要點(diǎn)梳理基本不等式基本不等式成立的條件等號(hào)

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1、要 點(diǎn) 梳 理1.基 本 不 等 式 (1)基 本 不 等 式 成 立 的 條 件 :_.(2)等 號(hào) 成 立 的 條 件 :當(dāng) 且 僅 當(dāng) _時(shí) 取 等 號(hào) . 7.4 基 本 不 等 式 : )0,0(2 babaaba0,b0a=b2 baab 基 礎(chǔ) 知 識(shí) 自 主 學(xué) 習(xí) 2.幾 個(gè) 重 要 的 不 等 式 (1)a2+b2 _(a,b R). (2) _(a,b同 號(hào) ). (3) (a,b R). (4) (a,b R).3.算 術(shù) 平 均 數(shù) 與 幾 何 平 均 數(shù) 設(shè) a0,b0， 則 a,b的 算 術(shù) 平 均 數(shù) 為 ,幾 何 平 均 數(shù) 為 _， 基 本 不 等 式 可

2、敘 述 為 ： _ _. baab 2)2( baab 222 )2(2 baba 2ab2 2 ba ab術(shù) 平 均 數(shù) 不 小 于 它 們 的 幾 何 平 均 數(shù) 兩 個(gè) 正 數(shù) 的 算 4.利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 問 題 已 知 x0,y0,則 (1)如 果 積 xy是 定 值 p， 那 么 當(dāng) 且 僅 當(dāng) _時(shí) ， x+y 有 最 _值 是 _.（ 簡(jiǎn) 記 ： 積 定 和 最 小 ） (2)如 果 和 x+y是 定 值 p,那 么 當(dāng) 且 僅 當(dāng) _時(shí) ,xy有 最 _值 是 _.（ 簡(jiǎn) 記 ： 和 定 積 最 大 ） x=y小 x=y大 p242p 基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.

3、下 列 結(jié) 論 中 不 正 確 的 是 （ ） A. B. C.a2+b2 2ab D. 解 析 只 有 當(dāng) a、 b同 號(hào) 且 不 為 零 時(shí) 成 立 ， 21,0 aaa 時(shí) 2 baab 2 )( 222 baba ,2 baab .2不 一 定 成 立 baab B 2.已 知 向 量 a=(x-1,1),b= 則 |a+b|的 最 小 值 是 （ ） A.1 B. C. D.2 解 析 a+b= |a+b|= ),( xx11),1,( xx .2)1( 22 xx B2 3 3.當(dāng) x1時(shí) ， 關(guān) 于 函 數(shù) 下 列 敘 述 正 確 的 是 （ ） A.函 數(shù) f(x)有 最 小

4、值 2 B.函 數(shù) f(x)有 最 大 值 2 C.函 數(shù) f(x)有 最 小 值 3 D.函 數(shù) f(x)有 最 大 值 3 解 析 x1, x-10, ,11)( xxxf .3111)1(2111)1(11 xxxxxx C 4.已 知 a0,b0， 則 a+2b的 最 小 值 為 （ ） A. B. C. D.14 解 析 據(jù) 題 意 知 ,131 ba627 32 327 ).,( )(時(shí)取等號(hào)即當(dāng)且僅當(dāng) 22 3232 6273227 3273122 abbaab baab baabbababa A 5.若 0 x1， 則 f(x)=x(4-3x)取 得 最 大 值 時(shí) ， x的

5、值 為 （ ） A. B. C. D. 解 析 0 x0, x(4-3x)= 3x(4-3x) 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 3x=4-3x,即 x= 時(shí) 取 得 等 號(hào) . 31 ,34)2 343(31 2 xx 32 D31 21 43 32 題 型 一 利 用 基 本 不 等 式 證 明 不 等 式【 例 1】 已 知 x0,y0,z0. 求 證 ： 由 題 意 ， 先 局 部 運(yùn) 用 基 本 不 等 式 ， 再 利 用 不 等 式 的 性 質(zhì) 即 可 得 證 .思 維 啟 迪 .8)()( zyzxyzyxxzxy 題 型 分 類 深 度 剖 析 證 明 x0,y0,z0,當(dāng) 且 僅 當(dāng) x=y=

6、z時(shí) 等 號(hào) 成 立 . .88 )()( ,02 ,02,02 xyz xyxzyz zyzxyzyxxzxy zxyzyzx yxzyzyxxyzxzxy 利 用 基 本 不 等 式 證 明 不 等 式 是 綜 合 法 證 明不 等 式 的 一 種 情 況 ， 證 明 思 路 是 從 已 證 不 等 式 和 問 題的 已 知 條 件 出 發(fā) ， 借 助 不 等 式 的 性 質(zhì) 和 有 關(guān) 定 理 ， 經(jīng)過 逐 步 的 邏 輯 推 理 最 后 轉(zhuǎn) 化 為 需 證 問 題 . 探 究 提 高 知 能 遷 移 1 （ 1） 證 明 ： a4+b4+c4+d4 4abcd; (2)已 知 a0,b

7、0,a+b=1,求 證 : 證 明 （ 1） a4+b4+c4+d4 2a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2) 2 2abcd=4abcd. 原 不 等 式 得 證 . （ 2） a0,b0,a+b=1， 所 以 原 不 等 式 成 立 . .411 ba.422 211 baab baabb baa baba 題 型 二 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值【 例 2】 求 下 列 各 題 的 最 值 .（ 1） 已 知 x0,y0,lg x+lg y=1,求 的 最 小 值 ；（ 2） x0,求 的 最 小 值 ；（ 3） x0, 是 常 數(shù) ， 故 可 直 接 利 用 基 本

8、不 等 式 .（ 3） 由 于 不 是 常 數(shù) ， 故 需 變 形 . 又 x-30,y0,lg x+lg y=1,可 得 xy=10.當(dāng) 且 僅 當(dāng) 2y=5x,即 x=2,y=5時(shí) 等 號(hào) 成 立 .方 法 二 由 x0,y0,lg x+lg y=1,可 得 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即 x=2,y=5時(shí) 等 號(hào) 成 立 . .2.210102105252 min zxyxyyx則 .2,22252 min zxxyx .10 xy ,22 xx (2) x0, 等 號(hào) 成 立 的 條 件 是 即 x=2, f(x)的 最 小 值 是 12.(3) x3, x-30,當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即 x=1時(shí) ，

9、 等 號(hào) 成 立 .故 f(x)的 最 大 值 為 -1. ,123122312)( xxxxxf ,312 xx ,13)3(3 42 3)3(3 4 3)3(3434)( xx xx xxxxxf ,xx 33 4 (4)令 sin2x+1=t,則 t 1， 2， 故 任 取 t1,t2 1， 2 且 t1t2, t 1t2且 t1,t2 1， 2， t1-t20,t1t2-50, g(t1)g(t2), g(t)在 1， 2上 是 減 函 數(shù) ， f(x)min= 等 號(hào) 成 立 的 條 件 是 sin2x+1=2. sin x= 1, 故 f(x)的 最 小 值 是 利 用 基 本 不

10、 等 式 求 最 值 問 題 ,基 本 方 法是 借 助 條 件 化 二 元 函 數(shù) 為 一 元 函 數(shù) ,代 換 過 程 中 應(yīng) 注意 元 的 范 圍 ,同 時(shí) 也 要 注 意 “ 拆 項(xiàng) ” 、 “ 湊 項(xiàng) ” 的 技巧 ， 特 別 要 注 意 等 號(hào) 能 否 取 到 . ,29252)2()( min gtg ,29 ),(2 kkx .29探 究 提 高 知 能 遷 移 2 （ 1） 已 知 x0,y0， 且 求 x+y 的 最 小 值 ；（ 2） 已 知 x0,y0, 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 上 式 等 號(hào) 成 立 ， x=4,y=12時(shí) ， (x+y) min=16. ,191 y

11、x .16106109 )91)( yxxy yxyxyx yxxy 9,191 yx又 (2) x0, -2+3=1,當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即 x=1時(shí) ， 上 式 等 號(hào) 成 立 ，故 當(dāng) x=1時(shí) ， ymax=1.,45 3)45 145(54 124 xxxxy ,45 145 xx (3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy,當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即 x=2y時(shí) 取 等 號(hào) ，又 2x+8y-xy=0, x=12,y=6, 當(dāng) x=12,y=6時(shí) ， x+y取 最 小 值 18. ,1842210)4(210 2810)28)( ,182 yxxyyxxy yxxyyxyxyx xy

12、 ,4 yxxy 題 型 三 利 用 基 本 不 等 式 解 應(yīng) 用 題【 例 3】 (12分 )某 造 紙 廠 擬 建 一 座 平 面 圖 形 為 矩 形 且 面 積 為 162平 方 米 的 三 級(jí) 污 水 處 理 池 ,池 的 深 度 一 定 (平 面 圖 如 圖 所 示 ), 如 果 池 四 周 圍 墻 建 造 單 價(jià) 為 400元 /米 ， 中 間 兩 道 隔 墻 建 造 單 價(jià) 為 248元 /米 ,池 底 建 造 單 價(jià) 為 80元 /米 2, 水 池 所 有 墻 的 厚 度 忽 略 不 計(jì) .（ 1） 試 設(shè) 計(jì) 污 水 處 理 池 的 長(zhǎng) 和 寬 ， 使 總 造 價(jià) 最 低

13、， 并 求 出 最 低 總 造 價(jià) ；（ 2） 若 由 于 地 形 限 制 ， 該 池 的 長(zhǎng) 和 寬 都 不 能 超 過 16 米 ， 試 設(shè) 計(jì) 污 水 池 的 長(zhǎng) 和 寬 ， 使 總 造 價(jià) 最 低 ， 并 求 出 最 低 總 造 價(jià) . 思 維 啟 迪 設(shè) 污 水 處 理 池 的 寬 為 x米 ,則 長(zhǎng) 為 米 , 由 題 意 可 建 立 總 造 價(jià) 與 x的 函 數(shù) 關(guān) 系 ,進(jìn) 而 通 過 求 函 數(shù)的 最 值 確 定 x的 取 值 .解 （ 1） 設(shè) 污 水 處 理 池 的 寬 為 x米 ，則 長(zhǎng) 為 米 . 1分x126x126 ，xxxx xx xxxxf )()( )()(

14、元分則總造價(jià)880389601210022961 960121002961 39601210029612961 16280224816222400 當(dāng) 且 僅 當(dāng) (x0), 即 x=10時(shí) 取 等 號(hào) . 5分 當(dāng) 長(zhǎng) 為 16.2米 ， 寬 為 10米 時(shí) 總 造 價(jià) 最 低 ， 最 低 總 造價(jià) 為 38 880元 . 6分（ 2） 由 限 制 條 件 知 8分xx 100 ,161620 160 xx ,16,8110)( ).168110(100)( .168110 上 是 增 函 數(shù)在設(shè) xg xxxxg x g(x)有 最 小 值 ， 10分即 f(x)有 最 小 值 為 當(dāng) 長(zhǎng)

15、 為 16米 ， 寬 為 米 時(shí) ，總 造 價(jià) 最 低 ， 為 38 882元 . 12分 （ 1） 解 應(yīng) 用 題 時(shí) ， 一 定 要 注 意 變 量 的 實(shí)際 意 義 ， 即 變 量 的 取 值 范 圍 .（ 2） 在 求 函 數(shù) 最 值 時(shí) ， 除 應(yīng) 用 基 本 不 等 式 外 ,有 時(shí) 會(huì)出 現(xiàn) 基 本 不 等 式 取 不 到 “ =” ， 此 時(shí) 要 考 慮 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 . ),16162(8110 xx 此 時(shí)時(shí)當(dāng) ).(8823896012)818008110(2961 元 8110探 究 提 高 知 能 遷 移 3 某 學(xué) 校 擬 建 一 塊 周 長(zhǎng) 為 400

16、m的 操 場(chǎng) 如 圖 所 示 ， 操 場(chǎng) 的 兩 頭 是 半 圓 形 ,中 間 區(qū) 域 是 矩 形 ,學(xué) 生 做 操 一 般 安 排 在 矩 形 區(qū) 域 ， 為 了 能 讓 學(xué) 生 的 做 操 區(qū) 域 盡 可 能 大 ， 試 問 如 何 設(shè) 計(jì) 矩 形 的 長(zhǎng) 和 寬 ？解 設(shè) 中 間 矩 形 區(qū) 域 的 長(zhǎng) ， 寬 分 別 為 x m,y m,中 間 的 矩 形 區(qū) 域 面 積 為 S， 則 半 圓 的 周 長(zhǎng) 為 因 為 操 場(chǎng) 周 長(zhǎng) 為 400,所 以 , 2 y,400222 yx 即 把 矩 形 的 長(zhǎng) 和 寬 分 別 設(shè) 計(jì) 為 100 m和 時(shí) ，矩 形 區(qū) 域 面 積 最 大

17、 . , ., )()()( ),(時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)解得由即 200100 20010040022 00020 2221221 400020004002 2yx yxyx yx yxyxxyS yxyx m200 1.恒 等 變 形 ： 為 了 利 用 基 本 不 等 式 ,有 時(shí) 對(duì) 給 定 的 代 數(shù) 式 要 進(jìn) 行 適 當(dāng) 變 形 .比 如 ：方 法 與 技 巧.316)2 383(31 )38)(3(31)38(,380)2( .422221)2(21,2)1( 2 xx xxxxx xxxxx 時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) 思 想 方 法 感 悟 提 高 2.常 用 不 等 式 ： 以 下 不 等

18、式 在 解 題 時(shí) 使 用 更 直 接 . (1) (a0,且 a R),當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=1時(shí) “ =” 成 立 . (2) (a0,b0,a,b R),當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) “ =” 成 立 . 3.二 次 配 方 ： a0,a R,應(yīng) 用 不 等 式 可 解 決 部 分 分 式 不 等 式 的 最 值 問 題 .比 如 ： 當(dāng) x2時(shí) ，21 aa 2 baab 21 aa 使 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ,其 失 誤 的 真 正 原 因 是 其 存 在 前 提 “ 一 正 、 二 定 、 三 相 等 ” 的 忽 視 .要 利 用 基 本 不等 式 求 最 值 ， 這 三

19、個(gè) 條 件 缺 一 不 可 .失 誤 與 防 范 .)()()( .)( )()()( 412212 12 121122 4222212 2 12222 121 22 22 xxx xxxx xx x xxx xx (1)確 保 “ 一 正 ” .對(duì) 于 負(fù) 數(shù) ， 很 多 不 等 關(guān) 系 就 不 一 定成 立 .如 ： 當(dāng) x0時(shí) ， y 2,x0， b0,若 是 3a與 3b的 等 比 中 項(xiàng) ， 則 的 最 小 值 為 （ ） A.8 B.4 C.1 D. 解 析 由 題 意 知 3a 3b=3,即 3a+b=3， 所 以 a+b=1. 因 為 a0,b0, 當(dāng) 且 僅 當(dāng) a=b時(shí) ，

20、 等 號(hào) 成 立 . ba 11 3 ,4222)(11(11 baabbaabbababa所 以 B41 3.已 知 x0， y0， lg 2x+lg 8y=lg 2,則 的 最 小 值 是 （ ） A.2 B. C.4 D. 解 析 由 lg 2x+lg 8y=lg 2,得 lg 2x+3y=lg 2, x+3y=1, yx 311 22 32.4332 )3)(311(311 xyyx yxyxyx C 4.已 知 （ a2), (xn B.m 則 的 最 小 值 為 ( ) A.-3 B.2 C.5 D.7 解 析 ,45 54 14 xxxf )( .254 154,054,45 ,

21、554 15454 14)( xxxx xxxxxf D 6.函 數(shù) x (0,3)， 則 （ ） A.f(x)有 最 大 值 B.f(x)有 最 小 值 -1 C.f(x)有 最 大 值 1 D.f(x)有 最 小 值 1 解 析 x (0,3), x-1 (-1,2), (x-1)2 0， 4)， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 且 x (0,3), 即 x=2時(shí) 取 等 號(hào) ， 當(dāng) x=2時(shí) ， 函 數(shù) f(x)有 最 小 值 1. ,1212)( 22 xxxxxf .)()( )()()( 11211112 1111 22 22 xx xxxf ,)()( 22 111 xx 47 D 二 、 填

22、空 題7.若 正 數(shù) a、 b滿 足 則 a+b的 最 小 值 為 _. 解 析 ,241 ba .)()( , 29222122221 2211 1221241 baab babababa baba得由29 8.函 數(shù) y=ax-1 (a0,且 a 1) 的 圖 象 恒 過 定 點(diǎn) A,若 點(diǎn) A在 一 次 函 數(shù) y=mx+n的 圖 象 上 ， 其 中 m,n0,則 的 最 小 值 為 _. 解 析 由 題 知 A（ 1， 1） ， m+n=1， m,n0.nm 11 .4211 nmmnn nmm nmnm 4 9.若 實(shí) 數(shù) a,b滿 足 ab-4a-b+1=0(a1)， 則 (a+1

23、)(b+2) 的 最 小 值 為 _. 解 析 ab-4a-b+1=0, ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 ,114 aab .)( )( 151616 11686 11 23146 121146 aa aa aaa aaa a1, a-10. 當(dāng) 且 僅 當(dāng) (a-1)2=1,即 a=2時(shí) 成 立 . 最 小 值 為 27. 答 案 27 .27156621516)1(6 aa原 式 三 、 解 答 題 10.(1)求 函 數(shù) y=x(a-2x) (x0， a為 大 于 2x的 常 數(shù) )的 最 大 值 ； (2)設(shè) x-1,求 函 數(shù) 的 最

24、值 . 解 （ 1） x0,a2x, 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) 取 等 號(hào) ， 故 函 數(shù) 的 最 大 值 為 1 25 x xxy )(82 2221 22212 22 axax xaxxaxy )( )()( .82a4ax （ 2） x-1, x+10.設(shè) x+1=z0,則 x=z-1當(dāng) 且 僅 當(dāng) z=2,即 x=1時(shí) 上 式 取 等 號(hào) . x=1時(shí) ,函 數(shù) y有 最 小 值 9,無(wú) 最 大 值 . .9542 5445)1)(4( 2 zz zzzzzz zzy 11.(1)已 知 a0,b0,c0且 a+b+c=1. 求 證 : （ 2） 已 知 a0,b0,求 證 ： 證 明 （

25、1） a+b+c=1, =3+2+2+2=9. 等 號(hào) 成 立 的 條 件 是 a=b=c,故 ;9111 cba cbbccaacbaab cbbccaacbaab c cbab cbaa cbacba 22233 111 )()()( .9111 cba .babaab 22 （ 2） 方 法 一 .,0)( ,0)(,00,0 .)()( )()1()1( )( 222 2222 22 babaababbaba baabbaba abbabaabbaba abbabaabbbaa babaab 即 又知由 方 法 二 a0,b0, 由 不 等 式 的 性 質(zhì) + 得 ：abba baab

26、 2.222 同 理 . ),(2)( 22 22 babaab bababaab 即 12.西 北 西 康 羊 皮 手 套 公 司 準(zhǔn) 備 投 入 適 當(dāng) 的 廣 告 費(fèi) ， 對(duì) 生 產(chǎn) 的 羊 皮 手 套 進(jìn) 行 促 銷 .在 1年 內(nèi) ,據(jù) 測(cè) 算 年 銷 售 量 S（ 萬(wàn) 雙 ） 與 廣 告 費(fèi) x（ 萬(wàn) 元 ） 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 為 (x0),已 知 羊 皮 手 套 的 固 定 投 入 為 3萬(wàn) 元 , 每 生 產(chǎn) 1萬(wàn) 元 羊 皮 手 套 仍 需 再 投 入 16萬(wàn) 元 .（ 年 銷 售 收 入 =年 生 產(chǎn) 成 本 的 150%+年 廣 告 費(fèi) 的 50%） (1)試

27、將 羊 皮 手 套 的 年 利 潤(rùn) L（ 萬(wàn) 元 ） 表 示 為 年 廣 告 費(fèi) x(萬(wàn) 元 )的 函 數(shù) ； (2)當(dāng) 年 廣 告 費(fèi) 投 入 為 多 少 萬(wàn) 元 時(shí) ， 此 公 司 的 年 利 潤(rùn) 最 大 ,最 大 利 潤(rùn) 為 多 少 ？ （ 年 利 潤(rùn) =年 銷 售 收 入 - 年 廣 告 費(fèi) ） xS 13 解 (1)由 題 意 知 ,羊 皮 手 套 的 年 成 本 為 (16S+3)萬(wàn) 元 , 年 銷 售 收 入 為 （ 16S+3） 150%+x 50%， 年 利 潤(rùn) L=（ 16S+3） 150%+x 50%-（ 16S+3） -x， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即 x=4時(shí) ， L有 最 大 值 為 21.5， 因 此 ， 當(dāng) 年 廣 告 費(fèi) 投 入 為 4萬(wàn) 元 時(shí) ， 此 公 司 的 年 利 潤(rùn) 最 大 ， 最 大 利 潤(rùn) 為 21.5萬(wàn) 元 . ).( ,),( 02 1651 1331621 2 xxxxL xSxSL得又即. )()( 521822251 822512 16512 2 xx xxxxxL由,xx 82 返 回