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1、定 義 1 維 向 量設 有 n , 2121 nn yyyxxx nn yxyxyx 2211),( 令 .),( 的 內 積與稱 為 向 量 說 明 1 維 向 量 的 內 積 是 3維 向 量 數(shù) 量 積的 推 廣 ， 但 是 沒 有 3維 向 量 直 觀 的 幾 何 意 義 4nn .),( :, , 2 T 為內 積 可 用 矩 陣 記 號 表 示向 量 都 是 列如 果內 積 是 向 量 的 一 種 運 算 內 積 的 運 算 性 質 :, 為 實 數(shù)維 向 量為其 中 n );,(),()1( );,(),()2( );,(),(),()3( .0),(0,0),()4( 時 有
2、且 當 定 義 2 非 負 性.1 齊 次 性.2 三 角 不 等 式.3 . 范 數(shù)或長 度的維 向 量為稱 n向 量 的 長 度 具 有 下 述 性 質 ： ;0,0;0,0 時當時當 ; . ;),( 22221 nxxx 正 交 的 概 念 正 交 向 量 組 的 概 念 . ,0),( 與稱 向 量時當 正 交 . ,0 , 與 任 何 向 量 都 正 交則若由 定 義 知 若 一 非 零 向 量 組 中 的 向 量 兩 兩 正 交 ， 則 稱 該 向量 組 為 正 交 向 量 組 ,00 21111 T由 .01 從 而 有.02 r 同 理 可 得 ., 21 線 性 無 關故
3、r 使設 有 r , 21 證 明 02211 r 得左 乘 上 式 兩 端以 ,1aT 0111 T 正 交 向 量 組 的 性 質 線 性 無 關 .,則非 零 向 量 , 是 一 組 兩 兩 正 交 的,維 向 量若定 理 r rn 21 21 1 4 標 準 正 交 基 . , ,) ( , 3 21 21 21 的 一 個 標 準 正 交 基是則 稱向 量 兩 兩 正 交 且 都 是 單 位如 果的 一 個 基 是 向 量 空 間維 向 量設定 義 Veee eeeR VVeeen r rn r .21 21 00,21 21 00,00 21 21,00 21 21 4321 ee
4、ee例 如 .21 21 00,21 21 00,00 21 21,00 21 21 4321 eeee .4,3,2,1,1),( .4,3,2,1,0),( jijiee jijiee ji ji 且且由 于 ., 44321 的 一 個 標 準 正 交 基為所 以 Reeee .1000,0100,0010,0001 4321 同 理 可 知 .4的 一 個 標 準 正 交 基也 為 R （ 1） 正 交 化 ， 取 ，11 ab ,),( ),( 111 2122 bbb abab , 21 的 一 個 基為 向 量 空 間若 Vaaa r5施 密 特 正 交 化 的 方 法 正 交
5、化稱 為 把這 樣 一 個 問 題等 價 與使的 單 位 向 量 就 是 要 找 一 組 兩 兩 正 交的 一 個 標 準 正 交 基 要 求的 一 個 基是 向 量 空 間 rr rrr eeeeee VV , , , , , , 21 21212121 111122221111 ),( ),(),( ),(),( ),( rrr rrrrrr bbb abbbb abbbb abab ., 111 等 價與且兩 兩 正 交那 么 rrr aabbbb （ 2） 單 位 化 ， 取 , 222111 rrr bbebbebbe ., 21 的 一 個 標 準 正 交 基為那 么 Veee r
6、 222 32111 3133 ),( ),(),( ),( bbb abbbb abab 例 用 施 密 特 正 交 化 方 法 ， 將 向 量 組 )1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 aaa正 交 標 準 化 .解 先 正 交 化 ， 1,1,1,111 ab 111 2122 ),( ),( bbb abab 1,1,1,11111 4114,0,1,1 3,1,2,0 取 ., ,1 1 稱 為的 過 程向 量 組 構 造 出 正 交上 述 由 線 性 無 關 向 量 組r rbb aa 施 密 特 正 交 化 過 程 222 32111 3133 ),
7、( ),(),( ),( bbb abbbb abab 3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,3 0,2,1,1 再 單 位 化 ， 143,141,142,03,1,2,0141222 bbe 0,62,61,610,2,1,161333 bbe 得 規(guī) 范 正 交 向 量 組 如 下 21,21,21,211,1,1,121111 bbe 證 明 EAAT E定 義 4 . , 1正 交 矩 陣為稱 則即滿 足階 方 陣若A AAEAAAn TT 定 理 nnnn nnnnnn nn aaa aaa aaaaaa aaa aaa 21 22221 1121121 22212
8、12111 為 正 交 矩 陣 的 充 要 條 件 是 的 列 向 量 都是 單 位 向 量 且 兩 兩 正 交 A A EnTnTT , 2121 E nTnTnTn nTTT TTT 21 22212 n12111 njiji jiijjTi ,2,1,0 ;,1 當當 例 3 判 別 下 列 矩 陣 是 否 為 正 交 陣 ,12131 21121 312111 .979494 949198 9498912 解 12131 21121 312111 ,02131121211 所 以 它 不 是 正 交 矩 陣 考 察 矩 陣 的 第 一 列 和 第 二 列 ，由 于 979494 949198 949891 979494 949198 949891 T所 以 它 是 正 交 矩 陣 100 010 001由 于 979494 949198 9498912 1 將 一 組 基 標 準 正 交 化 的 方 法 ： 先 用 施 密 特 正 交 化 方 法 將 基 正 交 化 ， 然 后 再 將其 單 位 化 ;1 1 TAA ;2 EAAT ;3 單 位 向 量的 列 向 量 是 兩 兩 正 交 的A .4 單 位 向 量的 行 向 量 是 兩 兩 正 交 的A2 為 正 交 矩 陣 的 充 要 條 件 是 下 列 條 件 之 一 成 立 ：A
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