（課標專用）天津市高考數學二輪復習 題型練7 大題專項（五）解析幾何綜合問題-人教版高三數學試題

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1、題型練7　大題專項(五)　解析幾何綜合問題 　題型練第61頁　? 1.(2019全國Ⅰ,理19)已知拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為32的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程; (2)若AP=3PB,求|AB|. 解:設直線l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由題設得F34,0, 故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由題設可得x1+x2=52. 由y=32x+t,y2=3x,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, 則x1+x2=-12(t-1)9. 從而-12(t-1)9=52,得

2、t=-78. 所以l的方程為y=32x-78. (2)由AP=3PB可得y1=-3y2. 由y=32x+t,y2=3x,可得y2-2y+2t=0. 所以y1+y2=2. 從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3. 代入C的方程得x1=3,x2=13. 故|AB|=1+322×3-13=4133. 2.設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點O為坐標原點,點A的坐標為(a,0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為510. (1)求E的離心率e; (2)設點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點,點N關

3、于直線AB的對稱點的縱坐標為72,求E的方程. 解:(1)由題設條件知,點M的坐標為23a,13b, 又kOM=510,從而b2a=510, 進而得a=5b,c=a2-b2=2b, 故e=ca=255. (2)由題設條件和(1)的計算結果可得,直線AB的方程為x5b+yb=1,點N的坐標為52b,-12b.設點N關于直線AB的對稱點S的坐標為x1,72,則線段NS的中點T的坐標為54b+x12,-14b+74. 又點T在直線AB上,且kNS·kAB=-1, 從而有54b+x125b+-14b+74b=1,72+12bx1-52b=5,解得b=3. 所以a=35,故橢圓E的方程為

4、x245+y29=1. 3.設橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點,e為橢圓的離心率. (1)求橢圓的方程; (2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍. 解:(1)設F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|, 即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,橢圓的方程為x24+y23=1. (2)設直線l

5、的斜率為k(k≠0), 則直線l的方程為y=k(x-2). 設B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2) 消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2或x=8k2-64k2+3, 由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3. 由(1)知,F(1,0),設H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3. 由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0, 解得yH=9-4k212k. 因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212

6、k. 設M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y, 解得xM=20k2+912(k2+1). 在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|, 即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化簡得xM≥1, 即20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-64或k≥64. 所以,直線l的斜率的取值范圍為-∞,-64∪64,+∞. 4.已知拋物線C:y2=2px經過點P(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于點M,直線PB交y軸于點N. (1)求直線l的斜率的取值范圍; (2)設O為原點,Q

7、M=λQO,QN=μQO,求證:1λ+1μ為定值. (1)解因為拋物線y2=2px經過點P(1,2), 所以4=2p,解得p=2, 所以拋物線的方程為y2=4x. 由題意可知直線l的斜率存在且不為0, 設直線l的方程為y=kx+1(k≠0). 由y2=4x,y=kx+1,得k2x2+(2k-4)x+1=0. 依題意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0, 解得k<0或0

8、1)知x1+x2=-2k-4k2,x1x2=1k2. 直線PA的方程為y-2=y1-2x1-1(x-1). 令x=0,得點M的縱坐標為yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2. 同理得點N的縱坐標為yN=-kx2+1x2-1+2. 由QM=λQO,QN=μQO, 得λ=1-yM,μ=1-yN. 所以1λ+1μ=11-yM+11-yN =x1-1(k-1)x1+x2-1(k-1)x2=1k-1·2x1x2-(x1+x2)x1x2 =1k-1·2k2+2k-4k21k2=2. 所以1λ+1μ為定值. 5.(2019山東濟南3月模擬)設M是拋物線E:x2=2py(p

9、>0)上的一點,拋物線E在點M處的切線方程為y=x-1. (1)求E的方程. (2)已知過點(0,1)的兩條不重合直線l1,l2的斜率之積為1,且直線l1,l2分別交拋物線E于A,B兩點和C,D兩點.是否存在常數λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由. 解:(1)(方法一)由y=x-1,x2=2py消y, 得x2-2px+2p=0. 由題意得Δ=4p2-8p=0. 因為p>0,所以p=2. 故拋物線E的方程為x2=4y. (方法二)設Px0,x022p.由x2=2py,得y=x22p,y'=xp. 由x0p=1,x022p

10、=x0-1, 解得p=2. 故拋物線E的方程為x2=4y. (2)假設存在常數λ使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立, 則λ=1|AB|+1|CD|. 由題意知,l1,l2的斜率存在且均不為零. 設l1的方程為y=kx+1(k≠0), 則由y=kx+1,x2=4y,消去y得,x2-4kx-4=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=4k,x1·x2=-4. 所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·16k2+16=4(1+k2). 所以λ=1|AB|+1|CD|=14(1+k2)+141+1k2=1+k24(1+k2)=14. 所以,存在常數λ=14,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|成立.