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1、2a bab 3.4基 本 不 等 式 : ICM2002會(huì)標(biāo)趙爽：弦圖 A D B CEFGHb a2 2a b基本不等式1： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 2 2 2a b ab A B CDE(FGH)a b如 何 證 明 ? 基本不等式2：( 0, 0)2a bab a b 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。注意：（1）兩個(gè)不等式的適用范圍不同,而等號(hào)成立的條件相同（2） 稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù) 稱為它們的算術(shù)平均數(shù)。ab 2a b 如 何 證 明 ? 基本不等式的幾何解釋：半弦CD不大于半徑A BEDCa b 例1.(1) 已知 并指出等號(hào)成立的條件.
2、 10, 2,x x x 求證(2) 已知 與2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由. abbaab 尋找,0(3) 已知 能得到什么結(jié)論? 請(qǐng)說(shuō)明理由. abbaab ,0應(yīng)用一：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系 練習(xí)2：若 ，則（ ）（1）（2）（3）B練習(xí)1：設(shè)a0，b0，給出下列不等式其中成立的是 等號(hào)能成立的是 。21)1( aa 4)1)(1)(2( bbaa4)11)()(3( baba 2212)4( 22 aa ,lglg,1 baPba )2lg(),lg(lg21 baRbaQ QPRA 、RQPB 、QPRC 、RQPD 、（1）（2）（3）(4) 3.4 基 本 不 等 式 :
3、2a bab 應(yīng)用二：解決最大（?。┲祮?wèn)題 例2、已知 都是正數(shù)，求證（1）如果積 是定值P，那么當(dāng) 時(shí)，和 有最小值（2）如果和 是定值S，那么當(dāng) 時(shí)，積 有最大值yx, yxyx yxP2 yx 241 Sxy（1）一正：各項(xiàng)均為正數(shù)（2）二定：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。 兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。（3）三相等：求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“”，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤小結(jié)：利用 求最值時(shí)要注意下面三條：)0,0(2 baabbaxy 2、(04重慶）已知?jiǎng)tx y 的最大值是 。1、當(dāng)x0時(shí)， 的最小值為 ，此時(shí)x= 。2 1xx 1 )0,0(232 yxyx61 3、若實(shí)數(shù) ，且 ，
4、則 的最小值是（ ） A、10 B、 C、 D、yx, 5 yx yx 33 36 64 318D 4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ） A、 B、C、 D、)0,(55 xRxxxy )101(lg1lg xxxy)(33 Rxy xx )20(sin1sin xxxy C _212(4) ;8,2,8,8,)3( );,2loglog)(1(2) 8),(sin16sin)1(.6 2 min22 22 2其中正確命題的有的最小值是時(shí)當(dāng)中則設(shè) 的值域是，則設(shè)；最小值是 xxy yxxxxxyRx axxfx Zkky xa (4) 例3、（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問(wèn)這
5、個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大。最大面積是多少？ 例4、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？ 例1、甲、乙兩電腦批發(fā)商每次在同一電腦耗材廠以相同價(jià)格購(gòu)進(jìn)電腦芯片。甲、乙兩公司共購(gòu)芯片兩次，每次的芯片價(jià)格不同，甲公司每次購(gòu)10000片芯片，乙公司每次購(gòu)10000元芯片，兩次購(gòu)芯片，哪家公司平均成本低？請(qǐng)給出證明過(guò)程。解：設(shè)第一、第二次購(gòu)芯片的價(jià)格
6、分別為每片a元和b元 ,22000010000 baba 的平均價(jià)格為那么甲公司兩次購(gòu)芯片 baba 11 2100001000020000 均價(jià)格為乙公司兩次購(gòu)芯片的平 例4、 求函數(shù) 的最小值45 22 xxy 構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值思考：求函數(shù) 的最小值)3(31 xxxy 構(gòu)造和為定值，利用基本不等式求最值例5、已知 ，求 的最大值 10 x 21 xx 的最小值求且為正實(shí)數(shù)為正常數(shù)已知例yx ybxa，y，xba 11 ,的最小值求且為正實(shí)數(shù)為正常數(shù)變題ybxa yx，y，xba , 1abyx abyxabxyxyabybxa 4 42211的最小值為即誤 2)( ,222 ),0,0( ,2 max 222222 22nmbyax nmybxabyax nmnyx mbayxba 即則滿足已知實(shí)數(shù)誤5)( ,52 )()()( 9,13 max 222222 222222 czbyax zcybxaczbyax ，zyxcba即則已知誤 )(.3 4 ,0,0,0,0.2 )( ),(1.1 222222444 2 cbaabccacbbacba acadbcbdbcad dcba bayx Ryxybxaba 證明：求證：已知求證：，是正數(shù)，且、已知等式利用基本不等式證明不
13基本不等式
