2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 【考情分析】 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念． 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化． 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 【重點(diǎn)知識梳理】 知識點(diǎn)一 角的概念 1．角的定義 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形． 2．角的分類 角的分類 3．終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合：S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 知識點(diǎn)二 弧度制及應(yīng)用 1．弧度制的定義 把長度等于半徑長的弧所對的圓

2、心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. 2．弧度制下的有關(guān)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1＝ rad；②1 rad＝ 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 知識點(diǎn)三 任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么 叫做α的正弦，記作sin α 叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α 各象限符號 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函數(shù)線

3、 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT為正切線 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一 象限角的判斷 【例1】（2020新課標(biāo)Ⅱ）若α為第四象限角，則（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】當(dāng)時，，選項B錯誤；當(dāng)時，，選項A錯誤；由α在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確； 【方法技巧】象限角的兩種判斷方法 ①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角； ②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k360＋α(0≤α＜360，k∈Z)的形式，

4、即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角． 【變式探究】（2020吉林省遼源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）設(shè)θ是第三象限角，且＝－cos ，則是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B　 【解析】∵θ是第三象限角， ∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z， ∴的終邊落在第二、四象限， 又＝－cos ，∴cos ＜0， ∴是第二象限角． 高頻考點(diǎn)二　扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用 【例2】（2020北京101中學(xué)模擬）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝6

5、0，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)已知扇形的周長為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 【解析】(1)α＝60＝rad， 所以l＝αR＝10＝(cm)． (2)由題意得?(舍去)或 故扇形圓心角為rad. (3)由已知得l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當(dāng)R＝5 cm時，S取得最大值25 cm2， 此時l＝10 cm，α＝2 rad. 【方法技巧】 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．

6、 (2)求扇形面積的最大值時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決． (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形． 【變式探究】（2020 湖南衡陽八中模擬）已知扇形弧長為20 cm，圓心角為100，則該扇形的面積 為 cm2. 【答案】　 【解析】由弧長公式l＝|α|r， 得r＝＝， 所以S扇形＝lr＝20＝. 高頻考點(diǎn)三 三角函數(shù)的概念 【例3】(2018浙江卷)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β滿足sin(α＋β)＝，求co

7、s β的值。 【解析】(1)由角α的終邊過點(diǎn)P， 得sin α＝－. 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的終邊過點(diǎn)P， 得cos α＝－. 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝. 由β＝(α＋β)－α， 得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 【方法技巧】三角函數(shù)定義解題的技巧 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解． (2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)

8、值． (3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)． (4)已知一角的三角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況． 【變式探究】(2017北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sin α＝，則sin β＝__________。 【解析】 (1)方法一　當(dāng)角α的終邊在第一象限時，取角α終邊上一點(diǎn)P1(2，1)，其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(－2，1)在角β的終邊上，此時sin β＝；當(dāng)角

9、α的終邊在第二象限時，取角α終邊上一點(diǎn)P2(－2，1)，其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)(2，1)在角β的終邊上，此時sin β＝.綜合可得sin β＝. 方法二　令角α與角β均在區(qū)間(0，π)內(nèi)，故角α與角β互補(bǔ)，得sin β＝sin α＝. 【答案】　 高頻考點(diǎn)四 三角函數(shù)線的應(yīng)用 【例4】(2018北京卷)在平面坐標(biāo)系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊，若tan α＜cos α＜sin α，則P所在的圓弧是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】當(dāng)點(diǎn)P在或上時，由三角函數(shù)線易知，sin α＜ta

10、n α，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)P在上時，tan α＞0，sin α＜0，不符合題意；進(jìn)一步可驗(yàn)證，只有點(diǎn)P在上時才滿足條件。 【方法技巧】利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法 對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意實(shí)線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集．　　 【變式探究】（2020江蘇省啟東中學(xué)模擬）若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α D．tan α＜sin α＜cos α 【答案】C　 【解析】如圖，作出角α的正弦線MP， 余弦線OM，正切線AT， 觀察可知sin α＜cos α＜tan α.]