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1、
一、選擇題
1．(2012·蘭州質檢)若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點為2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，
解析：選C.由已知f(2)＝2a＋b＝0可得b＝－2a，則g(x)＝－2ax2－ax，令g(x)＝0可得x＝0或x＝－，故g(x)的零點是0或－，應選C.
2．(2012·石家莊調研)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,2]上的圖象是連續(xù)的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上僅有一個實根0，則f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．無法確定
解析：選D.由題意，知
2、f(x)在(－1,1)上有零點0，該零點可能是變號零點，也可能是不變號零點，∴f(－1)·f(1)符號不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.
3．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：選C.記f(x)＝ex－x－2，由表格可知，f(1)＜0，f(2)＞0，故原方程一個根所在的區(qū)間為(1,2)．所以選C.
4．函數(shù)f(x)＝2x－
3、x－的一個零點所在的區(qū)間是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：選B.觀察函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝x＋的圖象可知，函數(shù)f(x)＝2x－x－有一個大于零的零點，又f(1)＝1－＜0，f(2)＝2－＞0，根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理知函數(shù)的一個零點在區(qū)間(1,2)上．
5．若函數(shù)f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)內恰有一個零點，則a的取值范圍是( )
A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：選C.當a＝0時，函數(shù)的零點是x＝－1；當a≠0時，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，則a＞1；若Δ
4、＝0，即a＝－，函數(shù)的零點是x＝－2，故選C.
二、填空題
6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2,3]內的實根，取區(qū)間中點x0＝2.5，那么下一個有根區(qū)間是________．
解析：由計算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一個有根區(qū)間為(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
7．若f(x)＝則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點為________．
解析：即求f(x)＝x的根，
∴或
解得x＝1＋，或x＝1.
∴g(x)的零點為x＝1＋，或x＝1.
答案：x＝1＋，或x＝1
8．若函數(shù)f(x)＝x2＋
5、ax＋b的兩個零點是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個零點是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，
由根與系數(shù)的關系知，
∴，
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0，
解集為{x|－＜x＜1}．
答案：{x|－＜x＜1}
三、解答題
9．判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點．
(1)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解：(1)f(－1)＝－1＜0，
6、f(2)＝5＞0，f(－1)f(2)＜0，
故f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零點．
(2)f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞log22－1＝0，
f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜log28－3＝0，
所以f(1)f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零點．
10．已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋＋.求證：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.
證明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，
∴g(0)·g()<0.
又函數(shù)g(x)在[0，]上連續(xù)，
所以存在x0∈(0，
7、)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.
11．是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個交點，且只有一個交點？若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理由．
解：若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.
檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，
得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.
(2)當f(3)＝0時，a＝－.
此時f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解之，得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，
故a≠－.
綜上所述，a<－或a>1.
高考數(shù)學總復習 第二章第8課時 函數(shù)與方程 課時闖關（含解析）
