函數(shù)曲線的凹凸性

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1、 6.6 曲 線 的 凹 凸 性 與 拐 點(diǎn) 及 漸 近 線 一 、 曲 線 凹 凸 的 定 義問 題 :如 何 研 究 曲 線 的 彎 曲 方 向 ? xyo xyo 1x 2x)(xfy 圖 形 上 任 意 弧 段 位于 所 張 弦 的 上 方xyo )(xfy 1x 2x圖 形 上 任 意 弧 段 位于 所 張 弦 的 下 方 A B C 定 義 的 （ 或 凸 弧 ）上 的 圖 形 是 （ 向 上 ） 凸在 那 末 稱如 果 恒 有 的 （ 或 凹 弧 ）上 的 圖 形 是 （ 向 上 ） 凹在 那 末 稱恒 有點(diǎn) 上 任 意 兩如 果 對上 連 續(xù)在 區(qū) 間設(shè)I xfxfxfxxfI

2、xf xfxfxxfxx IIxf )(,2 )()()2( ;)( ,2 )()()2(, ,)( 2121 212121 ;)(,)(,)( ),(,)( 的或 凸內(nèi) 的 圖 形 是 凹在那 末 稱的或 凸 內(nèi) 的 圖 形 是 凹且 在內(nèi) 連 續(xù)在如 果 baxf babaxf 二 、 曲 線 凹 凸 的 判 定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B遞 增)(xf a bBA0y 遞 減)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)( 上 的 圖 形 是 凸 的在則 上 的 圖 形 是 凹 的在則 內(nèi)若 在一 階 和 二 階 導(dǎo)

3、數(shù) 內(nèi) 具 有在上 連 續(xù)在如 果 baxfxf baxfxf ba babaxf 證 20000 )(!2 )()()()( xxfxxxfxfxf )( 0 之 間與在 xx )()()( 000 xxxfxfxf即 )()()( 000 xxxfxfxf ),(0 bax 任 取 泰 勒 公 式),( bax 處 的 切 線在曲 線 0)( xxfy 0 20 )(!2 )( xxf ),( bax 0)( xf若 )()()( 000 xxxfxfxf 1 0 0 1 0( ) ( ) ( )( ) (1)f x f x f x x x 2 0 0 2 0( ) ( ) ( )( )

4、(2)f x f x f x x x 1 1 0 0 1 2 0( ) ( ) 2 ( ) ( )( 2 )f x f x f x f x x x x (1) (2) 02 ( )f x 0 1 1 1 2( ) ( ) ( ).2 2f x f x x xf 即 例 1 .3 的 凹 凸 性判 斷 曲 線 xy 解 ,3 2xy ,6xy 時(shí) ，當(dāng) 0 x ,0y 為 凸 的 ；在曲 線 0,( 時(shí) ，當(dāng) 0 x ,0y 為 凹 的 ；在曲 線 ),0 .)0,0( 點(diǎn)是 曲 線 由 凸 變 凹 的 分 界點(diǎn)注 意 到 , 三 、 曲 線 的 拐 點(diǎn) 及 其 求 法 連 續(xù) 曲 線 上 凹

5、凸 的 分 界 點(diǎn) 稱 為 曲 線 的 拐 點(diǎn) .1、 定 義注 意 :拐 點(diǎn) 處 的 切 線 必 在 拐 點(diǎn) 處 穿 過 曲 線 .2、 拐 點(diǎn) 的 求 法 ,0)( ,)(0 0 xf xxf且 的 鄰 域 內(nèi) 二 階 可 導(dǎo)在設(shè) 函 數(shù) ;)(,(,)()1( 000 即 為 拐 點(diǎn)點(diǎn)變 號兩 近 旁 xfxxfx .)(,(,)()2( 000 不 是 拐 點(diǎn)點(diǎn)不 變 號兩 近 旁 xfxxfx 方 法 1: 例 2 . 143 34凹 、 凸 的 區(qū) 間 的 拐 點(diǎn) 及求 曲 線 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx

6、得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹 的 凸 的 凹 的拐 點(diǎn) 拐 點(diǎn))1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹 凸 區(qū) 間 為 0 00 0( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x 不 妨 000( )f x x 在 兩 側(cè) 異 號 ，0 x 是 拐 點(diǎn) 。 方 法 2: .)( )(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0的 拐 點(diǎn)線 是 曲那 末而 且的 鄰 域 內(nèi) 三 階 可 導(dǎo)在設(shè) 函 數(shù)xfy xfxxfxf xxf 例 3 .)2,0(cossin 的 拐 點(diǎn)內(nèi)求 曲 線 xxy解 ,sinc

7、os xxy ,cossin xxy .sincos xxy ,0y令 .47,43 21 xx得 2)43( f ,0 2)47( f ,0 內(nèi) 曲 線 有 拐 點(diǎn) 為在 2,0 ).0,47(),0,43( .)( )(,(,)( 000 的 拐 點(diǎn)是 連 續(xù) 曲 線 也 可 能點(diǎn)不 存 在若 xfy xfxxf 注 意 : 例 4 .3 的 拐 點(diǎn)求 曲 線 xy 解 ,0時(shí)當(dāng) x ,31 32 xy ,94 35 xy .,0 均 不 存 在是 不 可 導(dǎo) 點(diǎn) yyx ,0,)0,( y內(nèi)但 在 ;0,( 上 是 凹 的曲 線 在 ,0,),0( y內(nèi)在 .),0 上 是 凸 的曲 線

8、 在 .)0,0( 3 的 拐 點(diǎn)是 曲 線點(diǎn) xy 四 、 漸 近 線定 義 : . )(, , )(一 條 漸 近 線 的就 稱 為 曲 線那 么 直 線趨 向 于 零 的 距 離到 某 定 直 線如 果 點(diǎn)移 向 無 窮 點(diǎn) 時(shí) 沿 著 曲 線上 的 一 動 點(diǎn)當(dāng) 曲 線 xfyL LP Pxfy 1.鉛 直 漸 近 線 )( 軸 的 漸 近 線垂 直 于 x 0 00lim ( ) lim ( )( )x x x xf x f xy fx x x 如 果 或那 么 就 是 的 一 條 鉛 直 漸 近 線 . 例 如 ,)3)(2( 1 xxy有 鉛 直 漸 近 線 兩 條 : .3,2

9、 xx 2.水 平 漸 近 線 )( 軸 的 漸 近 線平 行 于 xlim ( ) lim ( ) ( )( )x xf x f x by b bxb fy 如 果 或 是 常 量那 么 就 是 的例 如 ,arctan xy 有 水 平 漸 近 線 兩 條 : .2,2 yy 一 條 水 平 漸 近 線 . 3.斜 漸 近 線lim ( ) 0 1lim ( ( ) 0 ( , )( ) (xx f xf x aax bax by ax b by f x 如 果 （ ）或 是 常 量那 么 就 是 的斜 漸 近 線 求 法 :( )lim , x f x ax lim ( ) .x f x

10、 bax .)( 的 一 條 斜 漸 近 線就 是 曲 線那 么 xfybaxy 一 條 斜 漸 近 線 . :, 的 公 式下 面 求 計(jì) 算 ba由 (1)式 和 0)()(1lim baxxfxx,為 無 窮 大x )(lim xbaxxfx ,后求 出 a )(lim axxfb x xxfa x )(lim axxfx )(lim 0 ,)1( ba 式 可 確 定代 入將 有即 從 而 注 意 : ( )(1) lim ;x f xx如 果 不 存 在 ,)(lim,)(lim)2( 不 存 在但存 在 axxfaxxf xx .)( 不 存 在 斜 漸 近 線可 以 斷 定 xf

11、y 例 1 .1 )3)(2(2)( 的 漸 近 線求 x xxxf解 ).,1()1,(: D )(lim1 xfx , )(lim1 xfx ,.1是 曲 線 的 鉛 直 漸 近 線x xxfx )(lim又 )1( )3)(2(2lim xx xxx ,22)1( )3)(2(2lim xxx xxx 1 )1(2)3)(2(2lim x xxxxx ,4 .42 是 曲 線 的 一 條 斜 漸 近 線 xy 的 兩 條 漸 近 線 如 圖1 )3)(2(2)( x xxxf 的 漸 近 線 ，曲 線 )2)(1( | xx xxy 共 有)(B)(A 選 擇 題 :1條 . )(D2條

12、 . )(C 3條 . 4條 . 五 、 小 結(jié)曲 線 的 彎 曲 方 向 凹 凸 性 ;改 變 彎 曲 方 向 的 點(diǎn) 拐 點(diǎn) ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 點(diǎn) 的 求 法 1, 2.三 種 漸 近 線 的 求 法 . 思 考 題 設(shè) )(xf 在 ),( ba 內(nèi) 二 階 可 導(dǎo) ， 且 0)( 0 xf ， 其 中 ),(0 bax ， 則 ,( 0 x )( 0 xf 是 否 一 定 為 曲 線 )(xf 的 拐 點(diǎn) ？ 舉 例 說 明 . 思 考 題 解 答例 4)( xxf ),( x 0)0( f 但 )0,0( 并 不 是 曲 線 )(xf 的 拐 點(diǎn) . 不 一 定 ！ 一

13、 、 填 空 題 ： 1、 若 函 數(shù) )(xfy 在 （ ba, ） 可 導(dǎo) ， 則 曲 線 )(xf 在 ( ba, ) 內(nèi) 取 凹 的 充 要 條 件 是 _. 2、 曲 線 上 _的 點(diǎn) ， 稱 作 曲 線 的 拐 點(diǎn) . 3、 曲 線 )1ln( 2xy 的 拐 點(diǎn) 為 _. 4、 曲 線 )1ln( xy 拐 點(diǎn) 為 _. 二 、 求 曲 線 xey arctan 的 拐 點(diǎn) 及 凹 凸 區(qū) 間 . 三 、 利 用 函 數(shù) 圖 形 的 凹 凸 性 ， 證 明 不 等 式 ： 22 yxyx eee )( yx . 四 、 求 曲 線 2sin2 cot2ay ax 的 拐 點(diǎn) .

14、練 習(xí) 題 五 、 試 證 明 曲 線 112 xxy 有 三 個 拐 點(diǎn) 位 于 同 一 直 線上 . 六 、 問 a 及 b 為 何 值 時(shí) ， 點(diǎn) (1,3)為 曲 線 23 bxaxy 的 拐 點(diǎn) ？ 七 、 試 決 定 22 )3( xky 中 k 的 值 ,使 曲 線 的 拐 點(diǎn) 處的 法 線 通 過 原 點(diǎn) . 一 、 1、 ),()( baxf 在 內(nèi) 遞 增 或 0)(),( xfbax ； 2、 凹 凸 部 分 的 分 界 點(diǎn) ； 3、 2,(),2),2,2( 2 e ； 4、 )2ln,1(),2ln,1( . 二 、 拐 點(diǎn) ),21( 21arctane ,在 21,( 內(nèi) 是 凹 的 , 在 ),21 內(nèi) 是 凸 的 . 四 、 拐 點(diǎn) )23,332( aa 及 )23,332( aa . 五 、 ).)32(4 31,32(),)32(4 31,32(),1,1( 練 習(xí) 題 答 案 -224 -1.5 -1 -0.5 0.5 六 、 29,23 ba . 七 、 82k . 第 五 題 圖