高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點9 隨機(jī)變量及其分布 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

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1、突破點9　隨機(jī)變量及其分布 提煉1 離散型隨機(jī)變量的分布列 離散型隨機(jī)變量X的分布列如下： X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 則(1)pi≥0. (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)． (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望)． D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做隨機(jī)變量X的方差． (4)均值與方差的性質(zhì) ①

2、E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實數(shù))． (5) 兩點分布與二項分布的均值、方差 ①若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 提煉2 幾種常見概率的計算 (1)條件概率 在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為P(B|A)＝＝. (2)相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． (3)獨立重復(fù)試驗的概率 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，

3、…，n. 提煉3 正態(tài)分布 (1)若X～N(μ，σ2)，則①P(μ－σμ＋a)． 回訪1　條件概率 1．(2015·全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為(　　) A．0.648　 B．0.432　　 C．0.36　　

4、D．0.312 A　3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.] 2．(2014·全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 A　已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良

5、的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝＝0.8.] 回訪2　正態(tài)分布 3．(2012·全國卷) 圖9-1 某一部件由三個電子元件按如圖9-1所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為________． 　設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝， ∴該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為(A＋B＋AB)C， ∴該部件的使用壽命

6、超過1 000小時的概率 P＝×＝.] 回訪3　隨機(jī)變量的分布列、期望、方差 4．(2016·全國乙卷)某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 圖9-2 以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)．

7、(1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？ 解]　(1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.1分 從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2

8、×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.3分 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 4分 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，7分 故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)． 當(dāng)n＝19時， E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×

9、200＋3×500)×0.04＝4 040；9分 當(dāng)n＝20時， E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.11分 可知當(dāng)n＝19時所需費用的期望值小于當(dāng)n＝20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n＝19.12分 熱點題型1　相互獨立事件的概率與條件概率 題型分析：高考對條件概率的考查，主要體現(xiàn)在對條件概率的了解層次，難度較小，對事件相互獨立性的考查相對較頻繁，難度中等. 　(1)(2016·山西考前模擬)某同學(xué)用計算器產(chǎn)生了兩個0,1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)，分別記作x，y.當(dāng)y的概率是(　　)

10、【導(dǎo)學(xué)號：85952034】 A.　　　　　　　 B. C. D. (2)如圖9-3，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999. 圖9-3 ①求p； ②求電流能在M與N之間通過的概率． (1)D　記“y”為事件B，所以(x，y)構(gòu)成的區(qū)域如圖所示，所以S1＝∫0x2dx＝x30＝，S2＝x2dx－S1＝x3－＝，則所求概率為＝＝＝，故選D.] (2)記Ai表示事件：電流

11、能通過Ti，i＝1,2,3,4，A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流， B表示事件：電流能在M與N之間通過． ①＝123，1，2，3相互獨立，2分 P()＝P(123) ＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3.3分 又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，4分 故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.6分 ②B＝A4∪4A1A3∪41A2A3，8分 P(B)＝P(A4∪4A1A3∪41A2A3) ＝P(A4)＋P(4A1A3)＋P(41A2A3) ＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)P(A3) ＝0.9＋0.1

12、×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.989 1.12分 1．解決條件概率的關(guān)鍵是明確“既定條件”． 2．求相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率的方法 (1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或獨立重復(fù)試驗問題，然后用相應(yīng)概率公式求解． (2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進(jìn)行求解．對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解． 變式訓(xùn)練1]　(2016·全國甲卷)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其

13、上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出 險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 解]　(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，

14、則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.2分 (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.4分 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為.6分 (3)記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 9分 E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋

15、1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.11分 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23.12分 熱點題型2　離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差 題型分析：離散型隨機(jī)變量的分布列問題是高考的熱點，常以實際生活為背景，涉及事件的相互獨立性、互斥事件的概率等，綜合性強(qiáng)，難度中等. 　(名師押題)第31屆夏季奧林匹克運動會已于2016年8月5日—21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行完畢．下表是近六屆奧運會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位：枚). 第31屆巴西 第30屆倫敦 第29屆北京 第28屆雅典 第2

16、7屆悉尼 第26屆亞特蘭大 中國 26 38 51 32 28 16 俄羅斯 19 24 23 27 32 26 (1)根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運會兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度(不要求計算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可)； (2)甲、乙、丙三人競猜下屆中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)中的哪一個獲得的金牌數(shù)多(假設(shè)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不會相等)，規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個代表團(tuán)中選一個，已知甲、乙猜中國代表團(tuán)的概率都為，丙猜中國代表團(tuán)的概率為，三人各自猜哪個代表團(tuán)互不影響．現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國

17、代表團(tuán)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． 解]　(1)兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下： 通過莖葉圖可以看出，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)比較分散.6分 (2)X的可能取值為0,1,2,3，設(shè)事件A，B，C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團(tuán)，則P(X＝0)＝P()·P()·P()＝2×＝，7分 P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝C×××＋2×＝，8分 P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝2×＋C×××＝，9分 P(X＝3)＝P(A)·P(B)·

18、P(C)＝2×＝.10分 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 11分 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.12分 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路： (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值． (2)結(jié)合事件特點選取恰當(dāng)?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 提醒：明確離散型隨機(jī)變量的取值及事件間的相互關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練2]　(2016·益陽模擬)某工廠有兩條相互不影響的生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品出廠前需要對產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測．檢測得分低于80的為不合格品，只能報廢回收；得分

19、不低于80的為合格品，可以出廠，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種產(chǎn)品各60件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下： 得分 60,70) 70,80) 80,90) 90,100] 甲種產(chǎn)品的件數(shù) 5 10 34 11 乙種產(chǎn)品的件數(shù) 8 12 31 9 (1)試分別估計甲、乙兩種產(chǎn)品下生產(chǎn)線時為合格品的概率； (2)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品則虧損20元；生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品則虧損15元．在(1)的前提下： ①記X為生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品和1件乙種產(chǎn)品所獲得的總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； ②求生產(chǎn)5件乙種產(chǎn)品所獲

20、得的利潤不少于300元的概率． 解]　(1)甲種產(chǎn)品為合格品的概率約為＝，乙種產(chǎn)品為合格品的概率約為＝.2分 (2)①隨機(jī)變量X的所有取值為190,85,70，－35， 且P(X＝190)＝×＝，P(X＝85)＝×＝，P(X＝70)＝×＝，P(X＝－35)＝×＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 190 85 70 －35 P 6分 所以E(X)＝＋＋－＝125.8分 ②設(shè)生產(chǎn)的5件乙種產(chǎn)品中合格品有n件，則不合格品有(5－n)件， 依題意得，90n－15(5－n)≥300，解得n≥，取n＝4或n＝5， 設(shè)“生產(chǎn)5件乙種產(chǎn)品所獲得的利潤不少于300元

21、”為事件A， 則P(A)＝C4＋5＝.12分 熱點題型3　正態(tài)分布問題 題型分析：由于正態(tài)分布與頻率分布直方圖有極大的相似性，故在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)適度關(guān)注這一知識間的聯(lián)系，同時對正態(tài)分布的圖象特征給予高度關(guān)注. 　(2014·全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： 圖9-4 (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)； (2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2. ①利用該

22、正態(tài)分布，求P(187.8

23、＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.6分 (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，從而P(187.8

24、化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率． 變式訓(xùn)練3]　(1)設(shè)X～N(1，σ2) ，其正態(tài)分布密度曲線如圖9-5所示，且P(X≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10 000個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為(　　) 圖9-5 (附：隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ3)＝0.023，則P(－3≤ξ≤3)＝________.

25、 (1)B　(2)0.954　(1)由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.022 8， ∴P(－13)＝0.5－0.023＝0.477， ∴P(－3≤ξ≤3)＝2P(0≤ξ≤3)＝2×0.477＝0.954.]