（課標(biāo)通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列大題沖關(guān) 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

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1、第六章 數(shù)列 高考中數(shù)列問(wèn)題的熱點(diǎn)題型 對(duì)近幾年高考試題統(tǒng)計(jì)看，新課標(biāo)全國(guó)卷中的數(shù)列與三角基本上交替考查，難度不大．但自主命題的省市高考題每年都考查，難度中等．考查內(nèi)容主要集中在兩個(gè)方面：一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì)，題目多為常規(guī)試題；二是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和問(wèn)題，有時(shí)結(jié)合函數(shù)、不等式等進(jìn)行綜合考查，涉及內(nèi)容較為全面，試題題型規(guī)范、方法可循． 熱點(diǎn)一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的 綜合問(wèn)題 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題，求解這類(lèi)問(wèn)題要重

2、視方程思想的應(yīng)用． [典題1]　[2015·湖北卷]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)d>1時(shí)，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由題意， 即解得 或 故或 (2)由d>1知，an＝2n－1，bn＝2n－1， 故cn＝， 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋＋…＋＋.② ①－②，得 Tn＝2＋＋＋…＋－ ＝3－， 故Tn＝6－. 用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和問(wèn)題的步驟 第一步：(判斷結(jié)構(gòu)

3、) 若數(shù)列{an·bn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則可用此法求和． 第二步：(乘公比) 設(shè){an·bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，然后兩邊同乘以q. 第三步：(錯(cuò)位相減) 乘以公比q后，向后錯(cuò)開(kāi)一位，使含有qk(k∈N*)的項(xiàng)對(duì)應(yīng)，然后兩邊同時(shí)作差． 第四步：(求和) 將作差后的結(jié)果求和，從而表示出Tn. 技巧點(diǎn)撥 1．分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問(wèn)題需要首先求解的中間問(wèn)題，如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，確定解題的邏輯次序． 2．等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，若數(shù)列{bn}是一個(gè)公差為d的

4、等差數(shù)列，則{abn}(a＞0，a≠1)就是一個(gè)等比數(shù)列，其公比q＝ad；反之，若數(shù)列{bn}是一個(gè)公比為q(q＞0)的正項(xiàng)等比數(shù)列，則{logabn}(a＞0，a≠1)就是一個(gè)等差數(shù)列，其公差d＝logaq. 設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)由已知，得?a2＝2. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q， 又S3＝7，所以＋2＋2q＝7

5、， 即2q2－5q＋2＝0， 解得q＝2或q＝. ∵q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)由(1)，得a3n＋1＝23n， ∴bn＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2， ∴數(shù)列{bn}為等差數(shù)列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝ln 2. 熱點(diǎn)二　數(shù)列的通項(xiàng)與求和 數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考必考的一種題型，重點(diǎn)在于靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．其中求通項(xiàng)是解答題目的基礎(chǔ)．同時(shí)要重視方程思想的應(yīng)用． [典題2]　[2015·天津卷]已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋2＝qan

6、(q為實(shí)數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列． (1)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． [解]　(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3， 所以a2(q－1)＝a3(q－1)． 又q≠1，所以a3＝a2＝2. 由a3＝a1q，得q＝2. 當(dāng)n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，an＝a2k－1＝2k－1＝2 ； 當(dāng)n＝2k(k∈N*)時(shí)，an＝a2k＝2k＝2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝ (2)由(1)，得b

7、n＝＝，n∈N*. 設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則 Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， 上述兩式相減，得 Sn＝1＋＋＋…＋－＝－ ＝2－－， 整理，得Sn＝4－，n∈N*. 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為4－，n∈N*. 1．根據(jù)所給條件的特點(diǎn)，確定合適的方法求通項(xiàng)，如根據(jù)an與Sn的關(guān)系求an.根據(jù)遞推關(guān)系求an. 2．根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的有分組求和，裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減法求和等． 　[2017·安徽合肥模擬]已知數(shù)列{an＋1＋an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1－2，a1＝0. (

8、1)求數(shù)列{an＋1＋an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)設(shè)an＋1＋an＝bn. 當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n. 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝2，滿(mǎn)足n≥2時(shí)bn的形式． 所以an＋1＋an＝bn＝2n. (2)由(1)，得an＋1＋an＝2n，則an＋2＋an＋1＝2n＋1. 兩式相減，得an＋2－an＝2n. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， an＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋…＋(an－2－an－4)＋(an－an－2) ＝0＋21＋23＋…＋2n－4＋2n－2 ＝＝－. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由(1)知，a1＝

9、0，a2＋a1＝2，得a2＝2. an＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(an－2－an－4)＋(an－an－2) ＝2＋22＋24＋…＋2n－4＋2n－2 ＝2＋＝＋. 綜上所述，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 an＝ 熱點(diǎn)三　數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題 數(shù)列與不等式知識(shí)相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問(wèn)題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問(wèn)題；三是考查與數(shù)列問(wèn)題有關(guān)的不等式的證明．在解決這些問(wèn)題時(shí)，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法等．如果是解不等式問(wèn)題，要使用不等式的各種不同解法，如數(shù)軸法、因式分解法等． 主要

10、有以下幾個(gè)命題角度： [考查角度一]　放縮法證明數(shù)列不等式 [典題3]　設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿(mǎn)足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. (1)[解]　由題意知，S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0， 可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2， 又an為正數(shù)，所以a1＝2. (2)[解]　由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0

11、，n∈N*，可得(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，則Sn＝n2＋n或Sn＝－3，又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以Sn＝n2＋n，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.又a1＝2＝2×1，所以an＝2n，n∈N*. (3)[證明]　當(dāng)n＝1時(shí)，＝＝＜成立； 當(dāng)n≥ 2時(shí)，＝＜ ＝， 所以＋＋…＋ ＜＋ ＝＋＜＋＝. 所以對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 數(shù)列中不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或最后的結(jié)果放縮得到．即先放縮再求和或先求和再放縮． [考查角度二]　數(shù)列中不等式的恒成立問(wèn)題 [典題4]　已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿(mǎn)

12、足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，對(duì)任意正整數(shù)n，Sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，試求m的取值范圍． [解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q. 依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4， 代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8. ∴a2＋a4＝20，∴ 解得 或 又{an}單調(diào)遞增，∴ ∴an＝2n. (2)bn＝2n·log2n＝－n·2n， ∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① ∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，② ①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2. 由Sn＋(n＋m)an＋1＜0，得 2n＋1－n×2n＋1－2＋n×2n＋1＋m×2n＋1＜0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立， ∴m×2n＋1＜2－2n＋1，即m＜－1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立．∵－1＞－1，∴m≤－1， 即m的取值范圍是(－∞，－1]． 數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問(wèn)題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解．