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1、二 次 曲 面 的 定 義 ：三 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 面 稱 之 相應地平面被稱為一 次 曲 面討論二次曲面性狀的截 痕 法： 用 坐 標 面 和 平 行 于 坐 標 面 的 平 面 與 曲 面相 截 ， 考 察 其 交 線 （ 即 截 痕 ） 的 形 狀 ， 然 后加 以 綜 合 ， 從 而 了 解 曲 面 的 全 貌 以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一 、 基 本 內(nèi) 容 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 o z yx（ 一 ） 橢 球 面 1222222 czbyax 橢球面與三個坐標面的交線：,0 12222 y czax .0 12222 x cz
2、by ,0 12222 z byax 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面 的交線為橢圓1zz 同理與平面 和 的交線也是橢圓.1xx 1yy 1 21222 221222 2 1)()(zz zccb yzcca x cz | 1 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 橢 球 面 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面12222 czax由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成z旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 與 橢 球 面 的 區(qū) 別 ： 1222 22 cza yx方程可寫為與平面 的交線為
3、圓.1zz )|( 1 cz 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,)2( cba 1222222 azayax 球 面.2222 azyx .)(1 2122222 zz zccayx截面上圓的方程方程可寫為 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 （ 二 ） 拋 物 面 zqypx 22 22（ 與 同號）p q橢 圓 拋 物 面用截痕法討論：（1）用坐標面 與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點)0,0,0(O設(shè)0,0 qp原點也叫橢圓拋物面的頂 點 . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 與平面 的交線為橢圓.1zz 1 1212 122 zz
4、qzypzx當 變動時，這種橢圓的中 心都在 軸上.1z z)0( 1 z與平面 不相交.1zz )0( 1 z（2）用坐標面 與曲面相截)0( yxoz 022y pzx截得拋物線 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 與平面 的交線為拋物線.1yy 1 212 22yy qyzpx它的軸平行于 軸z頂點 qyy 2,0 211（3）用坐標面 ， 與曲面相截)0( xyoz 1xx 均可得拋物線.同理當 時可類似討論.0,0 qp 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zx yo x yzo橢圓拋物面的圖形如下：0,0 qp 0,0 qp 機 動 目 錄 上 頁 下 頁
5、返 回 結(jié) 束 特殊地：當 時，方程變?yōu)閝pzpypx 22 22 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面)0( p（由 面上的拋物線 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）xoz pzx 22 1 122 2zz pzyx與平面 的交線為圓.1zz )0( 1 z當 變動時，這種圓的中 心都在 軸上.1z z 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 zqypx 22 22（ 與 同號）p q雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ）用截痕法討論：設(shè)0,0 qp圖形如下：x yzo 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 （ 三 ） 雙 曲 面 單 葉 雙 曲 面1222222 czbyax（1）用坐標面 與曲面相截)
6、0( zxoy截得中心在原點 的橢圓.)0,0,0(O 0 12222z byax 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 與平面 的交線為橢圓.1zz 當 變動時，這種橢圓的中 心都在 軸上.1z z 1 2212222 1zz czbyax（2）用坐標面 與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線. 0 12222y czax實軸與 軸相合，虛軸與 軸相合.xz 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 1 2212222 1yy byczax雙曲線的中 心都在 軸上.y與平面 的交線為雙曲線.1yy )( 1 by ,)1( 221 by x實軸與 軸平行, z虛軸與
7、 軸平行.,)2( 221 by z實軸與 軸平行, x虛軸與 軸平行.,)3( 1 by 截痕為一對相交于點 的直線.)0,0( b 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,0 by czax .0 by czax,)4( 1 by 截痕為一對相交于點 的直線.)0,0( b,0 by czax .0 by czax（3）用坐標面 ， 與曲面相截)0( xyoz 1xx 均可得雙曲線. 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 單葉雙曲面圖形 x yoz平面 的截痕是兩 對 相 交 直 線 .ax 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 雙 葉 雙 曲 面1222222 czbyaxx yo 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法.（熟知這幾個常見曲面的特性）二 、 小 結(jié) 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 思 考 題方程 3 254 222x zyx表示怎樣的曲線？ 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束
《二次曲面的定義》PPT課件
