例非均勻分布立體的質(zhì)量

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1、例 . 非 均 勻 分 布 立 體 的 質(zhì) 量 設(shè) 有 空 間 立 體 , 當(dāng) 的 質(zhì) 量 是 均 勻 分 布 時(shí) , 則 的 質(zhì) 量 M= 的 體 密 度 的 體 積 . 若 的 質(zhì) 量 不 是 均 勻 分 布 的 , 則 不 能 上 述 方式 算 質(zhì) 量 M . 設(shè) 空 間 立 體 . 其 質(zhì) 量 非 均 勻 分 布 , 體 密 度 (x , y , z)連 續(xù) , 求 的 質(zhì) 量 M.第 二 節(jié) 三 重 積 分一、三重積分的概念及性質(zhì) (i) 將 分 成 n 個(gè) 小 立 體 1, 2, n ,記 Vi 表 示 的 i 的 體 積 , i = 1, 2, , n. 由 于 (x , y ,

2、 z)連 續(xù) , 從 而 當(dāng) i很 小 時(shí) , 在 i上 (x , y , z) 的 變 化 不 大 . 可 近 似 看 作 不 變 . (ii) 即 , ( i , i , i) Di , 以 ( i , i , i )作 為 i 的 體 密 度 . 從 而 , i的 質(zhì) 量mi ( i , i , i) V i(iii) 因 此 , 的 質(zhì) 量 ni iiii VM 1 ),( (iv) ,max 1 的 直 徑若 記 ini .),(lim 10 ni iiii VM 則 設(shè) R3為 有 界 閉 區(qū) 域 , f (x, y, z)是 定 義 在 上的 有 界 函 數(shù) . 將 任 意 分

3、成 n 個(gè) 無 公 共 內(nèi) 點(diǎn) 的 小 區(qū) 域 i, (i =1, 2, , n), 用 Vi表 示 i的 體 積 . 并 記.max1 的 直 徑ini ,),(,),( 1 ini iiiiiii Vzyxfzyx 作 和如 果 對(duì) 任 意 的 分 法 和 任 意 的 取 法 , 當(dāng) 0時(shí) , 和 式.),( 1 IVzyxf ini iii 的 極 限 都 存 在 且 為 則 稱 f (x, y, z)在上 可 積 , 記 為 f (x, y, z)R(), 定 義 1 并 稱 此 極 限 值 I為 f (x, y, z)在 上 的 三 重 積 分 , 記 作其 中 “ ” 稱 為 三

4、重 積 分 號(hào) , 稱 為 積 分 區(qū) 域 , f (x, y, z)稱 為 被 積 函 數(shù) , dv稱 為 體 積 元 素 , 三 重 積 分 也 記為 .),( dxdydzzyxf ,),( dvzyxf 即 三 重 積 分 的 性 質(zhì) 與 二 重 積 分 性 質(zhì) 完 全 類 似 , 比 如 若 f (x, y, z)在 上 連 續(xù) , 則 f (x, y, z)在 上 可積 ; 常 數(shù) 因 子 可 從 積 分 號(hào) 中提 出 來 ; 和 的 積 分 等 于 積 分 之 和 ;積 分 的 可 加 性 ; 積 分 的 保 號(hào) 性 ; 積 分 中 值 定 理 等 .;的 體 積 dv 類 似

5、于 二 重 積 分 , 三 重 積 分 可 化 為 三 個(gè) 定 積 分計(jì) 算 (三 次 積 分 ).設(shè) 是 R3中 一 母 線 平行 于 z 軸 , 上 , 下 底 分別 為 z = z2(x, y), z = z1(x, y)的 柱 體 . 在 xy面 上 的 投 影 區(qū) 域 記 為Dxy . 如 圖 0 yzx z2 = z2(x,y)D xyb a z1 = z1 (x,y) 二、三重積分的計(jì)算 xyD yxz yxz dxdydzzyxfdVzyxf .),(),( ),( ),(21則 ),(),( 21 yxzyxz 其 中 ,),()(:( 21 bxaxyyxyDxy 若 為

6、x型 區(qū) 域 ).),(),( ),()()( 2121 yxz yxzxy xyba dzzyxfdydx 0 yzx z2 = z2(x,y)Dxyb a z1 = z1(x,y)y=y1(x) y=y2(x) ,),()(: 21 dycyxxyxDxy 若 即 為 y型 區(qū) 域 . dVzyxf ),(則 .),(),( ),()( )( 2 121 yxz yxzyx yxdc dzzyxfdxdy應(yīng) 用 時(shí) 先 畫 出 的 草 圖 , 看 z 是 從 哪 一 曲 面 變 到 哪 一曲 面 . 確 定 最 里 層 積 分 上 , 下 限 . 然 后 到 Dxy上 作 二 重口 訣 :

7、從 里 到 外 , 面 面 , 線 線 , 點(diǎn) 點(diǎn) .積 分 . 注 ： 1. 當(dāng) 是 一 柱 體 , 但 側(cè) 面 的 母 線 平 行 于 y 軸 , 它 在 xz面 上 的 投 影 區(qū) 域 為 Dxz, 則 可 選 擇 先對(duì) y 積 分 , 然 后 到 Dxz上 作 二 重 積 分 .2. 當(dāng) 是 一 柱 體 , 但 側(cè) 面 的 母 線 平 行 于 x 軸 , 它 在 yz面 上 的 投 影 區(qū) 域 為 Dyz, 則 可 選 擇 先 對(duì) x 積 分 , 然 后 到 Dyz上 作 二 重 積 分 . 3. 當(dāng) 的 母 線 退 縮 成 一 點(diǎn) 時(shí) , 此 時(shí) 不 是 柱 體 . 比 如 .但 作

8、 三 重 積 分 時(shí) , 仍 可 將 其 當(dāng) 作 前 面 情 形 的特 殊 情 形 來 處 理 , : x2 + y2 + z2 1. 則 Dxy : x2 + y2 1. xyD yx yx dxdydzzyxfdvzyxf .),(),( 22 2211 例 1. ,0,)( xdxdydzzyx 是 由 平 面其 中y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所 圍 成 的 四 面 體 .解 : . xdxdydz考 慮在 xy面 上 的 投 影 區(qū) 域 為D xy : 0 y 1x, 0 x 1.沿 z 軸 方 向 ,下 方 曲 面 : z=0, 上 方 曲 面 : z = 1 x

9、y. y0zx 111 Dxyx+ y=1x+ y+z=1 yxx xdzdydxxdxdydz 101010 x dyyxxdx 1010 )1( dxyxx x 10210 )1(21dxxx 210 )1(21 .241類 似 , 241 zdxdydzydxdydz81原 式 例 2. . 1, 22 222所 圍 成 的 區(qū) 域與 錐 面 是 由 平 面其 中計(jì) 算 zxy zyxydxdydz 解 :若 先 對(duì) z 積 分 , 由 于 沿 z 軸 方 向 的 下方 曲 面 和 上 方 曲 面 均由 兩 片 曲 面 組 成 , 且在 xy面 上 投 影 區(qū) 域相 對(duì) 復(fù) 雜 . 積

10、分 較 繁 . 改 為 先 對(duì) y 積 分 . y0zx 1 22 zxy 1 222 zyx 沿 y 軸 方 向 , :,: 22 右 邊 曲 面左 方 曲 面 zxy .1 22 zxy 求 在 xz面 上 的 投 影 區(qū) 域 Dxz .,1: 222 22 zyx zxy交 線 消 去 y ,21 22 zx xz為 面 上 的 投 影 曲 線在得故 Dxz : ,22 222 zx y0zx 122 zxy 221 zxy 22221 zxzxD ydydxdzydxdydz xz xzD dxdzzx )(21 22 )sin,cos( rzrx 令 220 220 21 rdrrd

11、 .4212 220 2 rdrr 注 意 , 由 于 先 對(duì) x , 再 對(duì) y, 再 對(duì) z 的 積 分里 面 的 兩 個(gè) 定 積 分 (二 次 積 分 )本 質(zhì) 上 就 是 一 個(gè)二 重 積 分 , 因 此 , 在 很 多 情 形 下 可 先 做 一 個(gè) 二 重積 分 , 再 做 一 個(gè) 定 積 分 , 稱 為 “ 先 二 后 一 ” 的 積 分 , 相 應(yīng) 地 稱 前 面 的 方 法 為 “ 先 一 后 二 ” 的 積 分 . 設(shè) 空 間 有 界 閉 區(qū) 域 滿 足 C1 z C2, 并 且 以平 行 于 xy 面 的 平 面 z = 常 數(shù) (z) 截 所 得 平 面 區(qū)域 為 Dz

12、 ,則 Vdzyxf ),( .),( 21 zDCC dxdyzyxfdz(特 別 , 若 f (x, y, z) = g (z) 21 )(CC D dzdxdyzg z 0 y zx C1C2z Dz 例 3. .0, 1, 2222222 大 于所 圍 成 的 空 間 區(qū) 域 是 由 橢 球 面其 中計(jì) 算 cba czbyaxdxdydzz 解 : : c z c , (x, y)Dz ,.1: 222222 czbyaxDz zDcc dxdyzdzdvz 22 zDcc dxdydzz2 y zx 0cc Dz 橢 圓 面 積 為 ab. ,1: 222222 czbyaxDz

13、,1,1, 2222 czbcza 半 短 軸 分 別 為半 長 軸 ,1 22 czab面 積 為 dzczabzcc 222 1原 式 .154 3abc 設(shè) 有 界 閉 區(qū) 域 的形 狀 關(guān) 于 xy面 對(duì) 稱 , 且 f (x, y, z) = f (x, y, z),.0),( dvzyxf則 若 f (x, y, z) = f (x, y, z),),(2),( 1 dvzyxfdvzyxf則其 中 1是 中 處 于 xy面 上 方 部 分 . 類 似 可 得 關(guān) 于 xz面 對(duì) 稱 , 而 f (x, y, z) 關(guān) 于 y 是 奇 , 偶 函 數(shù) 的 結(jié) 論 , 以 及 關(guān) 于

14、 yz 面 對(duì) 稱 , 而 f (x, y, z) 關(guān) 于 x 是 奇 , 偶 函 數(shù) 的 結(jié) 論 .(1)若 關(guān) 于 平 面 y=x 對(duì) 稱 , 則 f (x, y, z) 滿 足 什 么 條 件 時(shí) ,有 上 述 兩 個(gè) 結(jié) 論 ?(2)不 積 分 , .sin, 3 ydvxdvdvz求其 中 為 單 位 球 x2+ y2 + z2 1. 設(shè) 變 換 T: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)將 *變 到 , 且 函 數(shù) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)C1(*), 雅 可 比 行 列 式 ,0),( ),(

15、 wvu zyx dvzyxf ),(則 .),( ),(),(),(),(* dudvdwwvu zyxwvuzwvuywvuxf 定 理 1 問 ： 是 否 有 dvydvxdvz 222 ?我 們 知 道 , 在 定 積 分 中 , .)()()( dzzfdyyfdxxf bababa 但 在 二 , 三 重 積 分 中 , 這 一 結(jié) 論 一 般 不 對(duì) ,不 過 , 當(dāng) 滿 足 某 些 條 件 時(shí) , 結(jié) 論 成 立 。例 4. 設(shè) ： x2+y2+z21. z 0, 1是 中 在 第 一 1 .4 22 dvxdvz卦 限 中 的 部 分 ,證 明證 ： 由 對(duì) 稱 性 知 1

16、.4 22 dvzdvz 則.1001 100 010),( ),( xzy zyx1*： y2+z2+x21, y 0, z 0, x 0, 即 1* 1故 . 11 *1 222 dvxdxdydzxdvz 1： x2+y2+z2 1, x 0, y 0,z 0. .1 2dvz作 變 量 代 換 , 令 x=y , y=z, z=x. 故 .4 1 22 dvxdvz 一 般 ,若 在 的 表 達(dá) 式 中 ,以 y代 x,以 z代 y,以 x代 z后 , 的 表 達(dá) 式 不 變 (即 具 有 “ 輪 換 性 ” ),則 .),(),( dvxzyfdvzyxf(教 材 P89,第 三 行

17、 結(jié) 論 可 由 此 證 明 ) 設(shè) 點(diǎn) M = (x, y, z) R3,它 在 xy面 上 的 投影 點(diǎn) 為 P=(x, y, o) 顯 然 ,任 給 一 點(diǎn) M,可 唯 一 確 定 點(diǎn) P和 豎 坐 標(biāo) z ,反 之 ,在 xy面 上 任 給 點(diǎn) P和 數(shù) z,可 唯 一 確 定 M. 因 點(diǎn)P可 用 其 極 坐 標(biāo) 確 定 , 故 M可 由 P的 極 坐 標(biāo) r , 以及 z唯 一 確 定 ,稱 為 柱 面 坐 標(biāo) .zx yo P=(x, y, o)M (x, y, z)r 所 以 在 柱 面 坐 標(biāo)中 r = 常 數(shù) ,則 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 圖 形 為 圓 柱 面 ,

18、 點(diǎn) M的 直 角 坐 標(biāo) (x, y, z)和 它 的 柱 面 坐 標(biāo) (r, , z)的 關(guān) 系 為 ： x=r cos , y=r sin , z=z,其 中 0 r +, 0 2 (或 ) z0)y = kx 化 為 tg = k 即 , = 常 數(shù) .而 =常 數(shù) ,則 在 直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 圖 形 為 過 z軸 的平 面 , z=常 數(shù) 為 平 行 于 xy面 的 平 面 . 設(shè) 變 換 T： x= rcos, y= r sin , z=z將 柱 面坐 標(biāo) 系 中 的 區(qū) 域 *變 成 直 角 坐 標(biāo) 系 中 的 區(qū) 域 ,易 算 得 ,),( ),( rzr zyx 從

19、 而 .),sin,cos(),( * dzrdrdzrrfdvzyxf 一 般 ,若 是 一 母 線 平 行 于 z 軸 的 柱 面 , z1(x, y) z z2(x, y), (x, y) Dxy, 在 xy 面 上 的 投 影區(qū) 域 Dxy 適 合 用 極 坐 標(biāo) 處 理 (如 圓 ,曲 邊 扇 形 等 ), 則 可 考 慮 用 柱 面 坐 標(biāo) 求 三 重 積 分 . 并 可 將 其 化為 先 對(duì) z, 再 對(duì) r, 再 對(duì) 的 三 次 積 分 (即 先 對(duì) z積 分 ,然 后 在 Dxy上 用 極 坐 標(biāo) 做 二 重 積 分 ). 例 5. 計(jì) 算 ,zdxdydz 其 中 ： x2

20、+y2+z2 1, 且 z0.解 ： 是 上 半 球 體 ,它 在 xy面 上 的 投 影 區(qū) 域 是 單 位 圓 x2+y2 1.令 x=rcos, y=rsin , z=z,則 平 面 z = 0 和 球 面 即 0 z .1 2r 且 0 r 1, 0 2, 10 1020 2r rdzzdrdzdxdydz .4)1(212 10 2 drrr ,101 222 rzzyxz 和的 柱 面 坐 標(biāo) 方 程 分 別 為 其 中 由 x2+y2=2z及 z=2所 圍 成 .例 6. 求 .)( 22 dxdydzyx解 ： 一 般 ,若 的 表 達(dá) 式 中 含 有 x2+y2,則 可 考

21、慮 用 柱 面 坐 標(biāo) 積 分 .令 x=rcos, y=rsin, z=z, ,21 2rz且 221r z 2, 0 r 2, 0 2.,2)(21,2 22 zyxzz的 柱 面 坐 標(biāo) 方 程 分 別 為則 x z yx2+y2=2zx2+y2=4 或 r=2o2 221rz或 20 20 221 222 2)( r rdzrdrddxdydzyx drrr )212(2 220 3 316)121212 2 064 drrr 注 ： 常 用 的 二 次 曲 面 有 , 球 面 , 橢 球 面 , 柱面 . a(x2+y2)=z(旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 ), ax2+by2=z(橢 圓 拋

22、 物面 ), a2(x2+y2)=z2(圓 錐 面 ). 為 確 定 OM的 方 向 ,記 為 OM在 xy面 上 的 投 影 與 x軸正 向 的 夾 角 (與 柱 面 坐 標(biāo) 中 相 同 ), 為 OM與 z軸正 向 夾 角 ,而 OM又 是 由 其 長 度和 其 方 向 唯 一 確 定 .記 |OM|= , R3中 的 點(diǎn) M =(x, y, z)與 向 量 OM一 一 對(duì) 應(yīng) . 則 當(dāng) OM的 方 向 確 定 時(shí) , , 唯 一 確 定 , 反之 亦 然 . 故 M與 數(shù) 組 ( ,)一 一 對(duì) 應(yīng) .zx yo P=(x, y, o)M (x, y, z) r 稱 (, , )為 點(diǎn)

23、 M的 球 面 坐 標(biāo) ,規(guī) 定 0 0)，將 圓 錐 面 a(x2+y2)= z2化 為 =常 數(shù) ,將 y=kx化 為 =常 數(shù) .即 =常 數(shù) ,=常 數(shù) =常 數(shù) 分 別 表 球 面 , 圓 錐 面 , 過 z軸 的 半 平 面 . zx yo P=(x, y, o)M (x, y, z) r 若 變 換 T: x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos將 *變 到 , 易 算 得 .sin, , 2 rr zyx 從 而 dvzyxf ),(右 端 一 般 化 為 先 對(duì) r,再 對(duì) ,再 對(duì) 的 三 次 積 分 . 注 ： 本 教 材 用 字 母 r表 示 .即 x=

24、rsincos, y=r sinsin, z= rcso.(此 處 r與 柱 面 坐 標(biāo) 中 的 r意 義 不 同 ).sin)cos,sinsin,cossin( * 2 ddrdrrrrf 確 定 r, , 的 變 化 范 圍 的 方 法 (與 用 極 坐 標(biāo) 算二 重 積 分 類 似 )(1) 若 由 兩 曲 面 圍 成 , 其 球 面 坐 標(biāo) 方 程 為 r=r1(, ), r=r2( , ). 以 原 點(diǎn) 為 起 點(diǎn) 作 向 量 穿 過 ,先 遇到 的 曲 面 為 r=r1(, ), 后 遇 到 的 曲 面 為 r=r2( , ), 則 r1( , ) rr2( , ). , 的 變

25、 化 范 圍 要 由其 幾 何 意 義 視 具 體 情 況 確 定 . (2)若 原 點(diǎn) 在 的 邊 界 上 ,以 原 點(diǎn) 為 起 點(diǎn) 所 作 的 穿 過 的 向 量 只 遇 到 一 片 曲 面 ,其 球 面 坐 標(biāo) 方 程 為 r = r ( , ),(3)若 包 含 原 點(diǎn) ,圍 成 的 曲 面 方 程 為 r = r (, ), 則 0 rr( , ), 0 , 02. , 的 變 化 范圍 可 根 據(jù) 它 們 的 幾 何 意 義 ,視 具 體 情 況 確 定 .則 0 r r( , ), 例 7.求 由 半 徑 R的 球 面 x2+y2+z22Rz=0和 半 頂 角 為 的 圓 錐 面

26、 ctg2(x2+y2)=z2圍 成 的 立 體 的 體 積 V,其 中 位 于 圓 錐 面 上 方 ,球 面 下 方 .解 : 的 體 積 V,用 球 面 坐 標(biāo) 求 這 個(gè) 三 重 積 分 . dv令 x=rsincos, y=rsinsin, z= rcos. 則 .sin , , 2 rr zyx 0 yzx x2+y2+z22Rz=0的 球 面 坐 標(biāo) 方 程 為 r22Rrcos =0,即 : r=2Rcos ,ctg2(x2+y2)=z2的 球 面 方 程 為ctg2(r2sin2cos2+ r2sin2sin2) =r2cos2,即 : =.由 前 面 的 (2)及 的 形 狀

27、 知 , 0r2Rcos, 0,因 在 xy面 投 影 區(qū) 域 為 圓 , 故 02. 0 yzx 的 體 積 cos20 2020 sinR drrdddvV dr R0 cos20331sin2 dR 0 33 cossin316 0 33 coscos316 dR )cos1(34 43 R 一 般 ,若 的 表 達(dá) 式 中 含 x2+y2+z2,則 可 考 慮 用球 面 坐 標(biāo) . 例 8.計(jì) 算 由 兩 個(gè) 半 球 面,)( 22 dxdydzyxI .0 )0(, 222222 圍 成平 面 及 z bayxazyxbz解 : 的 表 達(dá) 式 中 含 x2+y2+z2, 可 用 球

28、 面 坐 標(biāo) 求 積 分 .令 x = r sin cos, y=rsinsin, z=rcos.則 .sin, , 2 rr zyx 且 兩 球 面 方 程 分 別 為 r=b和 r=a,(ab). 0 ar=az yx br=b 0 ar=az yx br=b由 上 面 的 (1)及 的 形 狀 知 ,arb,0 , 02. dvyxI )( 22 20 20 222 sinsinba drrrdd ba drrd 420 3sin2 cos)cos1()(52 20 255 dab )(154 55 ab 2 例 9.求 橢 圓 球 體 : 的 體 積 V, a, b, c, 大 于 0

29、.1222222 czbyax解 : .dvV令 .sinsin,cossin rbyrax ,cosrz (廣 義 球 面 坐 標(biāo) )可 得 .sin),( ),( 2 abcrzyx橢 圓 球 面 方 程 為 r=1且 0 r1, 0 , 02. yx z0 10 2020 sin drabcrddV 體 積 10 20 sin2 drrdabc abc34一 般 ,(1)若 的 表 達(dá) 式 中 含 x2+y2,可 考 慮 用 柱 面 坐 標(biāo) 積 分 .比 如 ,球 面 與 圓 柱 面 ,球 面 與 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 ,但 不 絕 對(duì) .(2)若 的 表 達(dá) 式 中 含 x2+y2+z2

30、,可 考 慮 用 球 面 坐 標(biāo) .比 如 ,球 面 與 圓 錐 面 ,但 不 絕 對(duì) . 例 10. 設(shè) f (u)可 導(dǎo) , 且 f (0) = 0, 求 .0,: ,)(1lim 2222 22240 ttzyx dxdydzzyxftt其 中 解 : 這 是 一 個(gè) 極 限 問 題 , 分 母 趨 于 0. 另 外 , 當(dāng) (球 )的 半 徑 t 0時(shí) , 分 子 也 是 趨 于 0的 . 因 此它 是 一 個(gè) 型 的 極 限 問 題 , 可 用 羅 必 塔 法 則 求 .”“ 00注 意 到 分 子 是 一 個(gè) 三 重 積 分 , 在 一 定 的 條 件 下可 化 為 三 個(gè) 是 積

31、 分 之 積 , 故 先 化 三 重 積 分 . .:,)( 2222222 tzyxdxdydzzyxf ,cos,sinsin,cossin rzryrx 令 ,sin),( ),( 2 rr zyx 則 ,20,0,0 tr且 t drrrfdddxdydzzyxf 0 2020222 sin)()( t drrrfd 0 20 )(sin2 t drrrf0 2)(4 故 原 式 = tt drrrft 0 240 )(41lim (羅 彼 塔 法 則 )320 )(lim t tftt ttft )(lim0 (注 意 f (0) = 0)t ftf t )0()(lim0 )0(f

32、 例 11. 設(shè) f (u) 連 續(xù) , 證 明 11 2 .)()1()( dukufudxdydzczbyaxf .0,1: 222222 大 于其 中 cbacbakzyx 證 : ).(1 czbyaxku 令 ),(1 cbakn記 .,),( XnuzyxX T 則即 以 平 面 ax+by+cz = 0的 單 位 法 向 量 作 u軸 , 以 平 面 ax+by+cz = 0上 兩 個(gè) 互 相 垂 直 的 單 位向 量 分 別 作 v軸 和 w軸 , 對(duì) xyz坐 標(biāo) 系 作 正 交 變換 . n ),(1, 21 cbaknXnwXnvXnu 其 中令 ),(),( 22221111 cbancban .1|., 212121 nnnnnnnnn 且 1:* 1: 222 222 wvu zyx 在 上 述 正 交 變 換 下 變 為則 ).(1),( ),(),( ),( 對(duì) 值正 交 矩 陣 的 行 列 式 的 絕 1zyx wvuwvu zyx ),1:*( .)()( 222 *用 “ 先 二 后 一 ” 法 積 分其 中 wvu dudvdwkufdxdydzczbyaxf )1):()( 222211 uwvDdvdwdukuf uDu 其 中 11 2)1)( duukuf 11 2)1()( duufkuf