大學(xué)高數(shù)第七章7-4平面與直線

《大學(xué)高數(shù)第七章7-4平面與直線》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《大學(xué)高數(shù)第七章7-4平面與直線（56頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、下 頁 返 回上 頁 一 、 平 面 及 其 方 程二 、 直 線 及 其 方 程三 、 小 結(jié) 思 考 題第 四 節(jié) 平 面 與 直 線 下 頁 返 回上 頁x yzo 0M M 如 果 一 非 零 向 量 垂 直 于 一平 面 ， 這 向 量 就 叫 做 該 平 面 的法 線 向 量 法 線 向 量 的 特 征 ： 垂 直 于 平 面 內(nèi) 的 任 一 向 量 已 知 , CBAn 為 平 面 上 一 點(diǎn) ，),( 0000 zyxM設(shè) 平 面 上 的 任 一 點(diǎn) 為 ),( zyxMnMM 0必 有 00 nMM n( normal vector )1、 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程一

2、、 平 面 及 其 方 程 下 頁 返 回上 頁 , 0000 zzyyxxMM 0)()()( 000 zzCyyBxxA 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程 平 面 上 的 點(diǎn) 都 滿 足 上 方 程 ， 不 在 平 面 上 的點(diǎn) 都 不 滿 足 上 方 程 ， 上 述 方 程 稱 為 平 面 的 方 程 ，平 面 稱 為 方 程 的 圖 形 其 中 法 向 量 , CBAn 已 知 點(diǎn) ).,( 000 zyx 下 頁 返 回上 頁 例 1 求 過 三 點(diǎn) )4,1,2( A 、 )2,3,1( B 和)3,2,0(C 的 平 面 方 程 .解 6,4,3 AB 1,3,2 AC取 ACAB

3、n ,1,9,14 所 求 平 面 方 程 為 ,0)4()1(9)2(14 zyx化 簡 得 .015914 zyx 下 頁 返 回上 頁 例 2 求 過 點(diǎn) )1,1,1( ， 且 垂 直 于 平 面 7 zyx 和051223 zyx 的 平 面 方 程 .,1,1,11 n 12,2,32 n取 法 向 量 21 nnn ,5,15,10 ,0)1(5)1(15)1(10 zyx化 簡 得 .0632 zyx所 求 平 面 方 程 為解 下 頁 返 回上 頁 由 平 面 的 點(diǎn) 法 式 方 程 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0)( 000 CzByAxCzByAx D0

4、DCzByAx 平 面 的 一 般 方 程法 向 量 ., CBAn 2、 平 面 的 一 般 方 程 下 頁 返 回上 頁 平 面 一 般 方 程 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,0)1( D 平 面 通 過 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) ；,0)2( A ,0,0DD 平 面 通 過 軸 ；x平 面 平 行 于 軸 ；x,0)3( BA 平 面 平 行 于 坐 標(biāo) 面 ；xoy類 似 地 可 討 論 情 形 .0,0 CBCA 0,0 CB類 似 地 可 討 論 情 形 . 下 頁 返 回上 頁 例 3 設(shè) 平 面 過 原 點(diǎn) 及 點(diǎn) )2,3,6( ， 且 與 平 面824 zyx 垂 直 ， 求 此

5、 平 面 方 程 .設(shè) 平 面 為 ,0 DCzByAx由 平 面 過 原 點(diǎn) 知 ,0D 由 平 面 過 點(diǎn) )2,3,6( 知 0236 CBA,2,1,4 n 024 CBA,32CBA .0322 zyx所 求 平 面 方 程 為 解 下 頁 返 回上 頁 例 4 設(shè) 平 面 與 zyx , 三 軸 分 別 交 于 )0,0,(aP 、)0,0( bQ 、 ),0,0( cR （ 其 中 0a ， 0b ， 0c ） ， 求 此 平 面 方 程 .設(shè) 平 面 為 ,0 DCzByAx將 三 點(diǎn) 坐 標(biāo) 代 入 得 ,0,0,0DcC DbB DaA ,aDA ,bDB .cDC 解 下

6、 頁 返 回上 頁 ,aDA ,bDB ,cDC 將代 入 所 設(shè) 方 程 得 1 czbyax 平 面 的 截 距 式 方 程x 軸 上 截 距 y軸 上 截 距 z軸 上 截 距 ( the intercept form) 下 頁 返 回上 頁 例 5 求 平 行 于 平 面 0566 zyx 而 與 三 個(gè) 坐標(biāo) 面 所 圍 成 的 四 面 體 體 積 為 一 個(gè) 單 位 的 平 面 方 程 .設(shè) 平 面 為 ,1 czbyax x yzo,1V ,12131 abc由 所 求 平 面 與 已 知 平 面 平 行 得 ,611161 cba （ 向 量 平 行 的 充 要 條 件 ）解

7、下 頁 返 回上 頁 ,61161 cba 化 簡 得 令 tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt 61161611 代 入 體 積 式,61 t ,1,6,1 cba .666 zyx所 求 平 面 方 程 為 下 頁 返 回上 頁 解 2: 由 所 求 平 面 與 已 知 平 面 平 行 得 :0D 66 Dzyx ,166 DzDyDx即 166D61 DD即 D = 6 666 zyx由 所 求 平 面 為 下 頁 返 回上 頁 21)1( ;0212121 CCBBAA21)2( / .212121 CCBBAA 相 交與 21)3( 三 、 兩 平 面 的 相

8、 互 關(guān) 系相 交 程 度 的 反 映 指 標(biāo) 兩 平 面 的 夾 角 下 頁 返 回上 頁 定 義 （ 通 常 取 銳 角 ）11n 22n 兩 平 面 法 向 量 之 間 的 夾 角 稱 為 兩 平 面 的夾 角 . ,0: 11111 DzCyBxA ,0: 22222 DzCyBxA , 1111 CBAn , 2222 CBAn 兩 平 面 的 夾 角 下 頁 返 回上 頁 按 照 兩 向 量 夾 角 余 弦 公 式 有 222222212121 212121 |cos CBACBA CCBBAA 兩 平 面 夾 角 余 弦 公 式 下 頁 返 回上 頁 例 6 研 究 以 下 各

9、組 里 兩 平 面 的 位 置 關(guān) 系 ： 013,012)1( zyzyx 01224,012)2( zyxzyx 02224,012)3( zyxzyx解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|cos 601cos 兩 平 面 相 交 ， 夾 角 .601arccos 下 頁 返 回上 頁 )2( ,1,1,21 n 2,2,42 n,212142 兩 平 面 平 行21 )0,1,1()0,1,1( MM兩 平 面 平 行 但 不 重 合 )3( ,212142 21 )0,1,1()0,1,1( MM 兩 平 面 平 行兩 平 面 重 合 . 下 頁 返 回上 頁 設(shè)

10、 ),( 0000 zyxP 是 平 面 ByAx 0 DCz 外 一 點(diǎn) ， 求 0P 到 平 面 的 距 離 . ),( 1111 zyxP |Pr| 01PPjd n 1P Nn 0P00101Pr nPPPPjn , 10101001 zzyyxxPP 4、 點(diǎn) 到 平 面 的 距 離分 析 下 頁 返 回上 頁 2222222220 , CBA CCBA BCBA An 00101Pr nPPPPjn 222 10222 10222 10 )()()( CBA zzCCBA yyBCBA xxA ,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx 下 頁 返 回上 頁 0

11、111 DCzByAx )( 1 P01Pr PPjn ,222 000 CBA DCzByAx .| 222 000 CBA DCzByAxd 點(diǎn) 到 平 面 距 離 公 式 下 頁 返 回上 頁x y zo方 向 向 量 ( direction vector )的 定 義 如 果 一 非 零 向 量 平 行 于一 條 已 知 直 線 ， 這 個(gè) 向 量 稱為 這 條 直 線 的 方 向 向 量 s L),( 0000 zyxM 0M M,LM ),( zyxM sMM 0 /, pnms , 0000 zzyyxxMM 1、 直 線 的 參 數(shù) 方 程 與 對 稱 式 方 程二 、 直 線

12、 及 其 方 程 下 頁 返 回上 頁 ptzz ntyy mtxx 000直 線 的 參 數(shù) 方 程 直 線 的 對 稱 式 方 程方 向 向 量 的 余 弦 稱 為 直 線 的 方 向 余 弦 .pzznyymxx 000 直 線 的 一 組 方 向 數(shù) 下 頁 返 回上 頁 例 7 一 直 線 過 點(diǎn) )4,3,2( A ， 且 和 y 軸 垂 直 相 交 ， 求 其 方 程 . 解 因 為 直 線 和 y軸 垂 直 相 交 , 所 以 交 點(diǎn) 為 ),0,3,0( B取 BAs ,4,0,2所 求 直 線 方 程 .440 32 2 zyx 下 頁 返 回上 頁x y zo 1 2定

13、義 空 間 直 線 可 看 成 兩 平 面 的 交 線 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA空 間 直 線 的 一 般 方 程 L2、 直 線 的 一 般 式 方 程 下 頁 返 回上 頁 例 8 用 對 稱 式 方 程 及 參 數(shù) 方 程 表 示 直 線.0432 01 zyx zyx解 在 直 線 上 任 取 一 點(diǎn) ),( 000 zyx取 10 x ,063 0200 00 zy zy解 得 2,0 00 zy點(diǎn) 坐 標(biāo) ),2,0,1( 下 頁 返 回上 頁 因 所 求 直 線 與 兩 平 面 的

14、法 向 量 都 垂 直取 21 nns ,3,1,4 對 稱 式 方 程 ,32104 1 zyx參 數(shù) 方 程 .32 41 tz ty tx 下 頁 返 回上 頁 3、 空 間 兩 直 線 的 關(guān) 系1L 與 共 面 0, 2121 ssMM2L 2L1L 與 為 異 面 直 線 0, 2121 ssMM為為 1111 , zyxM 2222 , zyxM設(shè) 1L 上 的 點(diǎn) ，上 的 點(diǎn) 。2L1M 2M 下 頁 返 回上 頁 兩 直 線 的 特 殊 位 置 關(guān) 系 判 定 ：21)1( LL ,0212121 ppnnmm21)2( LL / ,212121 ppnnmm 直 線 :1

15、L直 線 :2L ,0,4,11 s ,1,0,02 s,021 ss ,21 ss 例 如 ， .21 LL即 下 頁 返 回上 頁 例 9 求 過 點(diǎn) )5,2,3( 且 與 兩 平 面 34 zx 和152 zyx 的 交 線 平 行 的 直 線 方 程 . 解 設(shè) 所 求 直 線 的 方 向 向 量 為 , pnms 根 據(jù) 題 意 知 ,1ns ,2ns 取 21 nns ,1,3,4 .153 24 3 zyx所 求 直 線 的 方 程 下 頁 返 回上 頁 直 線 :1L ,1 11 11 1 pzzn yymxx 直 線 :2L ,2 22 22 2 pzzn yymxx 22

16、2222212121 21212121 |),cos( pnmpnm ppnnmmLL 兩 直 線 的 方 向 向 量 的 夾 角 稱 之 .（ 銳 角 ）兩 直 線 的 夾 角 公 式夾 角（ 3） 兩 直 線 的 下 頁 返 回上 頁 解 先 作 一 過 點(diǎn) M且 與 已 知 直 線 垂 直 的 平 面 0)3()1(2)2(3 zyx再 求 已 知 直 線 與 該 平 面 的 交 點(diǎn) N,令 tzyx 12131 .12 13 tz ty tx M L 下 頁 返 回上 頁 代 入 平 面 方 程 得 ,73t 交 點(diǎn) )73,713,72( N取 所 求 直 線 的 方 向 向 量 為

17、 MNMN 373,1713,272 ,724,76,712 所 求 直 線 方 程 為 .43112 2 zyx 下 頁 返 回上 頁 4、 直 線 與 平 面 的 關(guān) 系 ,: 000 pzznyymxxL ,0: DCzByAx , pnms , CBAn （ 3） 與 相 交 于 一 點(diǎn)L 0 CpBnAm（ 1） 與 平 行 或 含 于 L L 0 CpBnAmL)2( .pCnBmA 下 頁 返 回上 頁 定 義 直 線 和 它 在 平 面 上 的 投 影 直 線 的 夾角 稱 為 直 線 與 平 面 的 夾 角 0 .2 (4)直 線 與 平 面 的 夾 角（ 1） 投 影 直

18、線 可 求 嗎 ？考 慮 法 向 量 與 直 線 的 夾 角 易 求 嗎 ？ 與 所 研 究 向 量 的 關(guān) 系 是 什 么 ？（ 2） 1L2L 下 頁 返 回上 頁 直 線 :1L ,1 11 11 1 pzzn yymxx 投 影 直 線 :2L ,2 22 22 2 pzzn yymxx 222222212121 21212121 |),cos( pnmpnm ppnnmmLL 兩 直 線 的 夾 角 公 式借 助 投 影 直 線 求 直 線 與 平 面 的 夾 角 下 頁 返 回上 頁 0 .2 2),( ns 2),( ns 借 助 法 向 量 求 直 線 與 平 面 的 夾 角

19、222222 |)2cos(sin pnmCBA CpBnAm 直 線 與 平 面 的 夾 角 公 式 .cos 2 cossin 2 下 頁 返 回上 頁 例 11 設(shè) 直 線 :L 21121 zyx ， 平 面: 32 zyx ， 求 直 線 與 平 面 的 夾 角 . 解 ,2,1,1 n ,2,1,2 s 222222 |sin pnmCBA CpBnAm 96 |22)1()1(21| .637637arcsin 為 所 求 夾 角 下 頁 返 回上 頁 ., 222111 不 成 比 例、與、其 中 系 數(shù)所 確 定 CBACBA )2(0 )1(02222 1111 DzCyB

20、xA DzCyBxA設(shè) 直 線 由 方 程L 0)( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 則 三 元 一 次 方 程 .2） 除 外 ）平 面 （ 平 面 （ 的 所 有直 線為 任 意 實(shí) 數(shù) ） 表 示 了 過（ 其 中 L5、 過 直 線 的 平 面 束 下 頁 返 回上 頁 0)( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 一 般 將 三 元 一 次 方 程 .的 平 面 束 的 方 程稱 為 過 直 線 L . 001 0112上 的 投 影 直 線 的 方 程 在 平 面求 直 線例 zyxzyx zyx ,0)1()1 zyxzyx （ 方 程 為設(shè) 過 已 知

21、 直 線 的 平 面 束解 ,0)1()1()1()1 zyx（即 下 頁 返 回上 頁 ,0111111 . ）（）（）（ 是它 與 已 知 平 面 垂 直 ， 于為 待 定 常 數(shù)其 中 .1 即 .01 zy 平 面 的 方 程 為代 入 平 面 束 方 程 得 投 影 .0,01zyx zy 程 為所 以 所 求 投 影 直 線 的 方 下 頁 返 回上 頁 平 面 的 方 程（ 熟 記 平 面 的 幾 種 特 殊 位 置 的 方 程 ）兩 平 面 的 關(guān) 系點(diǎn) 到 平 面 的 距 離 公 式點(diǎn) 法 式 方 程 .一 般 方 程 .截 距 式 方 程 . （ 注 意 兩 平 面 的 位

22、 置 特 征 ）三 、 小 結(jié) 下 頁 返 回上 頁 空 間 兩 直 線 的 關(guān) 系直 線 與 平 面 的 關(guān) 系過 直 線 的 平 面 束直 線 的 方 程 參 數(shù) 方 程一 般 式 方 程 對 稱 式 方 程 下 頁 返 回上 頁 思 考 題 1、 若 平 面 02 zkyx 與 平 面032 zyx 的 夾 角 為 4， 求 ?k 下 頁 返 回上 頁 思 考 題 1解 答 ,1)3(2)2(1 12)3(214cos 222222 k k,145 321 2 k k .270 k 下 頁 返 回上 頁 思 考 題 2、 在 直 線 方 程 pznymx 6 22 4 中 ，m、 n、

23、p各 怎 樣 取 值 時(shí) ， 直 線 與 坐 標(biāo) 面xoy 、 yoz都 平 行 . 下 頁 返 回上 頁 思 考 題 2解 答 ,6,2 pnms 且 有 .0 s,0ks ,0is 02 06m p ,0,6 mp,0 s ,0n故 當(dāng) 時(shí) 結(jié) 論 成 立 ,0m 6p,0n 下 頁 返 回上 頁 一 、 填 空 題 ： 1、 平 面 0 CzByAx 必 通 過 _， （ 其 中 CBA , 不 全 為 零 ） ； 2、 平 面 0 DCzBy _x軸 ； 3、 平 面 0CzBy _x軸 ； 4、 通 過 點(diǎn) )1,0,3( 且 與 平 面 012573 zyx 平 行 的 平 面 方

24、 程 為 _； 5、 通 過 ),0,0()0,0()0,0,( cba 、 三 點(diǎn) 的 平 面 方 _；6、 平 面 0522 zyx 與 xoy面 的 夾 角 余 弦 為 _ _， 與 yoz面 的 夾 角 余 弦 為 _， 與 zox面 的 夾 角 的 余 弦 為 _； 練 習(xí) 題 下 頁 返 回上 頁 7、 通 過 點(diǎn) )3,1,4( 且 平 行 于 直 線 512 3 zyx的 直 線 方 程 為 _； 8、 直 線 0123 09335 zyx zyx 與 直 線 01883 02322 zyx zyx 的 夾 角 的 余 弦 為 _； 9、 線 003zyx zyx 和 平 面

25、01 zyx 在 平 面012 zyx 上 的 夾 角 為 _； 10、 點(diǎn) )0,2,1( 在 平 面 012 zyx 上 的 投 影 為 _； 下 頁 返 回上 頁 11、 直 線 723 zyx 和 平 面 8723 zyx 的 關(guān) 系 是_； 12、 直 線 431 23 2 zyx 和 平 面 3 zyx 的 關(guān)系 是 _ . 二 、 指 出 下 列 各 平 面 的 特 殊 位 置 ， 并 畫 出 各 平 面 ： 1、 0632 yx ； 2、 1 zy ； 3、 056 zyx . 三 、 求 過 點(diǎn) )2,2,2(,)1,1,1( 和 )2,1,1( 三 點(diǎn)的 平 面 方 程 .

26、 四 、 點(diǎn) )1,0,1( 且 平 行 于 向 量 1,1,2a 和 0,1,1 b 的 平 面 方 程 . 下 頁 返 回上 頁 五 、 求 通 過 Z軸 和 點(diǎn) )2,1,3( 的 平 面 方 程 . 六 、 求 與 已 知 平 面 0522 zyx 平 行 且 與 三 坐 標(biāo) 面 所 構(gòu) 成 的 四 面 體 體 積 為 1 的 平 面 方 程 .七 、 對 稱 式 方 程 及 參 數(shù) 方 程 表 示 直 線 L ： 42 1zyx zyx . 八 、 過 點(diǎn) )2,1,3( 且 通 過 直 線 12 35 4 zyx 的 平 面 方 程 . 0923 042 zyx zyx直 線 在

27、平 面上 的 投 影 直 線 的 方 程 . 14 zyx九 、 下 頁 返 回上 頁 十 、 與 已 知 直 線 1L ： 1352 3 zyx 及 2L ： 147510 zyx 都 相 交 且 和 3L ： 137 18 2 zyx 平 行 的 直 線 L . 十 一 、 設(shè) 一 平 面 垂 直 于 平 面 0z ,并 通 過 從 點(diǎn))1,1,1( A 到 直 線 L： 0 01x zy 的 垂 線 ， 求此 平 面 的 方 程 . 十 二 、 求 兩 直 線 1L ： 110 1 zyx 和 2L ： 0212 zyx的 公 垂 線 L的 方 程 ， 及 公 垂 線 段 的 長 . 下

28、 頁 返 回上 頁 十 三 、 求 過 點(diǎn) )4,0,1( 且 平 行 于 平 面 01043 zyx 又 與 直 線 31 31 1 zyx 相 交 的 直 線 方 程 . 十 四 、 求 點(diǎn) )2,1,3( P 到 直 線 042 01zyx zyx 的 距 離 . 下 頁 返 回上 頁 一 、 1、 (0,0,0)； 2、 平 行 于 ； 3、 通 過 ； 4、 04573 zyx ； 5、 1 czbyax ； 6、 32,32,31 . 練 習(xí) 題 答 案7、 531124 zyx ； 8、 0； 9、 0； 10、 )32,32,35( ； 11、 垂 直 ； 12、 直 線 在

29、平 面 上 . 二 、 1、 平 行 于 軸z 的 平 面 ； 2、 平 行 于 軸x 的 平 面 ； 3、 通 過 原 點(diǎn) 的 平 面 . 三 、 023 zyx . 四 、 43 zyx . 五 、 03 yx . 六 、 3 3222 zyx . 下 頁 返 回上 頁 七 、 311121 zyx , tz ty tx 311 21 . 八 、 592298 zyx . 九 、 014 117373117 zyx zyx . 十 、 2257 265828 zyx 或 1755872 zyx . 十 一 、 012 yx . 下 頁 返 回上 頁 十 二 、 11x 234234 zy 或 010542 044 zyx zyx , 1d . 十 三 、 28419161 zyx . 十 四 、 223 .