《河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一 、 行 列 式 的 性 質(zhì) 行 列 式 與 它 的 轉(zhuǎn) 置 行 列 式 相 等 .行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式. TD D記nnaaa 2211 nnaaa 2112 2121 nn aaaD 2121 nnaaa nn aaa 2112TD nnaaa 2211 互 換 行 列 式 的 兩 行 （ 列 ） ,行 列 式 變 號 .說 明 行 列 式 中 行 與 列 具 有 同 等 的 地 位 ,因 此 行 列式 的 性 質(zhì) 凡 是 對 行 成 立 的 對 列 也 同 樣 成 立 . 例如推 論 如 果 行 列 式 有 兩 行 （ 列 ） 完 全 相 同 ， 則此 行 列 式 為 零
2、.證 明互換相同的兩行，有 .0 D ,DD ,571571 266 853 .825825 361 567 567 361266 853 行 列 式 的 某 一 行 （ 列 ） 中 所 有 的 元 素 都乘 以 同 一 數(shù) ， 等 于 用 數(shù) 乘 此 行 列 式 .k knnnn inii naaa kakaka aaa 21 21 11211 nnnn inii naaa aaa aaak 21 21 11211 行 列 式 的 某 一 行 （ 列 ） 中 所 有 元 素 的 公 因子 可 以 提 到 行 列 式 符 號 的 外 面 性 質(zhì) 行 列 式 中 如 果 有 兩 行 （ 列 ）
3、元 素 成 比例 ， 則 此 行 列 式 為 零 證 明 nnnn inii inii naaa kakaka aaa aaa 21 21 21 11211 nnnn inii inii naaa aaa aaa aaak 21 21 21 11211 .0 性 質(zhì) 5 若 行 列 式 的 某 一 列 （ 行 ） 的 元 素 都 是 兩數(shù) 之 和 . nnnininn nii nii aaaaa aaaaa aaaaaD )( )( )(21 2222221 1111211 則D等于下列兩個行列式之和：nnnin ni ninnnin ni ni aaa aaa aaaaaa aaa aaaD
4、 1 2221 11111 2221 1111例如 性 質(zhì) 把 行 列 式 的 某 一 列 （ 行 ） 的 各 元 素 乘 以同 一 數(shù) 然 后 加 到 另 一 列 (行 )對 應(yīng) 的 元 素 上 去 ， 行列 式 不 變 njnjnin jji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 njnjnjnin jjji njjiji aakaaa aakaaa aakaaakcc )( )( )(1 222221 111111 k例 如 推 論 行 列 式 任 一 行 （ 列 ） 的 元 素 與 另 一 行 （ 列 ）的 對 應(yīng) 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式 乘 積 之
5、 和 等 于 零 ， 即 .ji,AaAaAa jninjiji 02211 二 、 應(yīng) 用 舉 例計 算 行 列 式 常 用 方 法 ： 利 用 運 算 把 行 列 式化 為 上 三 角 形 行 列 式 ， 從 而 算 得 行 列 式 的 值ji krr 把 行 列 式 的 某 一 行 （ 列 ） 除 一 個 元 素 不 是 0以 外 ，把 其 它 的 元 素 全 化 為 0， 然 后 把 行 列 式 按 這 一（ 列 ） 展 開 。 這 樣 就 把 高 階 行 列 式 的 計 算 化 為 低階 行 列 式 計 算 。 例 1 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100
6、13111 1115 31 2 cc 34 cc 055 1111 115)1( 33 055 026 115 55 26)1( 31 50 28 .4012 rr 例 2 計算行列式 111 111 111 1111D 計算行列式 111 111 111 111D abbb babb bbab bbbaDn 解 abbbna babbna bbabna bbbbna 1111 D將第 都加到第一列得n,3,2 計算n階行列式 abb bab bba bbbbna 1111)1( bababa bbbbna 1)1( 00 .)()1( 1 nbabna 計算行列式 1111 111 111
7、111 4321 iD ， 111 111 111 1111D 111 111 111 111D bab ababab abab abaDn 000 000 000 00 000例 3 計算n階行列式 例 4范德蒙德(Vandermonde)行列式 111211 22221 21 ).(111 jin jinnnn nnn xxxxx xxx xxxD )1( 四 方 陣 的 行 列 式定 義 由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 的行列式，記作 或n AA A .det A 86 32A例86 32A則.2運 算 性 質(zhì) ;1 AAT ;2 AA n ;3 BAAB .BAAB 階方陣
8、為階方陣為，mBnABABA ,0 0 （ 1）（ 2）階方陣為階方陣為，mBnABAB A mn ,)1(00 五 分 塊 矩 陣 的 行 列 式階方陣為階方陣為，mBnABABCA nm ,0 （ 3） (行 列 式 中 行 與 列 具 有 同等 的 地 位 ,行 列 式 的 性 質(zhì) 凡 是 對 行 成 立 的 對 列 也同 樣 成 立 ). 計 算 行 列 式 常 用 方 法 ： (1)利 用 性 質(zhì) 把 行 列式 化 為 上 三 角 形 行 列 式 ， 從 而 算 得 行 列 式 的 值 ；(2)首 先 把 行 列 式 的 某 行 (列 )除 一 個 元 素 不 為 零以 外 ， 把 其 它 的 元 素 全 化 為 零 ， 然 后 按 這 一 行(列 )展 開 。六 、 小 結(jié)行 列 式 的 6個 性 質(zhì) 思 考 題階行列式計算4 111 111 111 11122 22 22 22 dddd cccc bbbb aaaaD 1abcd已知 思 考 題 解 答解 11 11 11 112222 ddd ccc bbb aaaD 111 111 111 1112222 ddd ccc bbb aaa ddd ccc bbb aaaabcd 111 111 111 111 2222 ddd ccc bbb aaa 111 111 111 1111 22223.0
河海大學(xué)《幾何與代數(shù)》
