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1、單擊以編輯,母版標題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,高階線性微分方程,第六節(jié),二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),*,四、常數(shù)變易法,一、二階線性微分方程舉例,第七章,一、二階線性微分方程舉例,當重力與彈性力抵消時,物體處于 平衡狀態(tài),例1.,質(zhì)量為,m,的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復運動,解:,阻力的大小與運動速度,下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向,物體在彈性力與阻,取平衡時物體的位置為坐標原點,建立坐標系如圖.,設,時刻,t,物位移為,x,(,t,).,(,1)自由振動情況.,彈性恢
2、復力,物體所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移滿足的微分方程.,據(jù)牛頓第二定律得,則得有阻尼,自由振動方程:,阻力,(,2)強迫振動情況.,若,物體在運動過程中還受鉛直外力,則得,強迫振動方程:,求電容器兩兩極板間電壓,例2.,聯(lián)組成的電路,其中,R,L,C,為常數(shù),所滿足的微分方程.,解:,設電路中電流為,i,(,t,),的電量為,q,(,t,),自感電動勢為,由電學知,根據(jù)回路電壓定律:,設有一個電阻,R,自感,L,電容,C,和電源,E,串,極板上,在閉合回路中,所有支路上的電壓降為 0,串聯(lián)電路的振蕩方程:,化為關(guān)于,的,方程:,故有,如果電容器充電后撤去電源(,E,
3、=0),則得,n,階線性微分方程,的一般形式為,方程的,共性,(二階線性微分方程),例1,例2,可歸結(jié)為,同一形式:,時,稱為非齊次方程;,時,稱為齊次方程.,復習:,一階線性方程,通解:,非齊次方程特解,齊次方程通解,Y,證畢,二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階線性齊次方程,的兩個解,也是該方程的解.,證:,代入方程左邊,得,(疊加原理),定理1.,說明:,不一定,是所給二階方程的通解.,例如,是,某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性無關(guān)概念.,定義:,是定義在區(qū)間,I,上的,n,個函數(shù),使得,則稱這,n,個函數(shù)在,I
4、,上,線性相關(guān),否則稱為,線性無關(guān).,例如，,在(,)上都有,故它們在任何區(qū)間,I,上都線性相關(guān);,又如，,若在某區(qū)間,I,上,則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為 0,可見,在任何區(qū)間,I,上都 線性無關(guān).,若存在,不全為,0,的常數(shù),兩個函數(shù)在區(qū)間,I,上線性相關(guān)與線性無關(guān)的,充要條件:,線性相關(guān),存在不全為 0 的,使,(無妨設,線性無關(guān),常數(shù),思考:,中有一個恒為 0,則,必線性,相關(guān),(證明略),線性無關(guān),定理 2.,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關(guān)特解,數(shù))是該方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常數(shù),故方程的通解為,(自,證),推論.,是,n,階齊次方程,的,n,個線性
5、無關(guān)解,則,方程的通解為,則,三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu),是二階非齊次方程,的一個特解,Y,(,x,),是相應齊次方程的通解,定理 3.,則,是非齊次方程的通解.,證:,將,代入方程左端,得,是非齊次方程的解,又,Y,中含有,兩個獨立任意常數(shù),例如,方程,有特解,對應齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而,也是通解.,定理 4.,分別是方程,的特解,是方程,的特解.,(非齊次方程之解的疊加原理),定理3,定理4 均可推廣到,n,階線性非齊次方程.,定理 5.,是對應齊次方程的,n,個線性,無關(guān)特解,給定,n,階非齊次線性方程,是非齊次方程的特解,則非齊次方程,的通解為,齊次方程通解,
6、非齊次方程特解,常數(shù),則該方程的通解是().,設線性無關(guān)函數(shù),都是二階非齊次線,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是對應齊次方程的解,二者線性無關(guān).,(反證法可證),例4.,已知微分方程,個解,求此,方程滿足初始條件,的,特解.,解:,是,對應齊次方程的解,且,常數(shù),因而線性無關(guān),故原,方程通解為,代入初始條件,故所求特解為,有,三,*,四、常數(shù)變易法,復習:,常數(shù)變易法:,對應齊次方程的通解:,設,非齊次方程的解為,代入原方程確定,對,二階非齊次方程,情形1.,已知對應齊次方程通解:,設的解為,由于有兩個待定函數(shù),所以要建立兩個方程:,令,于是,將,以上結(jié)果代入方程 :,得,故,的系數(shù)
7、行列式,是對應,齊次方程的解,P10,積分得:,代入 即得非齊次方程的通解:,于是得,說明:,將的解設為,只有一個必須滿足的條件即,因此必需再附加,一個條件,方程的引入是為了簡化計算.,方程3,方程,情形2.,僅知,的齊次方程的一個非零特解,代入,化簡得,設其,通解為,積分得,(一階線性方程),由此得原方程的通解:,方程3,例5.,的通解為,的通解.,解:,將所給方程化為:,已知齊次方程,求,利用,建立方程組:,故所求,通解為,積分得,解上述可降階微分方程,可得通解:,例6.,的通解.,解:,對應齊次方程為,由觀察可知它有特解:,令,代入非齊次方程后化簡得,故原方程通解為,思考與練習,P331,題1,3,4,(2),(5),作業(yè),P 331,*,6,*,8,第七節(jié),
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