,則 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b 【答案】B 【解析】【分析】 由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式. 【詳解】橢圓的離心率,化簡(jiǎn)得, 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查. (2019北京)18.已知拋物線C:x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)(2,?1). (Ⅰ)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,

8、N,直線y=?1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn). 【答案】(Ⅰ) ,; (Ⅱ)見解析. 【解析】【分析】 (Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程,進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程; (Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑,從而確定圓的方程,最后令x=0即可證得題中的結(jié)論. 【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程:可得:, 故拋物線方程:,其準(zhǔn)線方程為:. (Ⅱ)很明顯直線的斜率存在,焦點(diǎn)坐標(biāo)為, 設(shè)直線方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得:. 故:. 設(shè),則, 直線的方程為,與聯(lián)立可得:,同理可得, 易知以AB為直徑的圓的

9、圓心坐標(biāo)為:,圓的半徑為:, 且:,, 則圓的方程為:, 令整理可得:,解得:, 即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn). 【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定,直線與拋物線的位置關(guān)系,圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. (2019天津)5.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且(為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把用表示出來,即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。 【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為, 雙曲線的漸近線方程為,

10、 則有 ∴,,, ∴。 故選D。 【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解,解題關(guān)鍵是求出AB的長(zhǎng)度。 (2019天津)18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4,離心率為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若(為原點(diǎn)),且,求直線的斜率. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)或. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程,解方程可得橢圓方程; (Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點(diǎn)P的坐標(biāo),從而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表達(dá)式,最后利用直線垂直的充分必要條

11、件得到關(guān)于斜率的方程,解方程可得直線的斜率. 【詳解】(Ⅰ) 設(shè)橢圓的半焦距為,依題意,,又,可得,b=2,c=1. 所以,橢圓方程為. (Ⅱ)由題意,設(shè).設(shè)直線的斜率為, 又,則直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立, 整理得,可得, 代入得, 進(jìn)而直線的斜率, 在中,令,得. 由題意得,所以直線的斜率為. 由,得, 化簡(jiǎn)得,從而. 所以,直線的斜率為或. 【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)?直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力. (2019上海)10.如圖,已知正方形,其中,

12、函數(shù)交于點(diǎn),函數(shù)交于點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),則的值為 ?。? 【解答】解:由題意得:點(diǎn)坐標(biāo)為,,點(diǎn)坐標(biāo)為, , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值, 故答案為:. (2019上海)11.在橢圓上任意一點(diǎn),與關(guān)于軸對(duì)稱,若有,則與的夾角范圍為  . 【解答】解:設(shè),則點(diǎn), 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,,, , , 結(jié)合 可得:, 故與的夾角滿足: , 故, 故答案為:, (2019上海)20.已知拋物線方程,為焦點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn),為線段與拋物線的交點(diǎn),定義:. (1)當(dāng)時(shí),求; (2)證明:存在常數(shù),使得; (3),,為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn),且,判斷與的關(guān)系. 【解答】解:(1)

13、拋物線方程的焦點(diǎn),, ,的方程為,代入拋物線的方程,解得, 拋物線的準(zhǔn)線方程為,可得, ,; (2)證明:當(dāng)時(shí),, 設(shè),,,則, 聯(lián)立和,可得,, , 則存在常數(shù),使得; (3)設(shè),,,則 , 由, , 則. (2019江蘇)10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____. 【答案】4 【解析】 【分析】 將原問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)與直線之間的距離,然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點(diǎn)坐標(biāo)可得最小距離 【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時(shí),切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線的距離最小. 由,得,, 即切點(diǎn)

14、, 則切點(diǎn)Q到直線的距離為, 故答案為:4. 【點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離,滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法,利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. (2019江蘇)17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:的焦點(diǎn)為F1(–1、0), F2(1,0).過F2作x軸的垂線l,在x軸的上方,l與圓F2:交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié)DF1.已知DF1=. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求點(diǎn)E的坐標(biāo). 【答案】(1); (2). 【解析】 【分析】 (1)由題意分別求得a

15、,b的值即可確定橢圓方程; (2)解法一:由題意首先確定直線的方程,聯(lián)立直線方程與圓的方程,確定點(diǎn)B的坐標(biāo),聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點(diǎn)E的坐標(biāo); 解法二:由題意利用幾何關(guān)系確定點(diǎn)E的縱坐標(biāo),然后代入橢圓方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo). 【詳解】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因?yàn)镕1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因?yàn)镈F1=,AF2⊥x軸,所以DF2=, 因此2a=DF1+DF2=4,從而a=2 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)解法一: 由(1)知,橢圓C:,a=2, 因?yàn)锳F2⊥x軸,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

16、 將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=4. 因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直線AF1:y=2x+2. 由,得, 解得或. 將代入,得, 因此.又F2(1,0),所以直線BF2:. 由,得,解得或. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以. 將代入,得.因此. 解法二: 由(1)知,橢圓C:.如圖,連結(jié)EF1. 因?yàn)锽F2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 從而∠BF1E=∠B. 因?yàn)镕2A=F2B,所以∠A=∠B, 所以∠A=∠BF1E,從而EF1∥F2A. 因?yàn)锳F2⊥x軸,所以E

17、F1⊥x軸. 因?yàn)镕1(-1,0),由,得. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn),所以. 因此. 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力. (2019浙江)2.漸近線方程為的雙曲線的離心率是( ) A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得,進(jìn)一步可得離心率.容易題,注重了雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查. 【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線為,所以,則,雙曲線的離心率. 【點(diǎn)睛】理解概念,準(zhǔn)確計(jì)算,

18、是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯(cuò)誤. (2019浙江)15.已知橢圓的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn),利用三角形中位線定理,將線段長(zhǎng)度用坐標(biāo)表示考點(diǎn)圓的方程,與橢圓方程聯(lián)立可進(jìn)一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理,則更為簡(jiǎn)潔. 【詳解】方法1:由題意可知, 由中位線定理可得,設(shè)可得, 聯(lián)立方程 可解得(舍),點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方, 求得,所以 方法2:焦半徑公式應(yīng)用 解析1:由題意可知, 由中位線定理可得,即 求得,所以

19、. 【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合思想,是解答解析幾何問題的重要途徑. (2019浙江)21.如圖,已知點(diǎn)為拋物線,點(diǎn)為焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,使得的重心在軸上,直線交軸于點(diǎn),且在點(diǎn)右側(cè).記的面積為. (1)求的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】(1)1,;(2),. 【解析】 【分析】 (1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定p的值和準(zhǔn)線方程即可; (2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理求得面積的表達(dá)式,最后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值和點(diǎn)G的坐標(biāo). 【詳解

20、】(1)由題意可得,則,拋物線方程為,準(zhǔn)線方程為. (2)設(shè), 設(shè)直線AB的方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得: ,故:, , 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,由重心坐標(biāo)公式可得: ,, 令可得:,則.即, 由斜率公式可得:, 直線AC的方程為:, 令可得:, 故, 且, 由于,代入上式可得:, 由可得,則, 則 . 當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立 此時(shí),,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系,本題主要考查了拋物線準(zhǔn)線方程的求解,直線與拋物線的位置關(guān)系,三角形重心公式的應(yīng)用,基本不等式求最值的方法等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

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