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1、17. 1 一元二次方程
學習目標
知識與技能：
1 .了解一元二次方程及相關(guān)概念
2 .應(yīng)用一元二次方程的概念解決一些簡單題目
過程與方法：
在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種模型，體會方程與實際生活的 聯(lián)系。
情感態(tài)度與價值觀：
通過豐富的實例，讓學生合作探討，培養(yǎng)學生合作交流的能力，建立數(shù)學模型并通過數(shù)學 模型自己總結(jié)一元二次方程的定義，培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)和數(shù)學建模的能力。
教學過程
一、情境導入
問題：一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多 2m,苗圃的長和寬各是多少?
設(shè)苗圃的寬為xm,則長為（x+2）m.
根據(jù)題意，得x（x+2）
2、= 120.
所列方程是否為一元一次方程？（回憶：一元一次方程的定義）
（給出定義：這個方程便是即將學習的一元二次方程. ）
二、合作探究
探究點一：一元二次方程的概念
［類型一元二次方程的識別
國 下列方程中，是一元二次方程的是 （填入序號即可）.
①y"-y=0;②2x2-x- 3=0;③4=3;
4 x
④ x2=2+3x;⑤ x3 —x+ 4=0;⑥ t2=2;
⑦x2+3x —3=0;⑧迎一x =2.
解析：由一元二次方程的定義知 ③⑤⑦⑧不是.答案為 ①②④⑥.
方法總結(jié)：判斷一個方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對它
進行整理，若能
3、整理為 ax2+bx+c= 0（a, b, c為常數(shù)，aw0）的形式，則這個方程就是一元 二次方程.
變式訓練：課本21頁第1題
［類型二］根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值
112
(1)ax2 — x= 2x2 — ax— 3;
(2)(a — 1)xa| 1+ 2x— 7= 0.
解析：(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，得 (a—2)x2+(a—1)x+ 3=0,當a-2^0,即a^2
時，原方程是一■?！龃畏匠?； (2)由|a|+1=2,且a—1W0知，當a=— 1時，原方程是一■兀
二次方程.
解：(1)將方程整理得(a—2)x2+(a—1)x+3=0,=a —2W0,
4、，aw2.當 aw2 時，原方程 為一元二次方程；
(2),「|a|+1 = 2,，a= .當 a= 1 時，a— 1 = 0,不合題意，舍去.，當 a = — 1 時，原 方程為一元二次方程.
方法總結(jié)：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于 2,
列出關(guān)于某個字母的方程，再排除使二次項系數(shù)等于 0的字母的值.
變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第 2題
［類型三］一元二次方程的一般形式
把下列方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和
常數(shù)項.
(1)x(x— 2) = 4x2—3x;
x+ 1 -x- 1
(
5、3)關(guān)于 x 的方程 mx2-nx+ mx+ nx2= q — p(m+nw 0).
解析：首先對上述三個方程進行整理， 通過“去分母” “去括號” “移項” “合并同類 項”等步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
解：(1)去括號，得x2- 2x= 4x2—3x.移項、合并同類項，得 3x2-x= 0.二次項系數(shù)為3, 一次項系數(shù)為一1,常數(shù)項為0;
(2)去分母，得 2x2—3(x+ 1)=3(-x-1).去括號、移項、合并同類項，得 2x2=0.二次
項系數(shù)為2, 一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為0;
(3)移項、合并同類項，得 (m + n)x2+(m—
6、n)x+p —q= 0.二次項系數(shù)為 m+n, 一次項系 數(shù)為m-n,常數(shù)項為p-q.
方法總結(jié)：(1)在確定一元二次方程各項系數(shù)時，首先把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式，
如果在一般形式中二次項系數(shù)為負，那么最好在方程左右兩邊同乘- 1,使二次項系數(shù)變?yōu)?
正數(shù)；
(2)指出一元二次方程的各項系數(shù)時，一定要帶上前面的符號；
(3)一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式后，若沒有出現(xiàn)一次項 bx,則b=0;若沒有出現(xiàn)常數(shù)
項c,則c= 0.
變式訓練：課本21頁第2題
探究點二：根據(jù)實際問題建立一元二次方程模型
[1
如圖，現(xiàn)有一張長為 19cm,寬為
長是多少的小正方形，才能將其做成底面
7、積為
15cm的長方形紙片，需要在四個頂角處剪去邊
81cm2的無蓋長方體紙盒？請根據(jù)題意列出方
第3頁共3頁
程.
解析：小正方形的邊長即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面，設(shè)出未知數(shù)， 禾1J用
長方形面積公式可列出方程.
解：設(shè)需要剪去的小正方形邊長為
xcm ,則紙盒底面的長方形的長為 (19- 2x)cm,寬為
(15 — 2x)cm.
根據(jù)題意，得(19 —2x)(15—2x) = 81.整理得 x2-17x+51 = 0(0
8、量之間的等量關(guān)系，正確地列出方程.在列出方程后，還應(yīng)根據(jù)實際需求， 注明自變量的取值范圍.
變式訓練：課本21頁第3題
探究點三：一元二次方程的根
已知關(guān)于x的一元二次方程
x2+mx+3= 0的一個解是 x= 1,求m的值.
解析：將方程的解代入原方程，可使方程的左右兩邊相等.本題將 x=1代入原方程，
可得關(guān)于m的一元一次方程，解得 m的值即可.
解：根據(jù)方程的解的定義，將 x= 1代入原方程，得12 + mX 1 + 3=0,解得m = -4, 即m的值為一4.
方法總結(jié)：方程的根（解）一定滿足原方程，將根（解）的值代入原方程，即可得到關(guān)于未 知系數(shù)的方程，通過解方程可以求出未知系數(shù)的值，這種方法叫做根的定義法.
變式訓練：課本21頁第4題 三.課堂小結(jié)
本節(jié)課你學到了什么？（學生回答，教師總結(jié)補充）
四.家庭作業(yè)
完成同步練習對應(yīng)練習
一元二次方程的概念.1一元二次方程的概念
