《【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 空間點、直線、平面之間的位置關系課件 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新設計】2011屆高三數(shù)學一輪復習 空間點、直線、平面之間的位置關系課件 北師大版（27頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理)7.2 空 間 點 、 直 線 、 平 面 之 間 的 位 置 關 系 1 平 面 的 基 本 性 質 (1)公 理 1： 如 果 一 條 直 線 上 的兩點在 一 個 平 面 內(nèi) ， 那 么 這 條 直 線 上 所 有 的 點 都 在 這 個 平 面 內(nèi) (即 直 線 在 直 線 內(nèi) ) (2)公理2 ：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 (3)公 理 3 ： 如 果 兩 個 不 重 合 的 平 面 有 一 個 公 共 點 ， 那 么 它 們 有 且 只 有 一 條 過該 點 的 公 共直線 2 空 間 兩 條
2、直 線 的 位 置 關 系(1)公 理 4： 平 行 于 同 一 條 直 線 的 兩 條 直 線 互 相 平 行 (2)定 理 ： 如 果 一 個 角 的 兩 邊 和 另 一 個 角 的 兩 邊 分 別 平 行 且 方 向 相 同 ， 那 么 這兩 角 相 等 (3)異 面 直 線 的 定 義 ： 不 同 在 任 何 一 個 平 面 內(nèi) 的 兩 條 直 線 (4)異 面 直 線 l 1和 l2的 夾 角 ： 當 直 線 l1 與 l2是 異 面 直 線 時 ， 在 直 線 l1上 任 取 點 A作AB l2， 把 直 線 l1和 直 線 AB的 夾 角 叫 做 異 面 直 線 l1 與 l2
3、的 夾 角 ， 已 知 直 線 l1 與l2的 方 向 向 量 分 別 為 s1, s2 ， 當 0 時 ， 直 線 l1 與 l2的 夾 角 等 于 ； 當 時 ， 直 線 l1 與 l2 的 夾 角 等 于 1若三個平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個平面把空間分成() A5部分 B6部分 C7部分 D8部分 答 案 ： C2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中 點那么，正方體的過P、Q、R的截面圖形是() A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形 答 案 ： D 3(2009全 國)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為
4、AA1的 中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為() A. B. C. D. 解 析 ：如圖，連接A1B，則 A1BE即為所求，設AB1， 在A1BE中，A1E1，BE ，A1B . cos A 1BE . 答 案 ： C 4下列各圖是正方體和正四面體，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，過四 個點共面的圖形是_(寫出符合要求序號) 解 析 ： 在選項中，可證Q點所在棱與PRS平行，因此，P、Q、R、S四 點不共面可證中PQRS為梯形；中可證PQRS為平行四邊形；中 如圖取A1A與BC的中點分別為M、N，可證明PMQNRS為平面圖形，且 PMQNRS為正六邊形 答 案 ： 本題型是利用平面
5、的性質證明若干元素(點或直線)共面，常有兩種方法：方法一是根據(jù)公理3或推論確定一個平面，然后再證其他元素也在這個平面內(nèi)；方法二是先根據(jù)公理3或其推論確定出兩個平面，然后再證明這兩個平面重合解決此類問題的方法是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題 【 例 1】 如 圖 ， 已 知 直 線 a、 b、 c、 l滿 足 a b c且 al A， bl B， cl C， 證 明 四 條 直 線 a， b， c， l在 同 一 平 面 內(nèi) 證 明 ： alA，直線a與l確定一個平面，此平面設為；又a b，則a 與b也確定一個平面設為，而平面與平面都過直線a與直線a外一點 B，因此與為同一平面，因此b ，同理
6、可證c ，因此直線a、b、 c、l在同一平面內(nèi). 利用兩平面交線的唯一性，證明諸點在兩平面的交線上是證明空間諸點共線的常用方法證明點共線的方法從另一個角度講也就是證明三線共點的方法證明線共點，基本方法是先確定兩條直線的交點，再證交點在第三條直線上，也可將直線歸結為兩平面的交線，交點歸結為兩平面的公共點，由公理2證明點在直線上 【 例 2】 已 知 空 間 四 邊 形 ABCD中 ， E、 H分 別 是 邊 AB、 AD的 中 點 ， F、 G分 別 是 邊 BC、 CD上 的 點 ， (1)若 F、 G分 別 為 BC、 CD的 中 點 ， 試 證 EFGH為 平 行 四 邊 形 ； (2)若
7、 2， 試 證 EF、 AC、 HG相 交 于 一 點 證 明 ： (1)如 圖 連 結 AC， BD， 則 EF AC， HG AC， 因 此 EF HG；同 理 EH FG， 則 EFGH為 平 行 四 邊 形 (2) E、 H分 別 是 AB、 AD的 中 點 ， EH綊 BD；又 2， FG綊 BD， EFGH為 梯 形 ， 則 EF，GH相交于一點O，即O EF，O GH， O平面ABC，O平面ADC，又面ABC面ADCAC，則O AC，即EF、AC、HG相交于一點 變 式 2.(1)三 個 平 面 兩 兩 相 交 ， 則 三 個 平 面 的 交 線 可 能 有 _，可 能 將 整
8、個 空 間 劃 分 為 _ (2)已 知 三 個 平 面 兩 兩 相 交 且 有 三 條 交 線 ， 試 證 三 條 交 線 互 相 平 行 或 者 相 交 于 一點 答 案 ： (1)一條或三條若三個平面有一條交線，則三個平面將空間分 為六部分，若三個平面有三條交線可將空間分為七或八部分(2)證明略 與異面直線相關的問題有異面直線的判定，異面直線所成的角，異面直線的公垂線及異面直線間的距離，這其中最重要的是異面直線所成的角求異面直線所成的角，一般是通過平行線首先找到它們所成的角，然后放到三角形中，通過解三角形求之 對于異面直線所成的角也可利用空間向量來求 【 例 3】 如 圖 ， 在 棱 長
9、 為 2的 正 方 體 ABCD A1B1C1D1中 ， O是 底 面 ABCD的 中 心 ， E、 F分 別 是 CC1、 AD的 中 點 ， 那 么 異 面 直 線 OE和 FD1所 成 的 角 的 余 弦 值 等 于 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 解 法 一：連結AC、AC1，則O為AC中點， AC1 OE，取A1D1中點M，連結AM，MC1，由AF綊MD1知四邊形AFD1M為平行四邊形， AM D1F，則 MAC1或其補角為異面直線所成角，可求AC12 ，AMMC1 ，在MAC1中，cos MAC1 評 注 ： 還 可 采 用 以 下 兩 種 作 輔 助 線 的 方 法
10、，求 異 面 直 線 OE和 FD1所 成 角 的 余 弦 值 ， 如 圖 所 示 ：(1)取 C1D1中 點 M， 連 結 OM、 ME， 解 MOE；(2)取 BC中 點 G， GC中 點 M， 連 結 C1G、 EM、 MO， 解 OEM. 解法二：以D為空間坐標原點，如圖，建立空間直角坐標系，則D1(0,0,2)，F(xiàn)(1，0,0)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， FD1(1,0,2)，OE(1,1,1)， FD1OE3， cos ， 即兩條異面直線D1F與OE所成角的余弦值為 . 答 案 ： B 變 式 3.如 圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1
11、B與AD1所成角的余弦值為() A. B. C. D. 解 析：如圖，連結BC1，A1C1，則 A1BC1為異面直線A1B與AD1所成的角，設AB1，在RtA1AB中，A1B ，則BC1A1B ， 在RtA1B1C1中，A1C1 在A1BC1中，cos A1BC1 答 案 ： D 1由公理3及公理3的推論結合公理1，可證明點線共面問題，如例1及變式將立體幾何問題轉化為平面幾何問題2利用公理2可證明點共線，線共點等問題 3求異面直線所成的角，是要將異面直線問題轉化為相交直線所成的銳角或直角，可通過余弦定理解三角形，而作輔助線主要是作已知直線的平行線， 具體可利用平行四邊形對邊平行，三角形或梯形的
12、中位線與底邊平行等，而對兩條異面直線的判定可根據(jù)“連結平面外一點和平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線”這個結論是對異面直線直接判定的重要依據(jù)，也是求異面直線成角作輔助線的重要依據(jù)之一，也可利用向量的夾角求異面直線所成的 角4求異面直線所成的角無論是用幾何法還是向量法都要特別注意異 面直線成角的范圍是(0，90. 【 方 法 規(guī) 律 】 (本題滿分12分)如 圖，ABCDA1B1C1D1是 正 四 棱 柱(1)求 證：BD 平 面 ACC1A1；(2)已 知 二 面 角 C1BDC的 大 小 為 60，求 異 面 直 線 BC1與 AC所 成 角 的 大 小 . 解 答 ： 解
13、法 一 ： (1)證 明： ABCDA1B1C1D1是正四棱柱， CC1平面ABCD， BD CC1， ABCD是正方形， BD AC，又 AC、CC1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1.【 答 題 模 板 】 (2)如圖，設BD與AC相交于O，連結C1O. CC1平面ABCD，BD AC， BD C1O， C1OC是二面角C1BDC的平面角， C1OC60.連結A 1B， A1C1 AC， A1C1B是BC1與AC所成的角設BCa，則CO a，CC1COtan 60 a，A1BBC1 a，A1C1 a.在A1BC1中，由余弦定理得，cos A1C1B ， A1C1Bar
14、ccos ，異面直線BC1與AC所成角的大小為arccos . 解法二：(1)證明：如 圖，建立空間直角坐標系Dxyz.設ADa，DD1b，則有D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，C1(0，a，b) BD(a，a,0)， AC(a，a,0)，CC1(0,0，b)， BDAC0，BDCC10， BD AC，BD CC1， 又 AC、CC 1平面ACC1A1，且ACCC1C， BD平面ACC1A1. (2)設BD與AC相交于O，連結C1O，則點O坐標為( ， ，0)， OC1( ， ，b) BDOC10， BD C1O，又BD CO， C1OC是二面角C1BDC
15、的平面角， C1OC60， tan C1OC ， b a， AC(a，a,0)，BC1(a,0，b)， cosAC，BC 1 異面直線BC1與AC所成角的大小為arccos . 1. 高考考查平面的基本性質(如正方體的截面問題)、異面直線公垂線的證明(在指明公垂線的前提下)，以及異面直線成角大小的計算問題2本題主要解決異面直線成角大小的計算，可通過作圖(作輔助線)、證明、計算， 也可以利用向量計算兩向量的夾角，無論哪種方法都應注意到異面直線成角的 范圍是(0，903利用向量法求異面直線a，b所成角，可在直線a，b上分別求出方向向量a， b，則cos |cosa，b|，然后再確定異面直線a、b所成角的大小【 分 析 點 評 】 點 擊 此 處 進 入 作 業(yè) 手 冊
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