高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題6 突破點16 函數(shù)的圖象和性質(zhì)用書 理-人教高三數(shù)學試題

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1、專題六　函數(shù)與導數(shù) 　　　　　　　　建知識網(wǎng)絡　明內(nèi)在聯(lián)系　　 　 高考點撥]　函數(shù)與導數(shù)專題是歷年高考的“常青樹”，在高考中常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn)，其中兩小題中的一小題難度偏低，另一小題與一大題常在選擇題與解答題的壓軸題的位置呈現(xiàn)，命題角度多樣，形式多變，能充分體現(xiàn)學以致用的考查目的，深受命題人的喜愛．結(jié)合典型考題的研究，本專題將從“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”“函數(shù)與方程”“導數(shù)的應用”三大方面著手分析，引領考生高效備考． 突破點16　函數(shù)的圖象和性質(zhì) 提煉1 函數(shù)的奇偶性 (1)若函數(shù)y＝f(x)為奇(偶)函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))． (

2、2)奇函數(shù)y＝f(x)若在x＝0處有意義，則必有f(0)＝0. (3)判斷函數(shù)的奇偶性需注意：一是判斷定義域是否關于原點對稱；二是若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先化簡；三是判斷f(－x)＝－f(x)，還是f(－x)＝f(x)，有時需用其等價形式f(－x)±f(x)＝0來判斷． (4)奇函數(shù)的圖象關于原點成中心對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱． (5)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反. 提煉2 函數(shù)的周期性 (1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(x－a)(a≠0)，則函數(shù)y＝f(x)是以2|a|為周期的周期性函數(shù)． (2)若奇

3、函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，則函數(shù)y＝f(x)是以4|a|為周期的周期性函數(shù)． (3)若偶函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，則函數(shù)y＝f(x)是以2|a|為周期的周期性函數(shù)． (4)若f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)y＝f(x)是以2|a|為周期的周期性函數(shù)． (5)若y＝f(x)的圖象關于直線x＝a，x＝b(a≠b)對稱，則函數(shù)y＝f(x)是以2|b－a|為周期的周期性函數(shù). 提煉3 函數(shù)的圖象 (1)由解析式確定函數(shù)圖象．此類問題往往需要化簡函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、過定點等)判斷，常用排除法．

4、 (2)已知函數(shù)圖象確定相關函數(shù)的圖象．此類問題主要考查函數(shù)圖象的變換(如平移變換、對稱變換等)，要注意函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互關系． (3)借助動點探究函數(shù)圖象．解決此類問題可以根據(jù)已知條件求出函數(shù)解析式后再判斷函數(shù)的圖象；也可采用“以靜觀動”，即將動點處于某些特殊的位置處考察圖象的變化特征，從而作出選擇． 回訪1　函數(shù)的奇偶性與周期性 1．(2014·全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函

5、數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) C　A：令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(huán)(x)， ∴h(x)是奇函數(shù)，A錯． B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，B錯． C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，C正確． D：令h(x)＝|f(x)·g

6、(x)|，則h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)， ∴h(x)是偶函數(shù)，D錯．] 2．(2014·全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． (－1,3)　∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在0，＋∞)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示， 由f(x－1)>0，得－2

7、，且f(－2)＋f(－4)＝1，則a＝(　　) A．－1　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．4 C　設(x，y)為y＝f(x)圖象上任意一點， 則(－y，－x)在y＝2x＋a的圖象上， 所以有－x＝2－y＋a， 從而有－y＋a＝log2(－x)(指數(shù)式與對數(shù)式的互化)， 所以y＝a－log2(－x)， 即f(x)＝a－log2(－x)， 所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.故選C.] 4．(2016·浙江高考)函數(shù)y＝sin x2的圖象是(　　) D　∵y＝sin(－x)2＝sin x2，

8、 ∴函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A項和C項；當x＝時，sin x2＝sin ≠1，排除B項，故選D.] 熱點題型1　函數(shù)圖象的判斷與應用 題型分析：函數(shù)的圖象是近幾年高考的熱點內(nèi)容，主要有函數(shù)圖象的判斷和函數(shù)圖象的應用兩種題型. 　(1)(2016·全國乙卷)函數(shù)y＝2x2－e|x|在－2,2]的圖象大致為(　　) (2)(2016·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則 (xi＋yi)＝(　　) A．0　　　 B．m　　　　 C．2m　　　 D．4m (1)D　

9、(2)B　(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈－2,2]是偶函數(shù)， 又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B. 設g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex. 又g′(0)＜0，g′(2)＞0， ∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，排除C.故選D. (2)因為f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因為＝0，＝1，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(0,1)對稱．函數(shù)y＝＝1＋，故其圖象也關于點(0,1)對稱．所以函數(shù)y＝與y＝f(x)圖象的交點(x1，y1)，(x2，y2)，…，

10、(xm，ym)成對出現(xiàn)，且每一對均關于點(0,1)對稱，所以xi＝0，yi＝2×＝m，所以 (xi＋yi)＝m.] 函數(shù)圖象的判斷方法 1．根據(jù)函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，根據(jù)函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置． 2．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢． 3．根據(jù)函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性． 4．根據(jù)函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復． 5．取特殊值代入，進行檢驗． 變式訓練1]　(1)(2016·濟南模擬)函數(shù)y＝(－π≤x≤π)的大致圖象為(　　) 【導學號：85952058】 A．　　　　　　　　　　　　　 B. C．　　　　　　　　　　　　　 D.

11、(2)(2016·石家莊二模)如圖16-1，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　) 圖16-1 A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} (1)A　(2)C　(1)令f(x)＝，則f(－x)＝＝－＝－f(x)，即函數(shù)的圖象關于原點對稱，排除選項C，D； 當x＝時，f＝>0，排除選項B.故選A. (2)令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)圖象如圖． 由得 ∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}．] 熱點題型2　函

12、數(shù)性質(zhì)的綜合應用 題型分析：函數(shù)性質(zhì)的綜合應用是高考的熱點內(nèi)容，解決此類問題時，性質(zhì)的判斷是關鍵，應用是難點. 　(1)(2015·全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　) A. B.∪(1，＋∞) C. D.∪ (2)設奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，滿足對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈時，f(x)＝－x2，則f(3)＋f的值等于________． (1)A　(2)－　(1)法一：∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)． ∵當x≥0時，f(x)＝ln(1＋x)－，

13、 在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)遞增，y＝－也遞增， 根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)知，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 綜上可知：f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)?|x|>|2x－1|?x2>(2x－1)2?3x2－4x＋1<0?0， ∴x＝0不滿足f(x)>f(2x－1)，故C錯誤． 令x＝2，此時f(x)＝f(2)＝ln 3－，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－， 其中l(wèi)n 3

14、 4，∴l(xiāng)n 3－ln 4－<0，∴f(2)－f(3)<0， 即f(2)f(2x－1)， 故B，D錯誤．故選A. (2)根據(jù)對任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，進而得到 f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－－f(t)]＝f(t)，得函數(shù)y＝f(x)的一個周期為2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f＝f＝－.所以f(3)＋f＝0＋＝－.] 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用類型 1．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意奇、偶函數(shù)圖象的對稱性，以及奇、偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性的關系．

15、 2．周期性與奇偶性的綜合．此類問題多為求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 3．單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解． 變式訓練2]　(1)(2016·長春二模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在0，＋∞)上是增函數(shù)，則不等式＜f(1)的解集為(　　) 【導學號：85952059】 A. B．(0，e) C. D．(e，＋∞) (2)(2016·江西師大附中二模)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，?x∈R，f(x－1)＝f(x＋

16、1)成立，當x∈(0,1)且x1≠x2時，有＜0.給出下列命題： ①f(1)＝0； ②f(x)在－2,2]上有5個零點； ③點(2 014,0)是函數(shù)y＝f(x)圖象的一個對稱中心； ④直線x＝2 014是函數(shù)y＝f(x)圖象的一條對稱軸． 則正確命題的序號是________． (1)C　(2)①②③　(1)∵f(x)為R上的奇函數(shù)，則f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，∴＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化為|f(ln x)|＜f(1)，∴－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上單調(diào)遞增，∴－1＜ln x＜1，解得＜x＜e，故選C. (2)令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0， 得f(－1)＝f(1)． ∵f(－1)＝－f(1)， ∴2f(1)＝0， ∴f(1)＝0，故①正確； 由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)， ∴f(x)是周期為2的周期函數(shù)， ∴f(2)＝f(0)＝0， 又當x∈(0,1)且x1≠x2時，有＜0， ∴函數(shù)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，可作函數(shù)的簡圖如圖： 由圖知②③正確，④不正確，∴正確命題的序號為①②③.]