隨機現(xiàn)象與基礎(chǔ)概率

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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三講 隨機現(xiàn)象與基礎(chǔ)概率,知識點,隨機現(xiàn)象及其特征,概率的定義,概率的加法定理,概率的乘法定理,概率與二項分布,一、,隨機現(xiàn)象及其特征,隨機現(xiàn)象例子：,全國每天有多少嬰兒出生？,多少人因車禍死亡？,多少人結(jié)婚，多少人離婚？,多少人晚間收看新聞聯(lián)播？,天氣的變化？,手術(shù)的成功？,骰子的點數(shù)？,這些現(xiàn)象的共同點：在一定條件下（例如某天、某日）事物出現(xiàn)只具有,可能性,而但不具有,必然性,。,這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象，大量存在自然、經(jīng)濟、社會領(lǐng)域內(nèi)。,社會現(xiàn)象分成兩種確定性現(xiàn)象和非確定性現(xiàn)象,確定性現(xiàn)象與非確定性現(xiàn)象

2、,確定性現(xiàn)象:在一定的條件(S)下某種結(jié)果必然會發(fā)生的現(xiàn)象,此時現(xiàn)象的可能結(jié)果只有一個,并且事先就能夠確定,.,EG,向空中扔一石塊必然會落地;標準大氣壓下水在100時肯定會沸騰.,非確定性現(xiàn)象:指在某種條件實現(xiàn)后,某種結(jié)果可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象.也就是說,此時存在多種可能性,但究竟發(fā)生哪種結(jié)果事先卻不能肯定.,EG,向空中拋擲一枚硬幣,落地后正面朝上的結(jié)果是不能事先確定的,從副洗好的撲克牌中任意抽出一張來，它是黑桃2的結(jié)果也是不能事先確定的。,問題：既然社會中存在大量的非確定性現(xiàn)象，那么預(yù)期或預(yù)測如何可能？,統(tǒng)計規(guī)律：從表面上看來非確定性現(xiàn)象好像是捉摸不定的，純粹是偶然性起支配作用，但實

3、際上，在研究了大量同類現(xiàn)象后，通常會揭示出一種確定的規(guī)律性，這就是所謂的統(tǒng)計規(guī)律,。,EG，如果無數(shù)次投擲硬幣，就可以斷定正面朝上的次數(shù)與拋擲總次數(shù)的比接近1/2。,1、隨機現(xiàn)象具有雙重性：,偶然性,：在一次試驗或觀察中事件出現(xiàn)的可能具有偶然性；可能會出現(xiàn),它表示為：若，可能,統(tǒng)計規(guī)律性：,在相同條件下，進行大量重復(fù)試驗或觀察時，隨機事件出現(xiàn)可能的大小是穩(wěn)定的。,概率論研究的正是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。,EG,重復(fù)投擲骰子，根據(jù)概率論，可以知道出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點和6點的可能性均為1/6。,2009年在武漢市發(fā)生的經(jīng)濟適用房抽簽中出現(xiàn)的“六連號”事件。顯然不符合概率論。,2、偶然性和

4、規(guī)律性的關(guān)系,單獨的現(xiàn)象具有偶然性，但對于大量的現(xiàn)象，具有規(guī)律性。,“在表面上是偶然性在起作用的地方，這種偶然性始終是受內(nèi)部的隱蔽著的規(guī)律支配的，而問題在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。”恩格斯,偶然事件（隨機事件）的概率就是隨機事件隱蔽著的規(guī)律。,隨機現(xiàn)象是概率論的研究對象，概率論是統(tǒng)計推論的理論（數(shù)學(xué)）基礎(chǔ)，概率是統(tǒng)計推論的依據(jù)。統(tǒng)計推論的所有數(shù)學(xué)表都是以概率為基礎(chǔ)的。,二、概率,隨機事件,（例子）,：,誕生的嬰兒將是男孩；,某人將活到80歲以上；,明年報考公務(wù)員的人數(shù)將超過200萬人；,明天將下雨；,隨機事件：對隨機現(xiàn)象進行的觀察或試驗稱為隨機試驗。在一定條件下所進行的隨機試驗中，可能發(fā)生或可能不發(fā)生的

5、事情稱為隨機事件。通常用大寫字母A、B、C等來表示。,隨機事件有兩種極端情況：,必然事件：如拋擲一枚在硬幣若無支撐落于地上；,不可能事件：如拋擲一枚硬幣懸于空中。,日常生活中，人們常用“比較級”來表示隨機事件發(fā)生可能性的大小，例如：,某生明年,不可能,考上大學(xué)；,某生明年,可能,考上大學(xué)；,某生明年,很可能,考上大學(xué)；,概率,就是隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量表示。,概率的表達實質(zhì)和這些“比較級”是一樣的，只是更為精確。,下面是一些試驗者（著名數(shù)學(xué)家）所做試驗的記錄,試驗者 投擲總次數(shù)n 出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)m（頻數(shù)）頻率=m/n,狄摩根 2048 1061 0.518,布豐 4040 2048

6、0.5069,皮爾遜 12000 6019 0.5016,皮爾遜 24000 12012 0.5005,2、隨機事件的概率,在一組不變的條件S下，重復(fù)做n次試驗，m為在n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。當n很大時，事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附件擺動，并且隨著試驗次數(shù)n的增加，其擺動幅度會越來越小，則事件A稱為隨機事件，并把數(shù)值p稱為隨機事件A發(fā)生的概率，記作：P(A)=p,概率的取值范圍（0，1）,不可能發(fā)生的事件，稱為不可能事件，概率p=0;,一定發(fā)生的事件，稱為必然事件，概率p=1;,一般的隨機事件，發(fā)生的可能性處于“必然”與“不可能”之間，發(fā)生的概率為：,0P(A)1,概率值越大

7、，這一事件發(fā)生的可能性越大,。,另外，如果記 為事件A的逆事件，表示“事件A不發(fā)生”，那么P(A)+P()=1。,三、概率的計算方法,1、頻率法,在相同條件下進行N次實驗或觀察，隨機事件A出現(xiàn)的次數(shù)為n，頻次n與實驗次數(shù)N的比值n/N，稱作N次實驗或觀察中事件A的頻率，即這一事件出現(xiàn)的概率,2、古典概率類型,在古典概率類型問題中，所有可能的試驗結(jié)果是有限的，即試驗的基本事件數(shù)是有限的，并且，所有這些基本事件都是等可能的。,若事件組 滿足下面三個條件，則稱該事件為等可能完備事件組。,（1）發(fā)生的機會相同（等可能性）；,（2）在任何一次試驗中，至少有一個發(fā)生（完備性）；,（3）在任何一次試驗中，最

8、多只有一個發(fā)生（互不相容性）。,所謂古典概率：若 是一個等可能完備事件組，而事件A由其中的某m個基本事件所構(gòu)成，則大量實踐經(jīng)驗表明，事件A發(fā)生的概率為：,P(A)=m/n,例題1：,拋擲一個骰子一次，問出現(xiàn)5點的概率是多少？出現(xiàn)奇數(shù)點的概率是多少？,例題2,一個袋子中裝有3白2黑共5個同樣大小的塑料球。,(1)從中任取一個，取到白球的概率是多少？,(2)任取兩球，全是白球的概率是多少？,復(fù)習(xí)：組合,一般來說，從n個不同元素中，任取m（mn)個元素編成一組，稱為從n個不同元素中每次取m個元素的一個組合，這些組合的種數(shù)記作,n!表示n的階乘，,n!=n(n-1)(n-2)3 2 1,復(fù)習(xí)：排列,一

9、般來說，從n個不同元素中，任取m（mn)個元素按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中每次取m個元素的一個排列，這些排列的種數(shù)記作,n!表示n的階乘,，,n!=n(n-1)(n-2)3 2 1,排列和組合的區(qū)別,有順序排列；,無順序組合；,兩者的聯(lián)系：,四、概率的加法運算,1、特殊情況,若事件A與事件B互不相容（互斥），即兩件事情不可能同時發(fā)生，那么事件A或事件B發(fā)生的概率等于兩事件單獨發(fā)生概率之和：,P(A+B)=P(A)+P(B),例3：拋擲骰子一次，若事件A表示出現(xiàn)5點的情況，事件B表示出現(xiàn)6點的情況。那么，拋擲骰子一次，出現(xiàn)5點或6點的概率為：,例4：某年級共有學(xué)生100名，其中來

10、自廣東省的有25名，來自廣西省的有10名，問任抽一名，來自兩廣的概率是多少？,2、一般情況,對于,任意,兩個事件A和B，滿足事件A和事件B互不相容，則事件“A+B”的概率為事件A的概率與事件B的概率之和減去事件A與事件B同時發(fā)生的概率,公式為：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),例題5：,為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生父親具有大學(xué)文化程度的占25%，母親具有大學(xué)文化程度的占18%，而父母雙方都具有大學(xué)文化的占10%，問學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？,例6：,若事件A表示拋擲骰子一次，出現(xiàn)偶數(shù)點的情況，事件B表示出現(xiàn)的點數(shù)大于3

11、的情況。請問，拋擲骰子一次，出現(xiàn)偶數(shù)點或點數(shù)大于3的概率為：,四、概率的乘法定理,1、特殊情況,若事件A與事件B,相互獨立,，即事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，同時事件B的發(fā)生也不影響事件B的發(fā)生，那么事件A和事件B同時發(fā)生的概率為：,P(AB)=P(A)P(B),推論：,例7：拋擲一枚硬幣10次，求10次都正面朝上的概率。,2、一般情況,對于任意兩個事件A和B，乘法公式為：,P(AB)=P(A)P(B/A),P(B/A)又稱為條件概率，表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。,例8：盒中裝有16個球，其中6個為玻璃球，剩下10個為木質(zhì)球。而玻璃球中有2個是紅色的，4個是藍色的；木質(zhì)球中有3

12、個是紅色的，7個是藍色的。現(xiàn)從中任取1個，問得到,藍色玻璃球,的概率是多少？,概率在日常生活中運用的例子:,1.你結(jié)交了一位新朋友,問她是否有孩子.她說有兩個.你問,有女孩吧?她說有.那么兩個孩子都是女孩的概率是多少?,2.你結(jié)交了一位新朋友,問她是否有孩子.她說有兩個.你問大的是女孩吧?她說是.那么兩個孩子都是女孩的概率是多少?,五、概率與二項分布,1、概率分布,概率分布是指對隨機變量取不同值時的概率的描述,一般用概率分布函數(shù)進行描 述.,2.離散型變量與連續(xù)型變量,根據(jù)隨機變量的類型,可以分為：,離散型變量：隨機變量只能取特定的數(shù)值（,一般是整數(shù),）。(如家庭成員數(shù);硬幣正面朝上的次數(shù)等)

13、,連續(xù)型變量：變量在兩個數(shù)值界限之間可以取任何數(shù)值。（如雨量、射擊的距離、身高、體重等。）,(1)離散型隨機變量的概率分布,.,設(shè)離散型隨機變量 的一切可能值為,且對應(yīng)于 ,有,則上式稱為隨機變量X的概率分布或概率函數(shù),通常也可以表示為:,x,X1 x2 x3 xn .,p,P1 p2 p3 pn .,即每個概率值在0與1之間,即所有變量對應(yīng)的概率值之和等于1.,概率分布與頻率分布的區(qū)別,概率分布是基于理論而建立起的分布，是理論分布；頻率分布是隨機變量的統(tǒng)計分布，是一次隨機試驗的結(jié)果。,當試驗次數(shù)很大，頻率分布會越來越接近概率分布。,(2)連續(xù)型隨機變量的概率分布,對于隨機變量X，如果存在一個

14、非負的可積函數(shù)f(x)(-x+),使對任意的a、b都有(ab)都有:,則稱隨機變量X具有連續(xù)型的分布,并稱f(x)為概率密度函數(shù)或密度.,3.二項分布,二項分布是一種具有廣泛用途的離散型隨機變量的概率分布,它是由貝努里創(chuàng)始的,因此又稱為貝努里分布.,(1)二項試驗的概率公式,一個二項實驗是一個滿足如下條件的實驗:,第一.實驗由確定的試驗數(shù)所組成;,第二.每個試驗只有兩個可能的結(jié)果,通常稱為”成功”和”失敗”;,第三.任一試驗的結(jié)果獨立于任何其他試驗結(jié)果;,第四.在各次實驗中,”成功”的概率和”失敗”的概率都是固定的常數(shù),并且他們的和等于1.,對于一個二項實驗,設(shè)在單次試驗中,事件A發(fā)生(成功)

15、的概率為P,事件A不發(fā)生(失敗)的概率為q,即,且 ,則在n次試驗中事件A恰 好發(fā)生m次的概率為 的二項展開式中當P的指數(shù)是m的那一項,即,例題:,拋擲一枚骰子20次,則恰好出現(xiàn)7次”6點”的概率.,解:這是一個二項實驗,依題意,此時,因此,20次中恰好出現(xiàn)7次6點的概率為:,如果單次試驗中,事件成功與失敗的概率相等,即 則上述二項實驗的概率公式可簡化為:,例題:拋擲一枚硬幣10次,求,(1)10次都正面朝上的概率;(2)4次正面朝上的概率;(3)8次都正面朝上的概率.,(2),二項分布(binomial distribution),依據(jù)上面的二項實驗的概率公式,可以將n次試驗中事件成功的所有可能情況(從0次成功一直到n次成功)的概率都求出來,這樣就得到了一個二項分布.此時 隨機變量X概率分布為:,二項分布是一個典型的離散型概論分布,因為此時隨機變量X的取值只能是孤立的離散的自然數(shù):0,1,2.當 時,二項分布是對稱的;當 時,二項分布是不對稱的,但當n越來越大時,不對稱性逐漸不明顯,即當 時,該分布也趨于對稱,并且,當 時,整個二項分布趨于正態(tài)分布.另外,二項分布的數(shù)學(xué)期望 ,方差,