考點(diǎn)33空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

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1、圓學(xué)子夢想 鑄金字品牌 溫馨提示： 此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 考點(diǎn)33 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積 一、選擇題 1. （2013新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科Ｔ9）與(2013新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科T7)相同 一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到正視圖可以為　(　　) 【解析】選A.由題意可知,該四面體為正四面體,其中一個頂點(diǎn)在坐

2、標(biāo)原點(diǎn),另外三個頂點(diǎn)分別在三個坐標(biāo)平面內(nèi),所以以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為選項A中的圖. 2. （2013山東高考文科Ｔ4）一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正（主）視圖如圖所示，該四棱錐側(cè)面積和體積分別是（ ） A. B. C. D. 8,8 【解題指南】本題考查空間幾何體的三視圖及表面積和體積公式. 【解析】選B.由圖知，此棱錐高為2，底面正方形的邊長為2，,側(cè)面積需要計算側(cè)面三角形的高，. 3.（2013廣東高考文科Ｔ6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是（ ） A． B．

3、 C． D． 【解題指南】本題考查空間想象能力，要能由三視圖還原出幾何體的形狀. 【解析】選D. 由三視圖判斷底面為等腰直角三角形，三棱錐的高為2， 則. 4. （2013廣東高考理科Ｔ5）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（ ） A．4 B． C． D．6 【解題指南】本題考查空間想象能力與臺體體積公式，應(yīng)首先還原出臺體形狀再計算. 【解析】選B. 四棱臺的上下底面均為正方形，兩底面邊長和高分別為，. 5. （2013遼寧高考文科Ｔ10）與（2013遼寧高考理科Ｔ10）相同已知三棱柱的

4、6個頂點(diǎn)都在球的球面上，若，則球的半徑為（ ） 【解題指南】對于某些簡單組合體的相接問題，通過作出截面，使得有關(guān)的元素間的數(shù)量關(guān)系相對集中在某個平面圖形中。 【解析】選C.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過球心和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形，其外接圓的圓心為其斜邊BC的中點(diǎn)，連接,由勾股定理， 其中,所以球的半徑為 6. （2013重慶高考理科Ｔ5）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 【解題指南】直接根據(jù)三視圖還原成原來的幾何體,然后再根據(jù)體積公式求解. 【解析】選C

5、.由三視圖可知,該幾何體為一個放倒的四棱柱,底面為梯形,由三視圖可知該四棱柱的底面積為.高為.故體積為 7. （2013湖南高考理科Ｔ7）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于（ ） A． B． C． D． 【解題指南】由俯視圖可知該正方體是水平放置的,則正視圖有許多種可能,但最小面應(yīng)是一個側(cè)面,最大面應(yīng)是一個垂直于水平面的對角面. 【解析】選C.由于俯視圖是一個面積為1的正方形,所以正方體是平放在水平面上,所以正視圖最小面積是一個側(cè)面的面積為1,最大面積為一個對角面的面積為，

6、而＜1，所以答案C不正確. 8. （2013重慶高考文科Ｔ8）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 【解題指南】根據(jù)三視圖可還原原來的幾何體,然后求出該幾何體的表面積. 【解析】選D.由三視圖可知該幾何體為底面為梯形的直四棱柱. 底面積為,由三視圖知,梯形的腰為,梯形的周長為,所以四棱柱的側(cè)面積為.表面積為. 9. （2013新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ6）如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為

7、　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】結(jié)合截面圖形,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程,求出球半徑,再利用求出球的體積. 【解析】選A. 設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知， ,解得 ，所以球的體積. 10.(2013浙江高考文科T5)已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是　(　　) A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3 D.84cm3 【解題指南】根據(jù)幾何體的三視圖,還原成幾何體,再求體積. 【解析】選B.由三視圖可知原幾何體如圖所示, 所以. 11. （

8、2013湖南高考文科Ｔ7）已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于（ ） A． B.1 C. D. 【解題指南】根據(jù)面積關(guān)系得出，側(cè)視圖就是正方體的一個對角面，則正視圖也是一個對角面 【解析】選D，根據(jù)條件得知正視圖和側(cè)視圖一樣，是正方體的一個對角面，故面積相等 12.（2013四川高考理科Ｔ3）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ） 【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖，在判斷時要結(jié)合三種視圖進(jìn)行判斷，特別要注意虛

9、線的標(biāo)注. 【解析】選D.根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致，并且俯視圖是兩個圓，可知只有選項D合適，故選D. 13.（2013四川高考文科Ｔ2）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（ ） A棱柱 B棱臺 C圓柱 D圓臺 【解題指南】本題考查的是幾何體的三視圖，在判斷時要結(jié)合三種視圖進(jìn)行判斷. 【解析】選D，根據(jù)幾何體的三視圖中正視圖與側(cè)視圖一致且為梯形，并且俯視圖是兩個圓，可知只有選項D合適，故選D. 14. （2013湖北高考理科Ｔ8）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成

10、，其體積分別記為V1， V2， V3，V4，若上面兩個幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有（ ） A. V1 ＜V2＜V4 ＜V3 B. V1 ＜V3＜V2＜V4 C. V2＜V1＜V3＜V4 D. V2＜V3 ＜V1＜V4 【解題指南】計算的大小，然后作比較. 【解析】選C. 從而. 15.（2013江西高考文科Ｔ8）一幾何體的三視圖如右所示，則該幾何體的體積為（ ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 【解題指南】觀察三視圖得出幾何體的

11、結(jié)構(gòu)特征，再代入體積公式進(jìn)行計算. 【解析】選A.由三視圖知該幾何體是一個組合體，上部是半圓柱，底面半徑為3，高為2；下部為長方體，長、寬、高分別為10,4,5.所以此幾何體的體積為=. 16. （2013新課標(biāo)Ⅰ高考文科Ｔ11）與（2013新課標(biāo)Ⅰ高考理科Ｔ8）相同 某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為　(　　) A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 【解題指南】觀察三視圖，根據(jù)三視圖確定幾何體的構(gòu)成，利用圓柱及長方體的體積公式求解. 【解析】選A.由三視圖可知,該幾何

12、體是一個長方體和一個半圓柱組成的幾何體, 所以體積為π224+224=16+8π. 二、填空題 17. （2013遼寧高考文科Ｔ13）與（2013遼寧高考理科Ｔ13）相同某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_______. 【解題指南】由三視圖知該幾何體是一個簡單的組合體，一個圓柱的內(nèi)部被挖去一個長方體。 【解析】圓柱的底面半徑為2，母線長4，其體積 被挖去一個底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長4的長方體，其體積故該幾何體的體積是 【答案】 18.（2013新課標(biāo)Ⅰ高考文科Ｔ15）已知H是球的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB=1:2,AB⊥平面，H為垂足，截球所得截面的

13、面積為π，則球的表面積為_______. 【解析】因為截球所得截面的面積為π，所以截面的半徑為.設(shè)球的半徑為,則,,由勾股定理得,解得.所以球的表面積為. 【答案】. 19. （2013大綱版全國卷高考文科Ｔ16）與（2013大綱版全國卷高考理科Ｔ16）相同 已知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長等于球的半徑，則球的表面積等于 . 【解題指南】解決本題要明確球大圓是指球的切面過圓心的圓.根據(jù)題意畫出圖形，確定圓與圓所在平面的二面角，構(gòu)造直角三角形求出半徑長. 【解析】如圖， 設(shè)公共弦,為的中點(diǎn)，則， 為圓與圓所在平面的二面角. 所以，又為等邊三角形， 所以.又

14、因為,， 所以，即. 解得，所以. 【答案】 20. （2013天津高考文科Ｔ10）已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長為 . 【解題指南】先根據(jù)球的體積求出半徑，再根據(jù)球的直徑與其內(nèi)接正方體對角線的相等關(guān)系求其棱長. 【解析】設(shè)球半徑為R，因為球的體積為，所以R=，又由球的直徑與其內(nèi)接正方體對角線的相等知正方體的對角線長為3，故其棱長為. 【答案】 21.(2013浙江高考理科T12)若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于　　　　cm3. 【解題指南】先由三視圖,畫出幾何體,再根據(jù)幾何體求解. 【

15、解析】由三視圖可知原幾何體如圖所示, 所以 . 【答案】24 22.（2013上海高考理科T13）在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試?yán)米鏁溤?、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為__________ 【解析】根據(jù)提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為． 【答案】 23.（2013上海高考文科T10）已知圓柱的母線長為l，底面半徑為r,

16、O是上底面圓心，A、B是下底面圓周上的兩個不同的點(diǎn)，BC是母線，如圖.若直線OA與BC所成角的大小為，則= . 【解析】 【答案】 24.(2013江蘇高考數(shù)學(xué)科T8)如圖,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1∶V2=　　　　. 【解析】設(shè)三棱柱的底面ABC的面積為S,高為h,則其體積為V2=Sh.因為D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以△ADE的面積等于 ,又因為F為AA1的中點(diǎn),所以三棱錐F-ADE的高等于,于是三棱錐F-ADE的體積 ,故V1∶V2=1∶

17、24. 【答案】1∶24 25. (2013福建高考理科T12)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為2的正方形,則該球的表面積是　　　　　　　　. 【解題指南】如果考球,我們只要清楚一個結(jié)論,外接球的直徑就是長方體的對角線. 【解析】球是棱長為2的正方體的外接球,則球的直徑,所以球的表面積為S=4πR2=πd2=12π. 【答案】12π 26.(2013北京高考理科T14)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為　　　　.

18、【解析】如圖， 過P作PH垂直上底面A1B1C1D1,過E作EE1垂直上底面A1B1C1D1,E1在線段B1C1上,P到線段CC1的距離為HC1.當(dāng)點(diǎn)P在線段ED1上運(yùn)動時,P到直線CC1距離的最小值為C1到線段D1E1的高,所以最小值就是△C1D1E1的高. 【答案】 27. （2013新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科Ｔ15）已知正四棱錐的體積為，底面邊長為，則以為球心，為半徑的球的表面積為________。 【解題指南】利用正四棱椎的性質(zhì)，求得OA的長，即可得球的表面積. 【解析】設(shè)正四棱錐的高為，則，解得高，則底面正方形的對角線長為，所以,所以球的表面積為. 【答案】 28.（2

19、013陜西高考理科Ｔ12）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為 . 【解題指南】根據(jù)空間幾何體的三視圖推導(dǎo)出該幾何體為半個圓錐，代入圓錐的體積公式求解. 【解析】立體圖為半個圓錐體，底面是半徑為1的半圓，高為2。所以體積 【答案】. 29. （2013陜西高考文科Ｔ12）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為 . 【解題指南】根據(jù)空間幾何體的三視圖推導(dǎo)出該幾何體為半個球體，代入球的表面積公式求解. 【解析】綜合三視圖可知，立體圖是一個半徑r=1的半個球體。其表面積 = 【答案】 30. （2013湖北高考文科Ｔ16）我國古代

20、數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸，則平地降雨量是 　　　　寸. （注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸） 【解題指南】先求出水的體積,再除以天池盆盆口的面積,得出平地降雨量. 【解析】圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，所以降水量為 【答案】3 31.（2013北京高考文科Ｔ10）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為________

21、__. 【解題指南】由三視圖可判斷出此幾何體是底面是正方形，高為1的四棱錐，再代入體積公式求體積。 【解析】此棱錐底面是邊長為3的正方形，高為1，所以體積為。 【答案】3 三、解答題 32. （2013新課標(biāo)Ⅰ高考文科Ｔ19）如圖，三棱柱中，，，. （Ⅰ）證明; （Ⅱ）若AB=CB=2, A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積 【解題指南】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，利用線面垂直證明線線垂直； （Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積，先確定線面垂直，找到三棱柱的高. 【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，. 因為，所以. 由于，，故為等邊三角形， 所以. 因為，

22、所以面. 又平面，故. （Ⅱ）由題設(shè)知與都是邊長為的等邊三角形，所以，又，則，故. 因為，所以面,為三棱柱的高. 又，故三棱柱的體積. 33.（2013上海高考文科T19）如圖，正三棱錐O-ABC的底面邊長為2，高為1，求該三棱錐的體積及表面積。 【解析】由已知條件可知,正三棱錐O-ABC的底面△ABC是邊長為2的正三角形,經(jīng)計算得底面△ABC的面積為.所以該三棱錐的體積為1=. 設(shè)O是正三角形ABC的中心.由正三棱錐的性質(zhì)可知,OO⊥平面ABC. 延長AO交BC于D,連接OD,得AD=,OD=. 又因為OO=1,所以正三棱錐的斜高OD=. 故側(cè)面積為32=2. 所以

23、該三棱錐的表面積為+2=3, 因此,所求三棱錐的體積為,表面積為3. 34.(2013福建高考文科T18) 如圖,在四棱柱PABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60. (1)當(dāng)正視方向與向量的方向相同時,畫出四棱錐PABCD的正視圖(要求標(biāo)出尺寸,并寫出演算過程). (2)若M為PA的中點(diǎn),求證DM∥平面PBC. (3)求三棱錐DPBC的體積. 【解題指南】先求出各棱長,畫正視圖時,先投射底面,然后連結(jié)P的投影即可;結(jié)合中點(diǎn)找中位線,證明線面平行;求體積時,要注意表達(dá),要說明哪個線段是高. 【解析】方法一:(1)

24、在梯形ABCD中,過點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E, 由已知得,四邊形ADCE為矩形,AE=CD=3, 在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得: BE=3,從而AB=6.又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD, 從而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60, 得PD=.正視圖如圖所示: (2)取PB中點(diǎn)N,連結(jié)MN,CN, 在△PAB中,M是PA中點(diǎn), 所以MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3, 所以MN∥CD,MN=CD, 所以四邊形MNCD為平行四邊形,所以DM∥CN. 又因為DM?平面PBC,CN?平面PBC, 所以DM∥

25、平面PBC. (3)VDPBC=VPDBC=S△DBCPD, 又因為S△DBC=6,PD=,所以VDPBC=. 方法二:(1)同方法一 (2)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)ME,DE, (2)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)ME,DE, 在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD, 所以四邊形BCDE為平行四邊形, 所以DE∥BC,又DE?平面PBC,BC?平面PBC, 所以DE∥平面PBC. 在△PAB中,ME∥PB, ME?平面PBC,PB?平面PBC, 所以ME∥平面PBC.又因為DE∩ME=E, 所以平面DME∥平面PBC,又因為DM?平面DME, 所以DM∥平面PBC. (3)同方法一. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊。 - 21 -