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1、 二 次 曲 面 的 定 義 ： 三 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 面 稱 之 相 應(yīng) 地 平 面 被 稱 為 一 次 曲 面 一 、 基 本 內(nèi) 容討 論 二 次 曲 面 性 狀 的 截 痕 法 ： 用 坐 標(biāo) 面 和 平 行 于 坐 標(biāo) 面 的 平 面 與 曲 面 相 截 ， 考 察 其 交 線（ 即 截 痕 ） 的 形 狀 ， 然 后 加 以 綜 合 ， 從 而 了 解 曲 面 的 全 貌 以 下 用 截 痕 法 討 論 幾 種 特 殊 的 二 次 曲 面 （ 一 ） 橢 球 面 1222222 czbyax 橢 球 面 與 三 個 坐 標(biāo) 面 的 交 線 ：,0 12222
2、z byax ,0 12222 y czax.0 12222 x czby o z yx 橢 圓 截 面 的 大 小 隨 平 面 位 置 的 變 化 而 變 化 .橢 球 面 與 平 面 的 交 線 為 橢 圓1zz 同 理 與 平 面 和 的 交 線 也 是 橢 圓 .1xx 1yy 1 21222 221222 2 1)()(zz zccb yzcca x cz | 1 橢 球 面 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面12222 czax由 橢 圓 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 z 1222 22 cza yx方 程 可 寫 為 旋 轉(zhuǎn)
3、橢 球 面 與 橢 球 面 的 區(qū) 別 ：與 平 面 的 交 線 為 圓 .1zz )|( 1 cz .)(1 2122222 zz zccayx截 面 上 圓 的 方 程 ,)2( cba 1222222 azayax 球 面.2222 azyx 方 程 可 寫 為 （ 二 ） 拋 物 面zqypx 22 22（ 與 同 號 ）p q橢 圓 拋 物 面 用 截 痕 法 討 論 ：（ 1） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截)0( zxoy截 得 一 點(diǎn) ， 即 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) )0,0,0(O設(shè) 0,0 qp原 點(diǎn) 也 叫 橢 圓 拋 物 面 的 頂 點(diǎn) . 與 平 面 的 交 線 為 橢
4、圓 .1zz 1 1212 122 zz qzypzx 當(dāng) 變 動 時 ， 這 種 橢 圓的 中 心 都 在 軸 上 .1z z)0( 1 z與 平 面 不 相 交 .1zz )0( 1 z （ 2） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截)0( yxoz 022y pzx截 得 拋 物 線與 平 面 的 交 線 為 拋 物 線 .1yy 1 212 22yy qyzpx它 的 軸 平 行 于 軸z頂 點(diǎn) qyy 2,0 211 （ 3） 用 坐 標(biāo) 面 ， 與 曲 面 相 截)0( xyoz 1xx 均 可 得 拋 物 線 .同 理 當(dāng) 時 可 類 似 討 論 .0,0 qp zx yo x y
5、zo橢 圓 拋 物 面 的 圖 形 如 下 ：0,0 qp 0,0 qpzqypx 22 22 （ 與 同 號 ）p q 特 殊 地 ： 當(dāng) 時 ， 方 程 變 為qpzpypx 22 22 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面)0( p（ 由 面 上 的 拋 物 線 繞 它 的 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的 ）xoz pzx 22 與 平 面 的 交 線 為 圓 .1zz )0( 1 z 當(dāng) 變 動 時 ， 這 種 圓 的 中心 都 在 軸 上 .1z z 1 122 2zz pzyx zqypx 22 22 （ 與 同 號 ）p q雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ） 用 截 痕 法 討 論 ： 設(shè) 0,0 q
6、p 圖 形 如 下 ：x yzo （ 三 ） 雙 曲 面單 葉 雙 曲 面 1222222 czbyax （ 1） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截)0( zxoy截 得 中 心 在 原 點(diǎn) 的 橢 圓 .)0,0,0(O 0 12222z byax 與 平 面 的 交 線 為 橢 圓 .1zz 當(dāng) 變 動 時 ， 這 種 橢 圓的 中 心 都 在 軸 上 .1z z 1 2212222 1zz czbyax （ 2） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截)0( yxoz截 得 中 心 在 原 點(diǎn) 的 雙 曲 線 . 0 12222y czax 實 軸 與 軸 相 合 ，虛 軸 與 軸 相 合
7、 .xz 1 2212222 1yy byczax 雙 曲 線 的 中 心 都 在 軸 上 .y與 平 面 的 交 線 為 雙 曲 線 .1yy )( 1 by ,)1( 221 by x實 軸 與 軸 平 行 , z虛 軸 與 軸 平 行 .,)2( 221 by z實 軸 與 軸 平 行 , x虛 軸 與 軸 平 行 .,)3( 1 by 截 痕 為 一 對 相 交 于 點(diǎn) 的 直 線 .)0,0( b,0 by czax .0 by czax ,)4( 1 by 截 痕 為 一 對 相 交 于 點(diǎn) 的 直 線 .)0,0( b,0 by czax .0 by czax（ 3） 用 坐 標(biāo)
8、 面 ,與 曲 面 相 截)0( xyoz 1xx 均 可 得 雙 曲 線 . 單 葉 雙 曲 面 圖 形 x yoz平 面 的 截 痕 是兩 對 相 交 直 線 .ax 雙 葉 雙 曲 面 1222222 czbyax x yo 橢 球 面 、 拋 物 面 、 雙 曲 面 、 截 痕 法 .（ 熟 知 這 幾 個 常 見 曲 面 的 特 性 ）二 、 小 結(jié) 思 考 題方 程 3 254 222x zyx 表 示 怎 樣 的 曲 線 ？ 思 考 題 解 答 3 254 222x zyx .3 164 22 x zy 表 示 雙 曲 線 . 一 、 求 曲 線 3 0222z xzy ， 在
9、xoy面 上 的 投 影 曲 線 的 方 程 ， 并 指 出 原 曲 線 是 什 么 曲 線 . 二 、 畫 出 方 程 所 表 示 的 曲 面 ： 1、 943 22 yxz ； 2、 64416 222 zyx . 練 習(xí) 題 四 、 試 用 截 痕 法 討 論 雙 曲 拋 物 面zqypx 22 22 （ 同 號與 qp ） . 三 、 畫 出 下 列 各 曲 面 所 圍 成 的 立 體 的 圖 形 ：1、 4,2,1,0,0 yzyxzx ； 2、 222,0,0,0 Ryxzyx , 222 Rzy (在 第 一 卦 限 內(nèi) ) . 練 習(xí) 題 答 案 一 、 0 922z xy ,位 于 平 面 3z 上 的 拋 物 線 .x yzo ox yz二 、 .1 .2 .2.1三 、 x 1 yzo 2x yzo RR R
大一高數(shù)課件第七章
