（課標通用）高考數學一輪復習 第四章 三角函數與解三角形大題沖關 理-人教版高三全冊數學試題

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1、第四章 三角函數與解三角形 高考中三角函數與解三角形問題的 熱點題型 從近幾年的高考試題看，新課標全國卷交替考查三角函數、解三角形．該部分解答題是高考得分的基本組成部分，考查中難度屬于中低檔題，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟導致運算錯誤，不能掉以輕心．該部分的解答題考查的熱點題型有：一、考查三角函數的圖象變換以及單調性、最值等；二、考查解三角形問題；三、是考查三角函數、解三角形與平面向量的交匯性問題，在解題過程中抓住平面向量作為解決問題的工具，要注意三角恒等變換公式的多樣性和靈活性，注意題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，靈活地實現問題的轉化． 熱點一　解三角形與三角恒

2、等 變換的綜合 解三角形多與三角恒等變換相結合，主要涉及兩角和與差的正弦和余弦公式、二倍角公式以及正弦定理和余弦定理，考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題． [典題1]　[2016·浙江卷]在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b＋c＝2acos B. (1)證明：A＝2B； (2)若△ABC的面積S＝，求角A的大?。? (1)[證明]　由正弦定理，得 sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)． 又A，

3、B∈(0，π)，故0

4、三角恒等變換中求值．具體解題步驟如下： 第一步：利用正(余)弦定理進行邊角轉化； 第二步：利用三角恒等變換求邊與角； 第三步：代入數據求值； 第四步：查看關鍵點，易錯點． [2017·四川資陽高三上學期第一次診斷]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足＝，D是BC邊上的一點． (1)求角B的大??； (2)若AC＝7，AD＝5，DC＝3，求AB的長． 解：(1)由＝，得 ccos B－acos B＝bcos A， 即ccos B＝acos B＋bcos A， 根據正弦定理，sin Ccos B＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A

5、＋B)＝sin C，所以cos B＝， 又0°

6、m·n＋1. (1)求函數f(x)在[0，π]上的最值，并求此時x的值； (2)將函數f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象．若在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，g＝，a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面積． [解]　(1)f(x)＝sin cos －cos2＋1 ＝sin x－cos x＋ ＝sin＋. ∵x∈[0，π]，∴x－∈， ∴當x－＝－，即x＝0時，f(x)min＝0； 當x－＝，即x＝時，f(x)max＝. ∴當x＝0時，f(x)min＝0， 當x＝時，f

7、(x)max＝. (2)將f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數y＝sin＋的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長度，得到函數g(x)＝sin＝sin＝cos 2x的圖象． ∵g＝cos A＝， 又0

8、和解三角形的結合，一般可以利用三角變換化簡所給函數關系式，再結合正、余弦定理解三角形． [2017·廣東汕頭一模]設a＝(2cos ωx，)，b＝(sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)(ω>0)，函數f(x)＝a·b，且函數f(x)圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為. (1)求函數f(x)的解析式； (2)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足f(A)＝0，B＝，a＝2，求c的邊的長． 解：(1)f(x)＝a·b＝2sin ωxcos ωx＋(cos2ωx－sin2ωx) ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2 ＝2sin. 又由

9、題意知，T＝＝4×， 所以ω＝1. (2)解法一：由(1)知，f(A)＝2sin＝0， 所以sin＝0， 又因為 0

10、，c＝或c＝(舍去)． 熱點三　解三角形中的最值問題 解三角形中的最值問題也是高考考查的一個重點，主要以考查面積的最值、邊長(周長的取值范圍)、兩角三角函數和的取值范圍等． [典題3]　[2015·山東卷]設f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． [解]　(1)由題意知， f(x)＝－ ＝－＝sin 2x－. 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z； 由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x

11、≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(k∈Z)； 單調遞減區(qū)間是(k∈Z)． (2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝， 由題意，知A為銳角，所以cos A＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc， 即bc≤2＋，當且僅當b＝c時等號成立． 因此bcsin A≤. 所以△ABC面積的最大值為. 解三角形的最值問題常需結合基本不等式求解，關鍵是由余弦定理得到兩邊關系，再結合不等式求解最值問題，或者將所求轉化為某個角的三角函數，借助三角函數的值域求范圍． [2017·江西臨川一中模擬]已知f(x)＝co

12、s 2x＋2sinsin(π－x)，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及單調增區(qū)間； (2)已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(A)＝－，a＝3，求BC邊上的高的最大值． 解：(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x ＝－2sin， ∴f(x)的最小正周期為π， 令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得 kπ＋π≤x≤kπ＋π(k∈Z)， ∴單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)由f(A)＝－，得sin＝， 又A∈， ∴2A∈(0，π)，2A－∈，∴A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得9＝b2＋c2－bc≥bc，即bc≤9(當且僅當b＝c時等號成立)， 設BC邊上的高為h，由三角形等面積法知ah＝bcsin A，得3h＝bc≤， ∴h≤，即h的最大值為.