（考前大通關）高考數學二輪專題復習 第二部分應試高分策略《第五講 高考熱點問題》考前優(yōu)化訓練 理

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1、 1．已知函數f(x)＝x2－2ax＋2，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 解：∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2， ∴此二次函數圖象的對稱軸為x＝a. (1)當a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得a≥－3，即－3≤a<－1. (2)當a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2－a2≥a，解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1. 綜上所述，實數a的取值范圍

2、為[－3,1]． 2. 如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4，直線m：kx－y＋1＝0. (1)求證：直線m與圓O有兩個相異交點； (2)設直線m與圓O的兩個交點為A、B，求△AOB面積S的最大值． 解：(1)證明：直線m：kx－y＋1＝0可化為y－1＝kx， 故該直線恒過點(0,1)，而(0,1)在圓O：x2＋y2＝4內部， 所以直線m與圓O恒有兩個不同交點． (2)圓心O到直線m的距離為d＝， 而圓O的半徑r＝2， 故弦AB的長為|AB|＝2＝2， 故△AOB面積S＝|AB|×d＝×2×d ＝＝ 而d2＝，因為1＋k2≥1，所以d2＝∈(0,1]， 顯然當d2

3、∈(0,1]時，S單調遞增， 所以當d2＝1，即k＝0時，S取得最大值，此時直線m的方程為y－1＝0. 3. 四棱錐P－ABCD如圖所示． (1)在四棱錐中，E為線段PD的中點，求證：PB∥平面AEC； (2)在四棱錐中，F為線段PA上的點，且＝λ，則λ為何值時，PA⊥平面DBF？并求此時幾何體F－BDC的體積． 解： (1)證明：連接AC、BD，設交點為O，連接OE， ∵OE為△DPB的中位線， ∴OE∥PB. ∵EO?平面EAC，PB?平面EAC，∴PB∥平面AEC. (2)過O作OF⊥PA，垂足為F.連接OP、FA、FB. 在Rt△POA中， PO＝1，

4、AO＝，PA＝2， ∵PO2＝PF·PA,1＝2PF， ∴PF＝，FA＝，λ＝＝. 又∵PA⊥BD，∴PA⊥平面BDF. 當＝時，在△PAO中，過F作FH∥PO， 則FH⊥平面BCD，FH＝PO＝. S△BCD＝×2×＝. ∴V＝S△BCD·FH＝××＝. 4．已知函數f(x)＝2cos. (1)求f(x)的值域和最小正周期； (2)若對任意x∈，使得m＋2＝0恒成立，求實數m的取值范圍． 解：(1)f(x)＝2sincos(x＋)－2cos2＋＝sin－ ＝sin－cos－ ＝2sin－. ∵－1≤sin≤1. ∴－2－≤2sin－≤2－，T＝＝π. 即f(x

5、)的值域為，最小正周期為π. (2)當x∈時，2x＋∈， 故sin∈， 此時f(x)＋＝2sin∈. 由m[f(x)＋]＋2＝0知，m≠0，且f(x)＋＝－， ∴≤－≤2，即， 解得－≤m≤－1. 即實數m的取值范圍是. 5．某網站對一商品進行促銷，該商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件． (1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數； (2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？ 解：(1)設商品降

6、低x元，則多賣的商品數為kx2，若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)． 由已知條件，24＝k·22，于是有k＝6， 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]． (2)根據(1)， 我們有f′(x)＝－18x2 ＋252x－432 ＝－18(x－2)(x－12). x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值  極大值  故當x＝12時，f(x)達到極大值116

7、64， 因為f(0)＝9072，f(12)＝11664， 所以定價為30－12＝18元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大． 6．設F1、F2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點． (1)設橢圓C上點(，)到兩點F1、F2的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標； (2)設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPM·kPN的值是否與點P及直線l有關，并證明你的結論． 解：(1)由于點在橢圓上， 得＋＝1， 又2a＝4， 所以橢圓C的方程為＋＝1， 焦點坐標分別為(－1,0)，(1,0)． (2)無關．證明如下：過原點的直線l與橢圓相交于M、N兩點，則點M、N關于坐標原點對稱， 設M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)． 因為M、N、P在橢圓上，應滿足橢圓方程， 即＋＝1，＋＝1， 所以kPM·kPN＝·＝＝－， 故kPM·kPN的值與點P的位置無關，同時與直線l無關．