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1、平 面 問 題單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 及 其 性 質(zhì) Institute of Mechanical Engineering and Automation結(jié) 點 力 ,單 元 結(jié) 點 力二 、 位 移 模 式 與 形 函 數(shù) 一 、 離 散 化 將 連 續(xù) 體 用 假 想 的 線 或 面 分 割 成 有 限 個 部 分 ， 各 部 分 之間 用 有 限 個 點 相 連 。每 個 部 分 稱 為 一 個 單 元 ， 連 接 點 稱 為 結(jié) 點 。 三 角 形 網(wǎng) 格 劃 分y x0 TTkTjTieTiiii vu TTkTjTieTiiii RRRRYXRR TyxeTyx
2、e FFF ， 表 面 力體 積 力結(jié) 點 位 移 ,單 元 結(jié) 點 位 移yaxaav yaxaau 654 321 kkkkkk jjjjjj iiiiii yaxaavyaxaau yaxaavyaxaau yaxaavyaxaau 654321 654321 654321 iuiv jujvkY ),( kk yxk kX),( ii yxi ),( jj yxjiY iX jY jXkukv xFyF 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 及 其 性 質(zhì) 平 面 問 題 中 ， 離 散 化 的 單 元 組 合 體 極 為 相 似 ， 單 元 組 合 體在 節(jié) 點 載 荷 的 作
3、 用 下 ， 節(jié) 點 對 單 元 、 單 元 對 節(jié) 點 都 有 作 用 力 與反 作 用 力 存 在 ， 大 小 相 等 方 向 相 反 ， 統(tǒng) 稱 為 節(jié) 點 力 。節(jié) 點 力 和 節(jié) 點 位 移 的 關(guān) 系 前 面 已 經(jīng) 求 出 ： ee eF K 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 及 其 性 質(zhì) 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 ： 將 寫 成 分 塊 矩 陣 寫 成 普 通 方 程 其 中 表 示 節(jié) 點 S(S=i,j,m)產(chǎn) 生 單 位 位 移 時 ， 在 節(jié) 點r(r=i,j,m)上 所 需 要 施 加 的 節(jié) 點 力 的 大 小 。 i ii ij im
4、 ij ji jj jm jm mi mj mm mF K K K F K K K F K K K i ii i ij j imi mj ji i jj j jm mi mi i mj j mm mF K K K F K K K F K K K eF rsK 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 及 其 性 質(zhì) 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 ： 將 節(jié) 點 力 列 矩 陣 與 節(jié) 點 位 移 列 矩 陣 均 展 開 成(6*1)階 列 矩 陣 ， 單 元 剛 度 矩 陣 相 應(yīng) 地 展 開 成 (6*6)階 方 陣 ： 元 素 K的 腳 碼 ， 標(biāo) 有 “ -” 的 表 示
5、 水 平 方 向 ， 沒 有 標(biāo) “ -”的 表 示 垂 直 方 向 。 eF e ii juvu xi ii ii ij ij im imii ij im imyi ii ijxj ji ji jj jj jm jmji jj jm jmyj ji jj jmi mj mm mmxm mi mj mmi mj mm mmym mi mj mK K K K K KF K K K K K KF K K K K K KF K K K K K KF vK K K K K KF uK K K K K KF v 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 及 其 性 質(zhì) 單 元 剛 度 矩 陣 的 物
6、理 意 義 ： 單 元 剛 度 矩 陣 的 每 一 個 元 素 都 有 明 顯 的 物 理 意 義 。 表 示 節(jié) 點 S(S=i,j,m)在 水 平 方 向 、 垂 直 方 向產(chǎn) 生 單 位 位 移 時 ， 在 節(jié) 點 r(r=i,j,m)上 分 別 所 要 施 加 的 水 平 節(jié)點 力 和 垂 直 節(jié) 點 力 的 大 小 。 例 如 表 示 節(jié) 點 j在 垂 直 方 向 產(chǎn)生 單 位 位 移 時 ， 在 節(jié) 點 i所 需 要 施 加 的 水 平 節(jié) 點 力 的 大 小 。F xr rs s rs sS i,j,m (K u K v )(r i,j,m)F yr rs s rs sS i,j
7、,m (K u K v )(r i,j,m) rs rs rs rsK ， K ， K ， K ijK 單 元 剛 度 矩 陣 的 物 理 意 義 及 其 性 質(zhì) 1） 單 元 剛 度 矩 陣 是 對 稱 陣 ， (只 要 證 明 ) 2） 單 元 剛 陣 主 對 角 線 元 素 恒 為 正 值 ； 因 為 主 對 角 元 素 表 示 力 的 方 向 和 位 移 方 向 一 致 ， 故 總 為 正 值 。 3） 單 元 剛 陣 是 奇 異 陣 ， 即 |K|=0， 這 是 因 為 計 算 單 元 剛 陣時 沒 有 對 單 元 的 節(jié) 點 加 以 約 束 ， 雖 然 ， 單 元 處 于 平 衡 狀 態(tài) ，但 容 許 單 元 產(chǎn) 生 剛 體 位 移 ， 故 從 單 元 剛 度 平 衡 方 程 不 可 能得 到 唯 一 位 移 解 ， 只 能 得 到 唯 一 的 節(jié) 點力 解 。 4） 單 元 剛 陣 所 有 奇 數(shù) 行 的 對 應(yīng) 元 素 之 和 為 零 ， 所 有 偶 數(shù) 行的 對 應(yīng) 元 素 之 和 也 為 零 。 由 此 可 見 ， 單 元 剛 陣 各 行 元 素 的總 和 為 零 。 由 對 稱 性 可 知 ， 各 列 元 素 的 總 和 也 為 零 。 ( )e e TK K iik 1( )ee K F
剛度矩陣的性質(zhì)
