線性回歸方程的求法

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1、 必 修 3(第 二 章 統(tǒng) 計(jì) )知 識(shí) 結(jié) 構(gòu) 收 集 數(shù) 據(jù) (隨 機(jī) 抽 樣 ) 整 理 、 分 析 數(shù) 據(jù)估 計(jì) 、 推 斷簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 分層抽樣 系統(tǒng)抽樣 用 樣 本 估 計(jì) 總 體 變 量 間 的 相 關(guān) 關(guān) 系 用 樣 本的 頻 率分 布 估計(jì) 總 體分 布 用 樣 本數(shù) 字 特征 估 計(jì)總 體 數(shù)字 特 征 線性回歸分析 統(tǒng) 計(jì) 的 基 本 思 想y=f(x) y=f(x) y=f(x) 實(shí) 際 樣 本模 擬抽 樣分 析 兩 個(gè) 變 量 的 關(guān) 系 不 相 關(guān)相 關(guān)關(guān) 系函 數(shù) 關(guān) 系 線 性 相 關(guān)非 線 性 相 關(guān)現(xiàn) 實(shí) 生 活 中 兩 個(gè) 變 量 間 的 關(guān) 系 有 哪

2、 些 呢 ？ 思 考 ： 相 關(guān) 關(guān) 系 與 函 數(shù) 關(guān) 系 有 怎 樣 的 不 同 ？函 數(shù) 關(guān) 系 中 的 兩 個(gè) 變 量 間 是 一 種 確 定 性 關(guān) 系相 關(guān) 關(guān) 系 是 一 種 非 確 定 性 關(guān) 系 函 數(shù) 關(guān) 系 是 一 種 理 想 的 關(guān) 系 模 型 相 關(guān) 關(guān) 系 在 現(xiàn) 實(shí) 生 活 中 大 量 存 在 ， 是 更 一般 的 情 況 自 變 量 取 值 一 定 時(shí) ， 因 變 量 的 取 值 帶 有 一定 隨 機(jī) 性 的 兩 個(gè) 變 量 之 間 的 關(guān) 系 叫 做 相 關(guān) 關(guān) 系 。1、 定 義 ： 1） ： 相 關(guān) 關(guān) 系 是 一 種 不 確 定 性 關(guān) 系 ；注 對(duì) 具

3、 有 相 關(guān) 關(guān) 系 的 兩 個(gè) 變 量 進(jìn) 行統(tǒng) 計(jì) 分 析 的 方 法 叫 回 歸 分 析 。2） ： 2、 現(xiàn) 實(shí) 生 活 中 存 在 著 大 量 的 相 關(guān) 關(guān) 系 。探 索 ： 水 稻 產(chǎn) 量 y與 施 肥 量 x之 間 大 致 有 何規(guī) 律 ？ 10 20 30 40 50500450400350300 發(fā) 現(xiàn) ： 圖 中 各 點(diǎn) ， 大 致 分 布 在 某 條 直 線 附 近 。探 索 2： 在 這 些 點(diǎn) 附 近 可 畫 直 線 不 止 一 條 ， 哪 條 直 線 最 能 代 表 x與 y之 間 的 關(guān) 系 呢 ？xy 施 化 肥 量水 稻 產(chǎn) 量施 化 肥 量 x 15 20

4、 25 30 35 40 45水 稻 產(chǎn) 量 y 330 345 365 405 445 450 455散 點(diǎn) 圖 10 20 30 40 50500450400350300 xy 施 化 肥 量水 稻 產(chǎn) 量n 2i ii=1Q(a,b)= (y -bx -a) 取 最 小 值 時(shí) ,a,b的 值 .i i(x ,y )ii(x ,y ) |ii|y -y 怎 樣 求 回 歸 直 線 ？ 最 小 二 乘 法 ： y=bx+a (x,y) 稱 為 樣 本 點(diǎn) 的 中 心 。 n (x -x)(y -y)i ii=1b= n 2(x -x)ii=1a=y-bx. n n1 1其 中 x = x

5、,y = y .i in ni=1 i=1n i ii=1n 22ii=1x y -nxy= ,x -nx （ 3） 對(duì) 兩 個(gè) 變 量 進(jìn) 行 的 線 性 分 析 叫 做 線 性 回 歸 分 析 。2、 回 歸 直 線 方 程 ： n ni i i ii=1 i=1n n 22 2i ii=1 i=1(x - x)(y - y) x - nxyb = = ,(x - x) x - nxa = y - bx y（ 2） 相 應(yīng) 的 直 線 叫 做 回 歸 直 線 。（ 1） 所 求 直 線 方 程 叫 做 回 歸 直 線 方 程 ； 其 中 y=bx+a（ 注 意 回 歸 直 線 一 定 經(jīng)

6、過 樣 本 點(diǎn) 的 中 心 ） 例 1 假 設(shè) 關(guān) 于 某 設(shè) 備 的 使 用 年 限 x和 所 有 支 出 的 維 修 費(fèi) 用 y(萬元 )有 如 下 的 統(tǒng) 計(jì) 數(shù) 據(jù) ：x 2 3 4 5 6Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0若 由 此 資 料 所 知 y對(duì) x呈 線 性 相 關(guān) 關(guān) 系 ， 試 求 ：回 歸 直 線 方 程1.估 計(jì) 使 用 年 限 為 10年 時(shí) ， 維 修 費(fèi) 用 是 多 少 ？解 題 步 驟 ：作 散 點(diǎn) 圖2.把 數(shù) 據(jù) 列 表 ， 計(jì) 算 相 應(yīng) 的 值 ， 求 出 回 歸 系 數(shù)3.寫 出 回 歸 方 程 ,并 按 要 求 進(jìn) 行 預(yù) 測(cè) 說 明 。

7、 例 2 （ 2007年 廣 東 ） 下 表 提 供 了 某 廠 節(jié) 能 降 耗 技 術(shù) 改 造 后 生 產(chǎn)甲 產(chǎn) 品 過 程 中 記 錄 的 產(chǎn) 量 x（ 噸 ） 與 相 應(yīng) 的 生 產(chǎn) 能 耗 y (噸 標(biāo) 準(zhǔn)煤 )的 幾 組 對(duì) 應(yīng) 數(shù) 據(jù) 。X 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5請(qǐng) 畫 出 上 表 數(shù) 據(jù) 的 散 點(diǎn) 圖請(qǐng) 根 據(jù) 上 表 提 供 的 數(shù) 據(jù) ， 用 最 小 二 乘 法 求 出 y關(guān) 于 x的 性 回 歸 方 程 y bx a (3)已 知 該 廠 技 改 前 100噸 甲 產(chǎn) 品 的 生 產(chǎn) 能 耗 為 90噸 標(biāo) 準(zhǔn) 煤 ， 試 根 據(jù) （ 2） 求 出 的

8、線 性 回 歸 方 程 ， 預(yù) 測(cè) 生 產(chǎn) 100 噸 甲 產(chǎn) 品 的 生 產(chǎn) 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 噸 標(biāo) 準(zhǔn) 煤 ？（ 參 考 數(shù) 值 ： 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 ） 小 結(jié) ： 求 回 歸 直 線 方 程 的 步 驟 n n i i i ii=1 i=1n n 22 2i ii=1 i=1(x - x)(y - y) x - nxyb = = ,(x - x) x - nxa = y - bx y（ 2） 所 求 直 線 方 程 叫 做 回 歸 直 線 方 程 ； 其 中 y=bx+a（ 1） 作 散 點(diǎn) 圖 ， 通 過 圖 看 出 樣 本 點(diǎn)

9、 是 否 呈 條 狀 分 布 ， 進(jìn) 而 判 斷 兩 個(gè) 量 是 否 具 有 線 性 相 關(guān) 關(guān) 系 。（ 3） 根 據(jù) 回 歸 方 程 ， 并 按 要 求 進(jìn) 行 預(yù) 測(cè) 說 明 。 相 關(guān) 系 數(shù) 1.計(jì) 算 公 式 2 相 關(guān) 系 數(shù) 的 性 質(zhì) (1)|r| 1 (2)|r|越 接 近 于 1， 相 關(guān) 程 度 越 大 ； |r|越 接近 于 0， 相 關(guān) 程 度 越 小 問 題 ： 達(dá) 到 怎 樣 程 度 ， x、 y線 性 相 關(guān) 呢 ？ 它們 的 相 關(guān) 程 度 怎 樣 呢 ？ n i ii=1n n2 2i ii=1 i=1(x - x)(y - y)r = (x - x) (

10、y - y) 負(fù) 相 關(guān) 正 相 關(guān) n (x -x)(y -y)i ii=1r= n n2 2(x -x) (y -y)i ii=1 i=1相 關(guān) 系 數(shù) 正 相 關(guān) ； 負(fù) 相 關(guān) 通 常 ， r -1,-0.75-負(fù) 相 關(guān) 很 強(qiáng) ; r 0.75,1正 相 關(guān) 很 強(qiáng) ; r -0.75,-0.3-負(fù) 相 關(guān) 一 般 ; r 0.3, 0.75正 相 關(guān) 一 般 ; r -0.25, 0.25-相 關(guān) 性 較 弱 ; 第 一 章 統(tǒng) 計(jì) 案 例1.1回 歸 分 析 的 基 本 思 想 及 其 初 步 應(yīng) 用（ 第 二 課 時(shí) ） a. 比 數(shù) 學(xué) 3 中 “ 回 歸 ” 增 加 的

11、內(nèi)容數(shù) 學(xué) 統(tǒng) 計(jì) 畫 散 點(diǎn) 圖 了 解 最 小 二 乘 法的 思 想 求 回 歸 直 線 方 程y bx a1. 用 回 歸 直 線 方 程解 決 應(yīng) 用 問 題 選 修 - 統(tǒng) 計(jì) 案 例 引 入 線 性 回 歸 模 型y bx a e 了 解 模 型 中 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) e產(chǎn)生 的 原 因 了 解 相 關(guān) 指 數(shù) R2 和 模 型 擬合 的 效 果 之 間 的 關(guān) 系 了 解 殘 差 圖 的 作 用 利 用 線 性 回 歸 模 型 解 決 一 類非 線 性 回 歸 問 題5. 正 確 理 解 分 析 方 法 與 結(jié) 果 什 么 是 回 歸 分 析 ：“回 歸 ” 一 詞 是 由 英

12、 國(guó) 生 物 學(xué) 家 F.Galton在 研 究 人 體 身 高 的 遺 傳 問 題 時(shí) 首 先 提 出 的 。 根 據(jù) 遺 傳 學(xué) 的 觀 點(diǎn) ， 子 輩 的 身 高 受 父 輩 影 響 ， 以 X記 父 輩 身 高 ， Y記 子 輩 身 高 。雖 然 子 輩 身 高 一 般 受 父 輩 影 響 ， 但 同 樣 身 高 的 父 親 ， 其 子 身 高 并 不 一 致 ， 因 此 ，X和 Y之 間 存 在 一 種 相 關(guān) 關(guān) 系 。 一 般 而 言 ， 父 輩 身 高 者 ， 其 子 輩 身 高 也 高 ， 依 此 推 論 ， 祖 祖 輩 輩 遺 傳 下 來 ， 身高 必 然 向 兩 極 分

13、化 ， 而 事 實(shí) 上 并 非 如 此 ， 顯 然 有 一 種 力 量 將 身 高 拉 向 中 心 ， 即 子 輩的 身 高 有 向 中 心 回 歸 的 特 點(diǎn) 。 “ 回 歸 ” 一 詞 即 源 于 此 。 雖 然 這 種 向 中 心 回 歸 的 現(xiàn) 象 只 是 特 定 領(lǐng) 域 里 的 結(jié) 論 ， 并 不 具 有 普 遍 性 ， 但 從 它所 描 述 的 關(guān) 于 X為 自 變 量 ， Y為 不 確 定 的 因 變 量 這 種 變 量 間 的 關(guān) 系 看 ， 和 我 們 現(xiàn) 在 的回 歸 含 義 是 相 同 的 。 不 過 ， 現(xiàn) 代 回 歸 分 析 雖 然 沿 用 了 “ 回 歸 ” 一 詞

14、 ， 但 內(nèi) 容 已 有 很 大 變 化 ， 它 是 一 種 應(yīng) 用于 許 多 領(lǐng) 域 的 廣 泛 的 分 析 研 究 方 法 ， 在 經(jīng) 濟(jì) 理 論 研 究 和 實(shí) 證 研 究 中 也 發(fā) 揮 著 重 要 作 用 。 回 歸 分 析 的 內(nèi) 容 與 步 驟 ：統(tǒng) 計(jì) 檢 驗(yàn) 通 過 后 ， 最 后 是 利 用 回 歸 模 型 ， 根 據(jù) 自 變 量 去 估 計(jì) 、 預(yù) 測(cè) 因 變 量 。 回 歸 分 析 通 過 一 個(gè) 變 量 或 一 些 變 量 的 變 化 解 釋 另 一 變 量 的 變 化 。 其 主 要 內(nèi) 容 和 步 驟 是 ，首 先 根 據(jù) 理 論 和 對(duì) 問 題 的 分 析 判

15、斷 ， 將 變 量 分 為 自 變 量 和 因 變 量 ；其 次 ， 設(shè) 法 找 出 合 適 的 數(shù) 學(xué) 方 程 式 （ 即 回 歸 模 型 ） 描 述 變 量 間 的 關(guān) 系 ；由 于 涉 及 到 的 變 量 具 有 不 確 定 性 ， 接 著 還 要 對(duì) 回 歸 模 型 進(jìn) 行 統(tǒng) 計(jì) 檢 驗(yàn) ； 例 1 從 某 大 學(xué) 中 隨 機(jī) 選 取 8名 女 大 學(xué) 生 ， 其 身 高 和 體 重 數(shù) 據(jù) 如 表 1-1所 示 。編 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8身 高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170體 重 /kg 48 57 50 54 64 61 4

16、3 59求 根 據(jù) 一 名 女 大 學(xué) 生 的 身 高 預(yù) 報(bào) 她 的 體 重 的 回 歸 方 程 ， 并 預(yù) 報(bào) 一 名 身 高 為172cm的 女 大 學(xué) 生 的 體 重 。案 例 1： 女 大 學(xué) 生 的 身 高 與 體 重解 ： 1、 選 取 身 高 為 自 變 量 x， 體 重 為 因 變 量 y， 作 散 點(diǎn) 圖 ：2、 由 散 點(diǎn) 圖 知 道 身 高 和 體 重 有 比 較 好 的線 性 相 關(guān) 關(guān) 系 ， 因 此 可 以 用 線 性 回 歸 方 程刻 畫 它 們 之 間 的 關(guān) 系 。3、 從 散 點(diǎn) 圖 還 看 到 ， 樣 本 點(diǎn) 散 布 在 某 一 條直 線 的 附 近 ，

17、 而 不 是 在 一 條 直 線 上 ， 所 以不 能 用 一 次 函 數(shù) y=bx+a描 述 它 們 關(guān) 系 。 我 們 可 以 用 下 面 的 線 性 回 歸 模 型 來 表 示 ：y=bx+a+e， 其 中 a和 b為 模 型 的 未 知 參 數(shù) ，e稱 為 隨 機(jī) 誤 差 。 思 考 P3產(chǎn) 生 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) e的 原 因 是 什 么 ？ 思 考 P4產(chǎn) 生 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) e的 原 因 是 什 么 ？隨 機(jī) 誤 差 e的 來 源 (可 以 推 廣 到 一 般 ） ：1、 其 它 因 素 的 影 響 ： 影 響 身 高 y 的 因 素 不 只 是 體 重 x， 可 能 還 包

18、 括 遺 傳 基 因 、 飲 食 習(xí) 慣 、 生 長(zhǎng) 環(huán) 境 等 因 素 ；2、 用 線 性 回 歸 模 型 近 似 真 實(shí) 模 型 所 引 起 的 誤 差 ；3、 身 高 y 的 觀 測(cè) 誤 差 。 函 數(shù) 模 型 與 回 歸 模 型 之 間 的 差 別函 數(shù) 模 型 ： abxy 回 歸 模 型 ： eabxy 可 以 提 供選 擇 模 型 的 準(zhǔn) 則 函 數(shù) 模 型 與 回 歸 模 型 之 間 的 差 別函 數(shù) 模 型 ： abxy 回 歸 模 型 ： eabxy 線 性 回 歸 模 型 y=bx+a+e增 加 了 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) e， 因 變 量 y的 值 由自 變 量 x和 隨

19、機(jī) 誤 差 項(xiàng) e共 同 確 定 ， 即 自 變 量 x只 能 解 析 部 分 y的 變化 。 在 統(tǒng) 計(jì) 中 ， 我 們 也 把 自 變 量 x稱 為 解 析 變 量 ， 因 變 量y稱 為 預(yù) 報(bào) 變 量 。 例 1 從 某 大 學(xué) 中 隨 機(jī) 選 取 8名 女 大 學(xué) 生 ， 其 身 高 和 體 重 數(shù) 據(jù) 如 表 1-1所 示 。編 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8身 高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170體 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59求 根 據(jù) 一 名 女 大 學(xué) 生 的 身 高 預(yù) 報(bào) 她 的 體 重 的 回 歸

20、 方 程 ， 并 預(yù) 報(bào) 一 名 身 高 為172cm的 女 大 學(xué) 生 的 體 重 。案 例 1： 女 大 學(xué) 生 的 身 高 與 體 重解 ： 1、 選 取 身 高 為 自 變 量 x， 體 重 為 因 變 量 y， 作 散 點(diǎn) 圖 ：2、 由 散 點(diǎn) 圖 知 道 身 高 和 體 重 有 比 較 好 的線 性 相 關(guān) 關(guān) 系 ， 因 此 可 以 用 線 性 回 歸 方 程刻 畫 它 們 之 間 的 關(guān) 系 。3、 從 散 點(diǎn) 圖 還 看 到 ， 樣 本 點(diǎn) 散 布 在 某 一 條直 線 的 附 近 ， 而 不 是 在 一 條 直 線 上 ， 所 以 不 能 用 一 次 函 數(shù) y=bx+a

21、描 述 它 們 關(guān) 系 。 我 們 可 以 用 下 面 的 線 性 回 歸 模 型 來 表 示 ：y=bx+a+e， 其 中 a和 b為 模 型 的 未 知 參 數(shù) ，e稱 為 隨 機(jī) 誤 差 。 例 1 從 某 大 學(xué) 中 隨 機(jī) 選 取 8名 女 大 學(xué) 生 ， 其 身 高 和 體 重 數(shù) 據(jù) 如 表 1-1所 示 。5943616454505748體 重 /kg 170155165175170157165165身 高 /cm 87654321編 號(hào)求 根 據(jù) 一 名 女 大 學(xué) 生 的 身 高 預(yù) 報(bào) 她 的 體 重 的 回 歸 方 程 ， 并 預(yù) 報(bào) 一 名 身 高 為172cm的 女

22、 大 學(xué) 生 的 體 重 。根 據(jù) 最 小 二 乘 法 估 計(jì) 和 就 是 未 知 參 數(shù) a和 b的 最 好 估 計(jì) ，a b制 表 xi2xi yiyixi 7 8 合 計(jì)654321i 2i i ix y x x y n ni=1 i=1 ， ， ， . 例 1 從 某 大 學(xué) 中 隨 機(jī) 選 取 8名 女 大 學(xué) 生 ， 其 身 高 和 體 重 數(shù) 據(jù) 如 表 1-1所 示 。5943616454505748體 重 /kg 170155165175170157165165身 高 /cm 87654321編 號(hào)求 根 據(jù) 一 名 女 大 學(xué) 生 的 身 高 預(yù) 報(bào) 她 的 體 重 的 回

23、 歸 方 程 ， 并 預(yù) 報(bào) 一 名 身 高 為172cm的 女 大 學(xué) 生 的 體 重 。根 據(jù) 最 小 二 乘 法 估 計(jì) 和 就 是 未 知 參 數(shù) a和 b的 最 好 估 計(jì) ，a b于 是 有 b= 1 221 0.849n i ii n ii x y nx yx nx 85.712a y bx 所 以 回 歸 方 程 是 0.849 85.712y x 所 以 ， 對(duì) 于 身 高 為 172cm的 女 大 學(xué) 生 ， 由 回 歸 方 程 可 以 預(yù) 報(bào) 其 體 重 為 0.849 72 85.712 60.316( )y kg ( , )x y 稱 為樣 本 點(diǎn) 的 中 心探 究

24、P4：身 高 為 172cm的 女 大 學(xué) 生 的 體 重 一 定 是 60.316kg嗎 ？ 如果 不 是 ， 你 能 解 析 一 下 原 因 嗎 ？ 探 究 P4：身 高 為 172cm的 女 大 學(xué) 生 的 體 重 一 定 是 60.316kg嗎 ？如 果 不 是 ， 你 能 解 析 一 下 原 因 嗎 ？答 ： 身 高 為 172cm的 女 大 學(xué) 生 的 體 重 不 一 定 是 60.316kg， 但 一 般 可 以 認(rèn) 為 她 的 體 重 在 60.316kg左 右 。 對(duì) 回 歸 模 型 進(jìn) 行 統(tǒng) 計(jì) 檢 驗(yàn) 表 1-4列 出 了 女 大 學(xué) 生 身 高 和 體 重 的 原 始

25、 數(shù) 據(jù) 以 及 相 應(yīng) 的 殘 差 數(shù) 據(jù) 。 在 研 究 兩 個(gè) 變 量 間 的 關(guān) 系 時(shí) ， 首 先 要 根 據(jù) 散 點(diǎn) 圖 來 粗 略 判 斷 它 們 是 否 線 性 相 關(guān) ，是 否 可 以 用 回 歸 模 型 來 擬 合 數(shù) 據(jù) 。殘 差 分 析 與 殘 差 圖 的 定 義 ： 然 后 ， 我 們 可 以 通 過 殘 差 來 判 斷 模 型 擬 合 的 效 果 ， 判 斷 原 始數(shù) 據(jù) 中 是 否 存 在 可 疑 數(shù) 據(jù) ， 這 方 面 的 分 析 工 作 稱 為 殘 差 分 析 。1 2, , , ne e e 編 號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8身 高/cm 165 165

26、 157 170 175 165 155 170體 重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59殘 差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我 們 可 以 利 用 圖 形 來 分 析 殘 差 特 性 ， 作 圖 時(shí) 縱 坐 標(biāo) 為 殘 差 ， 橫 坐 標(biāo) 可 以 選 為 樣 本編 號(hào) ， 或 身 高 數(shù) 據(jù) ， 或 體 重 估 計(jì) 值 等 ， 這 樣 作 出 的 圖 形 稱 為 殘 差 圖 。 殘 差 圖 的 制 作 及 作 用 。 坐 標(biāo) 縱 軸 為 殘 差 變 量 ， 橫 軸 可 以 有 不 同 的 選 擇 ；

27、 若 模 型 選 擇 的 正 確 ， 殘 差 圖 中 的 點(diǎn) 應(yīng) 該 分 布 在 以橫 軸 為 心 的 帶 形 區(qū) 域 ； 對(duì) 于 遠(yuǎn) 離 橫 軸 的 點(diǎn) ， 要 特 別 注 意 。身高與體重殘差圖 異常點(diǎn) 錯(cuò) 誤 數(shù) 據(jù) 模 型 問 題 幾 點(diǎn) 說 明 ： 第 一 個(gè) 樣 本 點(diǎn) 和 第 6個(gè) 樣 本 點(diǎn) 的 殘 差 比 較 大 ， 需 要 確 認(rèn) 在 采 集 過 程 中 是 否 有 人 為的 錯(cuò) 誤 。 如 果 數(shù) 據(jù) 采 集 有 錯(cuò) 誤 ， 就 予 以 糾 正 ， 然 后 再 重 新 利 用 線 性 回 歸 模 型 擬 合 數(shù)據(jù) ； 如 果 數(shù) 據(jù) 采 集 沒 有 錯(cuò) 誤 ， 則 需 要

28、 尋 找 其 他 的 原 因 。 另 外 ， 殘 差 點(diǎn) 比 較 均 勻 地 落 在 水 平 的 帶 狀 區(qū) 域 中 ， 說 明 選 用 的 模 型 計(jì) 較 合 適 ， 這樣 的 帶 狀 區(qū) 域 的 寬 度 越 窄 ， 說 明 模 型 擬 合 精 度 越 高 ， 回 歸 方 程 的 預(yù) 報(bào) 精 度 越 高 。 樣 本 決 定 系 數(shù) （ 判 定 系 數(shù) ）1.回 歸 平 方 和 占 總 偏 差 平 方 和 的 比 例 2 22 1 12 2 1 1 1 n ni ii in ni ii iy y y yR y y y y 我 們 可 以 用 相 關(guān) 指 數(shù) R2來 刻 畫 回 歸 的 效 果

29、， 其 計(jì) 算 公 式 是 22 1 21( )1 1( )n i ii n ii y yR y y 殘 差 平 方 和 。總 偏 差 平 方 和顯 然 ， R2的 值 越 大 ， 說 明 殘 差 平 方 和 越 小 ， 也 就 是 說 模 型 擬 合 效 果 越 好 。在 線 性 回 歸 模 型 中 ， R2表 示 解 析 變 量 對(duì) 預(yù) 報(bào) 變 量 變 化 的 貢 獻(xiàn) 率 。 R2越 接 近 1， 表 示 回 歸 的 效 果 越 好 （ 因 為 R2越 接 近 1， 表 示 解 析 變 量 和 預(yù) 報(bào) 變 量 的線 性 相 關(guān) 性 越 強(qiáng) ） 。 如 果 某 組 數(shù) 據(jù) 可 能 采 取 幾

30、 種 不 同 回 歸 方 程 進(jìn) 行 回 歸 分 析 ， 則 可 以 通 過 比 較 R 2的 值來 做 出 選 擇 ， 即 選 取 R2較 大 的 模 型 作 為 這 組 數(shù) 據(jù) 的 模 型 。總 的 來 說 ：相 關(guān) 指 數(shù) R2是 度 量 模 型 擬 合 效 果 的 一 種 指 標(biāo) 。在 線 性 模 型 中 ， 它 代 表 自 變 量 刻 畫 預(yù) 報(bào) 變 量 的 能 力 。 我 們 可 以 用 相 關(guān) 指 數(shù) R2來 刻 畫 回 歸 的 效 果 ， 其 計(jì) 算 公 式 是 22 1 21( )1 1( )n i ii n ii y yR y y 殘 差 平 方 和 ?？?偏 差 平 方

31、和 1354總 計(jì) 0.36128.361殘 差 變 量 0.64225.639解 釋 變 量 比 例平 方 和來 源表 1-3 從 表 3-1中 可 以 看 出 ， 解 析 變 量 對(duì) 總 效 應(yīng) 約 貢 獻(xiàn) 了 64%， 即 R2 0.64， 可 以 敘 述 為“ 身 高 解 析 了 64%的 體 重 變 化 ” ， 而 隨 機(jī) 誤 差 貢 獻(xiàn) 了 剩 余 的 36%。 所 以 ， 身 高 對(duì) 體 重 的 效 應(yīng) 比 隨 機(jī) 誤 差 的 效 應(yīng) 大 得 多 。 用 身 高 預(yù) 報(bào) 體 重 時(shí) ， 需 要 注 意 下 列 問 題 ：1、 回 歸 方 程 只 適 用 于 我 們 所 研 究 的

32、 樣 本 的 總 體 ；2、 我 們 所 建 立 的 回 歸 方 程 一 般 都 有 時(shí) 間 性 ；3、 樣 本 采 集 的 范 圍 會(huì) 影 響 回 歸 方 程 的 適 用 范 圍 ；4、 不 能 期 望 回 歸 方 程 得 到 的 預(yù) 報(bào) 值 就 是 預(yù) 報(bào) 變 量 的 精 確 值 。 事 實(shí) 上 ， 它 是 預(yù) 報(bào) 變 量 的 可 能 取 值 的 平 均 值 。這 些 問 題 也 使 用 于 其 他 問 題 。涉 及 到 統(tǒng) 計(jì) 的 一 些 思 想 ：模 型 適 用 的 總 體 ；模 型 的 時(shí) 間 性 ；樣 本 的 取 值 范 圍 對(duì) 模 型 的 影 響 ； 模 型 預(yù) 報(bào) 結(jié) 果 的

33、正 確 理 解 。 小 結(jié) ： 一 般 地 ， 建 立 回 歸 模 型 的 基 本 步 驟 為 ：（ 1） 確 定 研 究 對(duì) 象 ， 明 確 哪 個(gè) 變 量 是 解 析 變 量 ， 哪 個(gè) 變 量 是 預(yù) 報(bào) 變 量 。（ 2） 畫 出 確 定 好 的 解 析 變 量 和 預(yù) 報(bào) 變 量 的 散 點(diǎn) 圖 ， 觀 察 它 們 之 間 的 關(guān) 系 （ 如 是 否 存 在 線 性 關(guān) 系 等 ） 。（ 3） 由 經(jīng) 驗(yàn) 確 定 回 歸 方 程 的 類 型 （ 如 我 們 觀 察 到 數(shù) 據(jù) 呈 線 性 關(guān) 系 ， 則 選 用 線 性 回 歸 方 程 y=bx+a） .（ 4） 按 一 定 規(guī) 則

34、估 計(jì) 回 歸 方 程 中 的 參 數(shù) （ 如 最 小 二 乘 法 ） 。（ 5） 得 出 結(jié) 果 后 分 析 殘 差 圖 是 否 有 異 常 （ 個(gè) 別 數(shù) 據(jù) 對(duì) 應(yīng) 殘 差 過 大 ， 或 殘 差 呈 現(xiàn) 不 隨 機(jī) 的 規(guī) 律 性 ， 等 等 ） ， 過 存 在 異 常 ， 則 檢 查 數(shù) 據(jù) 是 否 有 誤 ， 或 模 型 是 否 合 適 等 。 建 構(gòu) 數(shù) 學(xué) 模 型 我 們 將 y=bx+a+e 稱 為 線 性 回 歸 模 型 其 中 a, b為 模 型 的 未 知 參 數(shù) ， 解 釋 變 量 x， 預(yù) 報(bào) 變 量 y，e稱 為 隨 機(jī) 誤 差 。 思 考 1： e產(chǎn) 生 的 主

35、 要 原 因 是 什 么 ？ (1)所 用 確 定 函 數(shù) 模 型 不 恰 當(dāng) ； (2)忽 略 了 某 些 因 素 的 影 響 ； (3)觀 測(cè) 誤 差 。 思 考 2： 如 何 檢 查 擬 合 效 果 的 好 壞 ？（ 1） 散 點(diǎn) 圖（ 2） 相 關(guān) 系 數(shù)（ 3） 殘 差 分 析（ 4） 回 歸 效 果 的 相 關(guān) 系 數(shù) ii yye ni ii yy1 2)( 21 22 )( )(1 yy yyR ini ii 被 害 棉 花 紅 鈴 蟲 喜 高 溫 高 濕 ， 適 宜 各 蟲態(tài) 發(fā) 育 的 溫 度 為 25一 32C， 相 對(duì) 濕度 為 80 一 100 ， 低 于 20C和

36、高 于35C卵 不 能 孵 化 ， 相 對(duì) 濕 度 60 以下 成 蟲 不 產(chǎn) 卵 。 冬 季 月 平 均 氣 溫 低于 一 4 8 時(shí) ， 紅 鈴 蟲 就 不 能 越 冬而 被 凍 死 。 問 題 情 景 1953年 ， 18省 發(fā) 生 紅 鈴 蟲 大 災(zāi) 害 ， 受 災(zāi)面 積 300萬 公 頃 ， 損 失 皮 棉 約 二 十 萬 噸 。 溫 度 xoC 21 23 25 27 29 32 35產(chǎn) 卵 數(shù) y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325例 2、 現(xiàn) 收 集 了 一 只 紅 鈴 蟲 的 產(chǎn) 卵 數(shù) y和 溫 度 x之 間 的7組 觀 測(cè) 數(shù) 據(jù) 列 于 下 表 ：（ 1）

37、試 建 立 產(chǎn) 卵 數(shù) y與 溫 度 x之 間 的 回 歸 方程 ； 并 預(yù) 測(cè) 溫 度 為 28oC時(shí) 產(chǎn) 卵 數(shù) 目 。（ 2） 你 所 建 立 的 模 型 中 溫 度 在 多 大 程 度 上解 釋 了 產(chǎn) 卵 數(shù) 的 變 化 ？ 問 題 呈 現(xiàn) ： 假 設(shè) 線 性 回 歸 方 程 為 ： =bx+a選 變 量畫 散 點(diǎn) 圖選 模 型分 析 和 預(yù) 測(cè)估 計(jì) 參 數(shù) 由 計(jì) 算 器 得 ： 線 性 回 歸 方 程 為 y=19.87x-463.73相 關(guān) 指 數(shù) R2=r20.8642=0.7464 解 ： 選 取 氣 溫 為 解 釋 變 量 x， 產(chǎn) 卵 數(shù) 為 預(yù)報(bào) 變 量 y。所 以

38、 ， 一 次 函 數(shù) 模 型 中 溫 度 解 釋 了 74.64%的 產(chǎn) 卵 數(shù) 變 化 。問 題 探 究 050100150200250300350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 方 案 1當(dāng) x=28時(shí) ， y =19.87 28-463.73 93 9366！ ?模 型 不 好 ？奇 怪 ？ y=bx2+a 變 換 y=bx+a非 線 性 關(guān) 系 線 性 關(guān) 系 方 案 2問 題 選 用 y=bx2+a ， 還 是 y=bx2+cx+a ？問 題 3 產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫問 題 2 如 何 求 a、 b ？合 作 探 究 方 案 2解 答平 方

39、變 換 ： 令 t=x2， 產(chǎn) 卵 數(shù) y和 溫 度 x之 間 二 次 函 數(shù) 模 型 y=bx2+a就 轉(zhuǎn) 化 為 產(chǎn) 卵 數(shù) y和 溫 度 的 平 方 t之 間 線 性 回 歸 模 型 y=bt+a溫 度 21 23 25 27 29 32 35溫 度 的 平 方 t 441 529 625 729 841 1024 1225產(chǎn) 卵 數(shù) y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325作 散 點(diǎn) 圖 ， 并 由 計(jì) 算 器 得 ： y和 t之 間 的 線 性 回 歸 方 程 為y=0.367t-202.54， 相 關(guān) 指 數(shù) R2=r2 0.8962=0.802將 t=x 2代 入 線

40、性 回 歸 方 程 得 ： y=0.367x2 -202.54當(dāng) x=28時(shí) ， y=0.367 282-202.54 85， 且 R2=0.802，所 以 ， 二 次 函 數(shù) 模 型 中 溫 度 解釋 了 80.2%的 產(chǎn) 卵 數(shù) 變 化 。 t367 -20 .54 R2=r2 .8962=0.802y=0.367x2 -202.54 問 題 變 換 y=bx+a非 線 性 關(guān) 系 線 性 關(guān) 系2110cxy c問 題 如 何 選 取 指 數(shù) 函 數(shù) 的 底 ?產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫 指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 方 案 3合 作 探 究 對(duì) 數(shù) 令 ， 則 就 轉(zhuǎn) 換 為 z=bx+a 對(duì) 數(shù) 變

41、 換 ： 在 中 兩 邊 取 常 用 對(duì) 數(shù) 得2110c xy c2 21 1 1 2 2 1lg lg( 10 ) lg lg10 lg lg10 lgc x c xy c c c c x c x c 2110c xy c1 2lg , lg ,z y a c b c 方 案 3解 答溫 度 xoC 21 23 25 27 29 32 35z=lgy 0.85 1.04 1.32 1.38 1.82 2.06 2.51產(chǎn) 卵 數(shù) y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 xz由 計(jì) 算 器 得 ： z關(guān) 于 x的 線 性 回 歸 方 程為 z=0.118x-1.665 ，相 關(guān)

42、指 數(shù) R 2=r20.99252=0.985當(dāng) x=28oC 時(shí) ， y 44 ， 指 數(shù) 回 歸 模 型 中溫 度 解 釋 了 98.5%的 產(chǎn) 卵 數(shù) 的 變 化 最 好 的 模 型 是哪 個(gè) ? 產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫產(chǎn) 卵 數(shù) 氣溫線 性 模 型 二 次 函 數(shù) 模 型 指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 函 數(shù) 模 型 相 關(guān) 指 數(shù) R2線 性 回 歸 模 型 0.7464二 次 函 數(shù) 模 型 0.802指 數(shù) 函 數(shù) 模 型 0.985最 好 的 模 型 是 哪 個(gè) ?比一比 選 修 1-2： P13-3練 習(xí) 小 結(jié) :（ 1） 如 何 發(fā) 現(xiàn) 兩 個(gè) 變 量 的 關(guān) 系 ？（ 2） 如 何 選 用 、 建 立 適 當(dāng) 的 非 線 性 回 歸 模 型 ？（ 3） 如 何 比 較 不 同 模 型 的 擬 合 效 果 ？ 歸 納 小 結(jié)