高考數學二輪專題復習與策略 第2部分 必考補充專題 突破點19 集合與常用邏輯用語教師用書 理-人教版高三數學試題

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1、突破點19　集合與常用邏輯用語 提煉1 集合的概念、關系及運算 (1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性． (2)集合與集合之間的關系：A?B，B?C?A?C. (3)空集是任何集合的子集． (4)含有n個元素的集合的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個． (5)重要結論： A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A. 提煉2 充要條件 設集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，則有 從邏輯觀點看 從集合觀點看 p是q的充分不必要條件(p?q，qD?/p) AB p是q的必要不充分條件(q?p，pD?/q) BA

2、p是q的充要條件(p?q) A＝B p是q的既不充分也不必要條件(pD?/q，qD?/p) A與B互不包含 提煉3 簡單的邏輯聯結詞 (1)命題p∨q，只要p，q有一真，即為真；命題p∧q，只有p，q均為真，才為真；綈p和p為真假對立的命題． (2)命題p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命題p∧q的否定是(綈p)∨(綈q). 提煉4 全(特)稱命題及其否定 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)．它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)． (2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)． 專題限時集訓(十九)　集合與常用邏輯用語 [A組　

3、高考題、模擬題重組練] 一、集合 1．(2016·全國乙卷)設集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝(　　) A.　　　　　　 B. C. D. D　[∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}． ∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝. ∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝.故選D.] 2．(2016·全國甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，則A∪B＝(　　) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} C　[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈

4、Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．] 3．(2016·山東高考)設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) C　[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1－1}．故選C.] 4．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝(　　) A．[2,3]　　 B．(－2,3] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞

5、) B　[∵Q＝{x∈R|x2≥4}， ∴?RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2

6、＝(　　) A．(－1,2) B．[2,3) C．(2,3) D．(－1,2] B　[A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}， 由題意知A－B＝{x|2≤x＜3}，故選B.] 二、命題及其關系、充分條件與必要條件 7．(2016·泰安一模)以下說法錯誤的是(　　) 【導學號：67722074】 A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0” B．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件 C．若命題p：存在x0∈R，使得x－x0＋1＜0，則綈p：對任意x∈R，都有 x2－x＋1≥0 D．若p∧q為假命題，則p，q

7、均為假命題 D　[“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”，A項正確； 由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件，B項正確； 命題p：存在x0∈R，使得x－x0＋1＜0，則綈p：對任意x∈R，都有x2－x＋1≥0，C項正確；由p∧q為假命題，則p，q中至少有一個為假命題，因此D項不正確．故選D.] 8．(2016·天津高考)設x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的(　　) A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 C　[當x＝1，y＝－

8、2時，x＞y，但x＞|y|不成立； 若x＞|y|，因為|y|≥y，所以x＞y. 所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分條件．] 9．(2016·四川高考)設p：實數x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數x，y滿足則p是q的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[p表示以點(1,1)為圓心，為半徑的圓面(含邊界)，如圖所示．q表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分(含邊界)． 由圖可知，p是q的必要不充分條件．故選A.] 10．(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”

9、是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由題意知a?α，b?β，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A.] 11．(2016·黃岡二模)設集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，則“x∈A且x?B”成立的充要條件是(　　) A．－1＜x≤1 B．x≤1 C．x＞－1 D．－1＜x＜1 D　[由x∈A且x?B知x∈A∩(?RB

10、)，又?RB＝{x|x＜1}，則A∩(?RB)＝{x|－1＜x＜1}．] 三、簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞 12．(2015·全國卷Ⅰ)設命題p：?n∈N，n2＞2n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n C　[因為“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N， n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.] 13．(2013·全國卷Ⅰ)已知命題p：?x∈R,2x＜3x；命題q：?x∈R，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∧q

11、 B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q B　[當x＝0時，有2x＝3x，不滿足2x＜3x，∴p：?x∈R,2x＜3x是假命題． 如圖，函數y＝x3與y＝1－x2有交點，即方程x3＝1－x2有解， ∴q：?x∈R，x3＝1－x2是真命題． ∴p∧q為假命題，排除A. ∴綈p為真命題，∴綈p∧q是真命題，選B.] 14．(2016·濰坊二模)下列命題中假命題的是(　　) A．?x0∈R，ln x0＜0 B．?x∈(－∞，0)，ex＞x＋1 C．?x＞0,5x＞3x D．?x0∈(0，＋∞)，x0＜sin x0 D　[對于A，比如x0＝時，ln＝－1，是真命題；對于B，

12、令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1＜0，f(x)遞減，所以f(x)＞f(0)＝0，是真命題；對于C，函數y＝ax當a＞1時是增函數，是真命題，對于D，令g(x)＝x－sin x，g′(x)＝1－cos x≥0，g(x)遞增，所以g(x)＞g(0)＝0，是假命題．故選D.] 15．(2016·青島一模)已知命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命題q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立．若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍為(　　) A．m≥2 B．m≤－2或m＞－1 C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2 B　[由命題p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤

13、－1，由命題q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，可得－2＜m＜2，若命題p，q均為真命題，則此時－2＜m≤－1.因為p∧q為假命題，所以命題p，q中至少有一個為假命題，所以m≤－2或m＞－1.] 16．(2014·全國卷Ⅰ)不等式組的解集記為D，有下面四個命題： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2； p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2； p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中真命題是(　　) A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 C　[作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)． 由 得交

14、點A(2，－1)． 目標函數的斜率k＝－>－1， 觀察直線x＋y＝1與直線x＋2y＝0的傾斜程度，可知u＝x＋2y過點A時取得最小值0.y＝－＋，表示縱截距結合題意知p1，p2正確．] [B組　“10＋5”模擬題提速練] 一、選擇題 1．(2016·濟南模擬)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，則M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2} C　[M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，則M∩N＝{x|1≤x≤4}．] 2．(2016·菏澤一模)已知集合A＝{1,2,3,

15、4}，B＝{x∈Z||x|≤1}，則A∩(?ZB)＝(　　) A．? B．4 C．{3,4} D．{2,3,4} D　[因為集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}＝{－1,0,1}，所以A∩(?ZB)＝{2,3,4}．] 3．(2016·江南十校一模)已知集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠?，則b的最小值等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 C　[集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}＝{1,2}，P∩Q≠?，可得b的最小值為2.] 4．(2016·武漢一模)已知集合A＝

16、{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A?B，則c的取值范圍為(　　) A．(0,1] B．(0,1) C．[1，＋∞) D．(1，＋∞) C　[由題意將兩個集合化簡得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因為A?B，所以c≥1.] 5．(2016·貴州七校聯考)以下四個命題中，真命題的個數是(　　) ①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題； ②存在正實數a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b； ③“所有奇數都是素數”的否定是“至少有一個奇數不是素數”； ④在△ABC中，A

17、A．0 B．1 C．2　　　　 D．3 C　[對于①，原命題的逆命題為：若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2，而a＝2，b＝－2滿足a，b中至少有一個不小于1，但此時a＋b＝0，故①是假命題；對于②，根據對數的運算性質，知當a＝b＝2時，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命題；對于③，易知“所有奇數都是素數”的否定就是“至少有一個奇數不是素數”，③是真命題；對于④，根據題意，結合邊角的轉換，以及正弦定理，可知A

18、要條件，故④是假命題．選C.] 6．(2016·鄭州一模)已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的(　　) 【導學號：67722075】 A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[命題甲能推出命題乙，是充分條件，命題乙：直線EF和GH不相交，可能平行，命題乙推不出命題甲，不是必要條件．] 7．(2016·臨沂一模)已知集合A＝，B＝{y|y＝ex＋1，x≤0}，則下列結論正確的是(　　) A．A＝B B．A∪B＝R C．A∩(?RB)＝? D．B∩(?RA)＝?

19、 D　[A＝{y|0＜y≤2}，B＝{y|1＜y≤2}，則?RA＝{y|y≤0或y＞2}，從而B∩(?RA)＝?.] 8．(2016·青島一模)已知a∈R，則“a＜1”是“|x－2|＋|x|＞a恒成立”的 (　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[因為|x－2|＋|x|≥|(x－2)－x|＝2，所以a＜1時，|x－2|＋|x|＞a恒成立，反之若|x－2|＋|x|＞a恒成立，則a＜1不一定成立，故選A.] 9．(2016·威海二模)命題p：若2x≥2y，則lg x≥lg y；命題q：若隨機變量N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0

20、.72，則P(ξ≤0)＝0.28.下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．綈p∧q C．p∨綈q D．綈p∧綈q B　[對于命題p，當x＜0，y＜0時，lg x，lg y沒有意義，故命題p是假命題，對于命題q：由P(ξ≤3)＝，P(0＜ξ≤3)＝P(3＜ξ≤6)＝0.72－0.5＝0.22，得P(ξ≤0)＝0.5－0.22＝0.28，故命題q是真命題． 綜上知綈p∧q為真命題，故選B.] 10．(2016·商丘二模)命題p：函數y＝log2(x2－2x)的單調增區(qū)間是[1，＋∞)，命題q：函數y＝的值域為(0,1)．下列命題是真命題的為(　　) A．p∧q B．p∨q C．

21、p∧(綈q) D．綈q B　[令t＝x2－2x，則函數y＝log2(x2－2x)化為y＝log2t， 由x2－2x＞0，得x＜0或x＞2， 所以函數y＝log2(x2－2x)的定義域為(－∞，0)∪(2，＋∞)． 函數t＝x2－2x的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x＝1， 所以函數t＝x2－2x在定義域內的增區(qū)間為(2，＋∞)． 又因為函數y＝log2t是增函數， 所以復合函數y＝log2(x2－2x)的單調增區(qū)間是(2，＋∞)． 所以命題p為假命題； 由3x＞0，得3x＋1＞1，所以0＜＜1， 所以函數y＝的值域為(0,1)，故命題q為真命題． 所以p∧q為假命

22、題，p∨q為真命題，p∧(綈q)為假命題，綈q為假命題， 故選B.] 二、填空題 11．(2016·廈門二模)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數為________． 4　[A＝{x|(x－1)(x－2)＝0，x∈R}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}＝{1,2,3,4}． 因為A?C?B，所以C可以為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．] 12．(2016·泉州二模)命題“所有實數的平方都是正數”的否定為________. 【導學號：67722076】 至少有

23、一個實數的平方不是正數　[因為“全稱命題”的否定一定是“特稱命題”，所以命題“所有實數的平方都是正數”的否定是“至少有一個實數的平方不是正數”．] 13．(2016·郴州二模)已知集合A＝，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一個充分不必要的條件是x∈A，則實數m的取值范圍是________． (2，＋∞)　[A＝＝{x|－1＜x＜3}， 因為x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A， 所以A?B，所以m＋1＞3，即m＞2.] 14．(2016·菏澤一模)已知命題p：?x∈R，|1－x|－|x－5|＜a，若綈p為假命題，則a的取值范圍是________． (4，＋∞)　[由題意知，命題p為真命題，由|1－x|－|x－5|≤|(1－x)＋(x－5)|＝4，得a＞4.] 15．(2016·哈爾濱一模)設p：(x－a)2＞9，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若綈p是q 的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是________． (－∞，－4]∪　[綈p：(x－a)2≤9，所以a－3≤x≤a＋3， q：x≤－1或x≥. 因為綈p是q的充分不必要條件， 所以a＋3≤－1或a－3≥，即a≤－4或a≥.]